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1、1 第三章 数列 2 3 4数列求和 3 4 一 等差数列与等比数列的求和方法等差数列的前n项和公式是采用 推导的 等比数列的前n项和公式是采用 推导的 二 常用求和公式 等差数列 倒序相加法 错位相减法 5 三 错位相减法这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法 这种方法主要用于求数列 anbn 的前n项和 其中 an bn 分别是等差数列和等比数列 四 倒序相加法将一个数列倒过来排列 倒序 当它与原数列相加时 若有公因式可提 并且剩余的项的和易于求得 则这样的数列可用倒序相加法求和 等差数列的求和公式就是用倒序相加法推导出来的 6 五 分组求和法有一类数列 既不是等差数列 也不是等比数
2、列 若将这类数列适当拆开 可分为几个等差 等比或常见的数列 即能分别求和 然后再合并 六 裂项法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用 裂项法的实质是将数列中的项分解 然后重新组合 使之能消去一些项 最终达到求和的目的 7 七 常见的拆项公式有 1 2 3 4 5 n n n 1 n 8 盘点指南 倒序相加法 错位相减法 n 1 n 9 1 若数列1 1 2 1 2 22 1 2 22 23 1 2 22 2n 1 的前n项和Sn 1020 那么n的最小值是 A 7B 8C 9D 10解 令an 1 2 22 2n 1 2n 1 则数列 an 的前n项和即为Sn 故Sn 2n 1 2 n 则
3、2n 1 2 n 1020 解得n 10 D 10 2 二次函数y n n 1 x2 2n 1 x 1 当n依次取1 2 3 4 k 时 图象在x轴上截得的线段的长度的总和为 A 1B 2C 3D 4解 令y 0 则n n 1 x2 2n 1 x 1 0 得或则当n取k时 图象在x轴上截得的线段的长度所以所求线段的长度的总和为 故选A A 11 3 设Sn 1 2 3 4 1 n 1 n 则S17 S33 S50 A 1B 0C 1D 2解 依题意 S17 1 2 3 4 17 9 S33 1 2 3 4 31 32 33 17 S50 1 2 3 4 49 50 25 则S17 S33 S5
4、0 1 故选C C 12 1 求下面数列的前n项和 解 设前n项和为Sn 则 题型1分组求和法 第一课时 13 设当a 1时 Tn n 当a 1时 Tn Cn 1 4 7 3n 2 所以 当a 1时 Sn Tn Cn 当a 1时 Sn Tn Cn 14 点评 如果求和数列中的通项公式有多项 就可以根据每项的结构特点看成是几个基本数列 如果n出现在指数的项就可以看成是一个等比数列 如果一次项中出现n的 就可以把这个一次项 和常数项 一起看成是一个等差数列 然后分别求和 最后可得到所求式子的和式 15 求数列1 a a2 a2 a3 a4 a3 a4 a5 a6 a 0 的前n项和Sn 解 据题设
5、条件分析可知 an an 1 an an 1 a2n 2 当a 1时 an n 所以当a 1时 当a 1时 当a 1时 16 2 求值 解 分a 1和a 1两种情况 当a 1时 当a 1时 将上式两边同乘以 得两式相减 得 题型2错位相减法求和 17 即综上所述 得点评 若和式的项是一个等差数列与一个等比数列的积的形式 就用错位相减法求和 其步骤主要有 先在和式两边乘 或除 以等比数列的公比 然后两式中有n 1项参与错位相减 相减后这n 1项构成一个新的等比数列 然后可求得其和 如果是含参数的等比数列 注意按公比是否为1进行讨论 18 已知等比数列 an 的前n项和为Sn a 2n b 且a1
6、 3 1 求a b的值及数列 an 的通项公式 2 设 数列 bn 的前n项和为Tn 证明 Tn 解 1 当n 2时 an Sn Sn 1 2n 1 a 而 an 为等比数列 得a1 21 1 a a 又a1 3 得a 3 从而an 3 2n 1 n N 又因为a1 2a b 3 所以b 3 19 2 证明 因为所以两式相减得则 20 3 求下列各数列的前n项和Sn 1 2 解 1 因为所以 题型3裂项法求和 21 2 因为所以点评 裂项法 一般适用于分式型求和 和式中的项的结构特点一般是 或 其中 an 是公差为d d 0 的等差数列 利用变形后 一些项相抵消 注意前后各有哪些项保留 22 求数列 的前n项和 解 因为通项公式所以原式 23 1 从分析数列的通项公式入手 挖掘数列通项公式的结构特征 并进行联想对比 来选择求和的不同方法 2 对于分子为某一常数 分母是由等差数列的项之积形成的分数数列的求和一般选用裂项相消法
