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1、学科教师辅导讲义教学内容同步知识梳理1. 圆周长: 圆面积:2. 圆的面积C与半径R之间存在关系,即360的圆心角所对的弧长,因此,1的圆心角所对的弧长就是。 n的圆心角所对的弧长是 P120 *这里的180、n在弧长计算公式中表示倍分关系,没有单位。 3. 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的圆形叫做扇形。 发现:扇形面积与组成扇形的圆心角的大小有关,圆心角越大,扇形面积也就越大。 4. 在半径是R的圆中,因为360的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积,所以圆心角为n的扇形面积是: (n也是1的倍数,无单位)5. 圆锥的概念 观察模型可以发现:圆锥是由一个底面和一个侧面围成的。其中底
2、面是一个圆,侧面是一个曲面,如果把这个侧面展开在一个平面上,展开图是一个扇形。 如图,从点S向底面引垂线,垂足是底面的圆心O,垂线段SO的长叫做圆锥的高,点S叫做圆锥的顶点。 锥也可以看作是由一个直角三角形旋转得到的。也就是说,把直角三角形SOA绕直线SO旋转一周得到的图形就是圆锥。其中旋转轴SO叫做圆锥的轴,圆锥的轴通过底面圆的圆心,并且垂直于底面。另外,连结圆锥的顶点和底面圆上任意一点的线段SA、SA1、SA2、都叫做圆锥的母线,显然,圆锥的母线长都相等。 母线定义:连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。P122 6. 圆锥的性质 由图可得 (1)圆锥的高所在的直线是圆锥的
3、轴,它垂直于底面,经过底面的圆心; (2)圆锥的母线长都相等 7. 圆锥的侧面展开图与侧面积计算 圆锥的侧面展开图是一个扇形,这个扇形的半径是圆锥侧面的母线、圆心是圆锥的顶点、弧长是圆锥底面圆的周长。 圆锥侧面积是扇形面积。 如果设扇形的半径为l,弧长为c,圆心角为n(如图),则它们之间有如下关系: 同时,如果设圆锥底面半径为r,周长为c,侧面母线长为l,那么它的侧面积是: 圆锥的全面积为: 例:在中,120的圆心角所对的弧长为,那么O的半径为_cm。 答案:120 解:由弧长公式:得: 例:若扇形的圆心角为120,弧长为,则扇形半径为_,扇形面积为_。 答案:15;25 例:如果一个扇形的面
4、积和一个圆面积相等,且扇形的半径为圆半径的2倍,这个扇形的中心角为_。 答案:90 例:已知扇形的周长为28cm,面积为49cm2,则它的半径为_cm。 答案:7例:两个同心圆被两条半径截得的,又AC=12,求阴影部分面积。 解:设OC=r,则OA=r+12,O=n OC=18,OA=OC+AC=30 例:如图,已知正方形的边长为a,求以各边为直径的半圆所围成的叶形的总面积。 解:正方形边长为a , 叶的总面积为 *也可看作四个半圆面积减去正方形面积 例:已知AB、CD为O的两条弦,如果AB=8,CD=6,的度数与的度数的和为180,那么圆中的阴影部分的总面积为? 解:将弓形CD旋转至B,使D
5、、B重合 如图,C点处于E点 的度数为180 AE是O的直径 ABE=90 又AB=8,BE=CD=6 由勾股定理 半径 例:在AOB中,O=90,OA=OB=4cm,以O为圆心,OA为半径画,以AB为直径作半圆,求阴影部分的面积。 解:OA=4cm,O=90 , 则阴影部分的面积为: 例:、是边长均大于2的三角形,四边形、凸n边形,分别以它们的各顶点为圆心,以1为半径画弧与两邻边相交,得到3条弧,4条弧, (1)图中3条弧的弧长的和为_ 图中4条弧的弧长的和为_ (2)求图中n条弧的弧长的和(用n表示) 解:(1),2 (2)解法1: n边形内角和为:(n2)180 前n条弧的弧长的和为:个
6、以某定点为圆心,以1为半径的圆周长 n条弧的弧长的和为: 解法2:设各个扇形的圆心角依次为 则 n条弧长的和为: 例:如图,在RtABC中,已知BCA=90,BAC=30,AC=6m,把ABC以点B为中心逆时针旋转,使点C旋转到AB边的延长线上的点C处,那么AC边扫过的图形(阴影部分)的面积为? 分析:在RtACB中,C=90,BAC=30,AB=6 法一: 法二:以B为圆心,BC为半径画弧 交AB于D,AB于D 有, 例:如图,已知RtABC的斜边AB=13cm,一条直角边AC=5cm,以直线AC为轴旋转一周得一个圆锥。求这个圆锥的表面积。如果以直线AB为轴旋转一周,能得到一个什么样的图形?
7、 解: 以直线AC为轴旋转一周所得的圆锥如图所示,它的表面积为: 以直线AB为轴旋转一周,所得到的图形如图所示。 例:一个圆锥的模型,这个模型的侧面是用一个半径为9cm,圆心角为240的扇形铁皮制作,再用一块圆形铁皮做底,则这块图形铁皮的半径为_。 答案:6 例:若圆锥的轴截面是一个边长为2cm的等边三角形,则这个圆锥的侧面积是_。 答案:2 例:已知圆锥的底面半径为40cm,母线长为90cm,则它的侧面展开图的圆心角为_。 答案:160 例:若圆锥的侧面积是底面积的2倍,则侧面展开图的圆心角是_。 答案:180 例:如图,圆锥形的烟囱帽的底面直径是80cm,母线长50cm。 (1)画出它的展
8、开图; (2)计算这个展开图的圆心角及面积。 解:(1)烟囱帽的展开图是扇形,这个扇形的半径是圆锥的母线长,弧长是圆锥底面周长(如图) (2)设扇形的半径为l,弧长为c,圆心角为,则l=50cm, =288(度) 例:一个圆锥的高是10cm,侧面展开图是半圆,求圆锥的侧面积。 解:设圆锥底面半径为r,圆锥母线长为l,扇形弧长(即半圆)为c,则由题意得 即 在RtSOA中, 由此求得 故所求圆锥的侧面积为 例:蒙古包可以近似地看作圆锥和圆柱组成,如果想用毛毡搭建20个底面积为,高为3.5m,外围高4m的蒙古包,至少要多少平方米的毛毡? 解: h1=4, 答:至少要平方米的毛毡。【模拟试题】基础演
9、练 1. 已知扇形的弧长为6cm,圆心角为60,则扇形的面积为_。 2. 已知弓形的弧所对的圆心角为60,弓形弦长为a,则这个弓形的面积是_。 3. 如图,在平行四边形ABCD中,BDAD,以BD为直径的O交AB于E,交CD于F,则图中阴影部分的面积为_。 4. 如图,AB是O1的直径,AO1是O2的直径,弦MN/AB,且MN与O2相切于C点,若O1的半径为2,则O1B、CN、所围成的阴影部分的面积是_。 5. 如图,ABC为某一住宅区的平面示意图,其周长为800m,为了美化环境,计划在住宅区周围5m内,(虚线以内,ABC之外)作绿化带,则此绿化带的面积为_。 6. 如图,两个同心圆被两条半径
10、截得的,O与,都相切,则图中阴影部分的面积为_。综合测试 7. 如图,OA是O的半径,AB是以OA为直径的O的弦,OB的延长线交O于点C,且OA=4,OAB=45,则由,和线段BC所围成的图形面积是_。 8. 如图,一扇形纸扇完全打开后,外侧两竹条AB,AC的夹角为120,AB长为30cm,贴纸部分BD长为20cm,贴纸部分的面积为( ) A. B. C. D. 9. 如图,在同心圆中,两圆半径分别为2、4,AOB=120,则阴影部分的面积为( ) A. B. C. D. 10. 一块等边三角形的木板,边长为1,现将木板沿水平翻滚(如图),那么,B点从开始至结束所走过的路径长度为( ) A.
11、B. C. 4D. 11. (2004湖北黄冈)如图,要在直径为50cm的圆形木板上截出四个大小相同的圆形凳面,问怎样才能截出直径最大的凳面,最大直径是多少厘米?探究升级 12. (2004新疆)在相距40km的两个城镇A、B之间,有一个近似圆形的湖泊,其半径为10km,圆心恰好位于A、B连线的中点处,现要绕过湖泊从A城到B城,假设除湖泊外,所有的地方均可行走,有如图所示两种行走路线,请你通过推理计算,说明哪条路线较短。 (1)的路线:线段线段DB (2)的路线:线段线段FB(其中E、F为切点)参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. A9. B10. B 11. 截法如图所示 根据圆的对称性可知: O1,O3都在O的直径AB上,设所截出的凳面的直径为r 则O1O2=r,O2O3=r, 又 12. 由题意可知图答(1)路径: 图答(2)路径:如图连接OE、OF,连结CD 由题意可知A、C、D、B共线,且经过O点 E为切点,OEAE 在RtOAE中,AO=2EO A=30,AOE=60 同理BOF=60 同理 由计算可知图(2)路线较短。 教案14