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1、 第七章 直线和圆的方程 7 4圆的方程 第二课时 题型3与圆有关的变量的取值范围 1 在平面直角坐标系xOy中 已知圆x2 y2 12x 32 0的圆心为Q 过点P 0 2 且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A B 1 求k的取值范围 2 是否存在常数k 使得向量与共线 如果存在 求k的值 如果不存在 请说明理由 解 1 圆的方程可写成 x 6 2 y2 4 所以圆心为Q 6 0 过P 0 2 且斜率为k的直线方程为y kx 2 代入圆的方程得x2 kx 2 2 12x 32 0 整理 得 1 k2 x2 4 k 3 x 36 0 因为直线与圆交于两个不同的点A B 所以 4 k 3 2
2、 4 36 1 k2 42 8k2 6k 0 解得 k 0 即k的取值范围为 0 2 设A x1 y1 B x2 y2 则 x1 x2 y1 y2 由方程 得 又 而P 0 2 Q 6 0 6 2 所以与共线等价于 2 x1 x2 6 y1 y2 将 代入上式 解得k 由 1 知k 0 故没有符合题意的常数k 点评 注意配方法在化圆的一般方程为标准方程时的应用 直线与圆相交于两点可由直线方程与圆方程联立消去x 或y 得到一个一元二次方程 利用 0求得k的范围 设点A在直线l x y 9 0上 点B C在圆M 上 已知 BAC 45 圆心M在线段AB上 求点A的横坐标的取值范围 解 设点A a
3、9 a 作MN AC 垂足为N 如图 在Rt AMN中 因为 MN MC 所以 即 AM 所以 a 2 2 9 a 2 2 17 即a2 9a 18 0 所以a 3 6 故点A的横坐标的取值范围是 3 6 2 已知 AOB中 OB 3 OA 4 AB 5 点P是 ABO的内切圆上一点 求以 PA PB PO 为直径的三个圆面积之和的最大值与最小值 解法1 如图所示 建立直角坐标系 使A B O三点的坐标分别为A 4 0 B 0 3 O 0 0 设点P x y 内切圆的半径为r 则有2r AB OA OB 所以r 1 题型4以圆为背景的最值问题 故内切圆的方程是 x 1 2 y 1 2 1 化简
4、得x2 y2 2x 2y 1 0 又 PA 2 PB 2 PO 2 x 4 2 y2 x2 y 3 2 x2 y2 3x2 3y2 8x 6y 25 由 可知 x2 y2 2y 2x 1 将其代入 有 PA 2 PB 2 PO 2 3 2x 1 8x 25 2x 22 因为x 0 2 故 PA 2 PB 2 PO 2的最大值为22 最小值为18 所以三个圆的面积之和为所以所求面积的最大值为最小值为解法2 由解法1知内切圆的方程为 x 1 2 y 1 2 1 所以可设点P 1 cos 1 sin 所以 PA 2 PB 2 PO 2 1 cos 4 2 1 sin 2 1 cos 2 1 sin
5、3 2 1 cos 2 1 sin 2 2cos 20 因为cos 1 1 得到 PA 2 PB 2 PO 2的最大值为22 最小值为18 以下同解法1 点评 与圆有关的最值问题一般是根据圆的方程得出相应参数的函数式 如果函数式中含有多个变量 一般是消参 如解法1中利用整体代换消去参数y 而解法2是利用圆的参数方程得到只含一个参数的函数式 然后根据函数的最值求解方法进行求解 已知点P x y 是圆 x 2 2 y2 1上任意一点 1 求点P到直线3x 4y 12 0的距离的最大值和最小值 2 求x 2y的最大值和最小值 3 求的最大值和最小值 解 1 圆心C 2 0 到直线3x 4y 12 0
6、的距离为 拓展练习 所以点P到直线3x 4y 12 0的距离的最大值为最小值为 2 设t x 2y 则直线x 2y t 0与圆 x 2 2 y2 1有公共点 所以所以所以 3 设则直线kx y k 2 0与圆 x 2 2 y2 1有公共点 所以所以所以 1 在使用圆的方程时 应根据题意进行合理选择 圆的标准方程 突出了圆心坐标和半径 便于作图使用 圆的一般方程是二元二次方程的形式 便于代数运算 而圆的参数方程在求范围和最值时应用广泛 因此 在选择方程形式时 应注意它们各自的特点 2 在讨论含有字母参变量的圆的方程问题时 始终要把 方程表示圆的条件 作为首要条件 也可以理解为 定义域优先原则 的拓展 3 求变量的取值范围 一般从不等式入手 求变量的最值 一般用函数思想处理
