《立体几何线面角二面角解答题练习》由会员分享,可在线阅读,更多相关《立体几何线面角二面角解答题练习(10页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、立体几何线面角二面角解答题练习1四棱锥SABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC底面ABCD。已知ABC45,AB2,BC=2,SASB。()证明:SABC;()求直线SD与平面SAB所成角的大小;解答:解法一:()作,垂足为,连结,由侧面底面,得底面因为,所以,又,故为等腰直角三角形,由三垂线定理,得()由()知,依题设,故,由,得,的面积连结,得的面积设到平面的距离为,由于,得,DBCAS解得设与平面所成角为,则所以,直线与平面所成的我为解法二:()作,垂足为,连结,由侧面底面,得平面DBCAS因为,所以又,为等腰直角三角形,如图,以为坐标原点,为轴正向,建立直角坐标系,所以()取
2、中点,连结,取中点,连结,与平面内两条相交直线,垂直所以平面,与的夹角记为,与平面所成的角记为,则与互余,所以,直线与平面所成的角为AEBGDFCAEBCFDG1G2图1图27、如图1,分别是矩形的边的中点,是上的一点,将,分别沿翻折成,并连结,使得平面平面,且连结,如图2(I)证明:平面平面;(II)当,时,求直线和平面所成的角;解:解法一:()因为平面平面,平面平面,平面,所以平面,又平面,所以平面平面(II)过点作于点,连结由(I)的结论可知,平面,所以是和平面所成的角因为平面平面,平面平面,平面,所以平面,故因为,所以可在上取一点,使,又因为,所以四边形是矩形由题设,则所以,因为平面,
3、所以平面,从而故,又,由得故即直线与平面所成的角是解法二:(I)因为平面平面,平面平面,平面,所以平面,从而又,所以平面因为平面,所以平面平面(II)由(I)可知,平面故可以为原点,分别以直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系(如图),由题设,则,相关各点的坐标分别是, ,所以,设是平面的一个法向量,由得故可取过点作平面于点,因为,所以,于是点在轴上因为,所以,设(),由,解得,所以设和平面所成的角是,则故直线与平面所成的角是16、(浙江理19)在如图所示的几何体中,平面ABC,平面ABC,M是AB的中点。()求证:;()求CM与平面CDE所成的角;解答:方法一:(I)证明:因为,是的中点,所以又
4、平面,所以(II)解:过点作平面,垂足是,连结交延长交于点,连结, 是直线和平面所成的角因为平面,所以, 又因为平面,所以,则平面,因此设,在直角梯形中,是的中点,所以,得是直角三角形,其中,所以在中,所以,故与平面所成的角是方法二:如图,以点为坐标原点,以,分别为轴和轴,过点作与平面垂直的直线为轴,建立直角坐标系,设,则,(I)证明:因为,所以,故(II)解:设向量与平面垂直,则,即,因为,所以, 即,直线与平面所成的角是与夹角的余角,所以,因此直线与平面所成的角是2.如图,正四棱柱中,点在上且()证明:平面;()求二面角的大小解法一:依题设知, ABCDEA1B1C1D1()连结交于点,则
5、由三垂线定理知,在平面内,连结交于点,由于,故,ABCDEA1B1C1D1FHG与互余于是与平面内两条相交直线都垂直,所以平面()作,垂足为,连结由三垂线定理知,故是二面角的平面角,又, 所以二面角的大小为解法二:ABCDEA1B1C1D1yxz以为坐标原点,射线为轴的正半轴,建立如图所示直角坐标系依题设, ()因为,故,又,所以平面()设向量是平面的法向量,则,故,令,则, 等于二面角的平面角, 所以二面角的大小为安徽卷(18)如图,在四棱锥中,底面四边长为1的菱形,, , ,为的中点,为的中点()证明:直线;()求异面直线AB与MD所成角的大小; ()求点B到平面OCD的距离。方法一(综合
6、法)(1)取OB中点E,连接ME,NE又 (2) 为异面直线与所成的角(或其补角)作连接,所以 与所成角的大小为(3)点A和点B到平面OCD的距离相等,连接OP,过点A作 于点Q,又 ,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离,所以点B到平面OCD的距离为方法二(向量法)作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系,(1)设平面OCD的法向量为,则即 取,解得(2)设与所成的角为, , 与所成角的大小为(3)设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值, 由 , 得.所以点B到平面OCD的距离为福建卷如图,在四棱锥P-ABCD中,则面PAD底面ABCD,侧棱PA=PD,
7、底面ABCD为直角梯形,其中BCAD,ABAD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.()求证:PO平面ABCD;()求异面直线PD与CD所成角的大小;()线段AD上是否存在点Q,使得它到平面PCD的距离为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.满分12分.解法一:()证明:在PAD中PA=PD,O为AD中点,所以POAD,又侧面PAD底面ABCD,平面平面ABCD=AD, 平面PAD,所以PO平面ABCD.()连结BO,在直角梯形ABCD中、BCAD,AD=2AB=2B
8、C,有ODBC且OD=BC,所以四边形OBCD是平行四边形,所以OBDC.由()知,POOB,PBO为锐角,所以PBO是异面直线PB与CD所成的角.因为AD=2AB=2BC=2,在RtAOB中,AB=1,AO=1,所以OB,在RtPOA中,因为AP,AO1,所以OP1,在RtPBO中,tanPBO所以异面直线PB与CD所成的角是.()假设存在点Q,使得它到平面PCD的距离为.设QDx,则,由()得CD=OB=,在RtPOC中, 所以PC=CD=DP, 由Vp-DQC=VQ-PCD,得2,所以存在点Q满足题意,此时.解法二:()同解法一.()以O为坐标原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,
9、建立空间直角坐标系O-xyz,依题意,易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),所以所以异面直线PB与CD所成的角是arccos, ()假设存在点Q,使得它到平面PCD的距离为,由()知设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0).则所以即,取x0=1,得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1).设由,得解y=-或y=(舍去),此时,所以存在点Q满足题意,此时.14.(2009江西卷文)(本小题满分12分)如图,在四棱锥中,底面是矩形,平面,以的中点为球心、为直径的球面交于点(1)求证:平面平面;(2)求直线与平面所成的角;(3)求点
10、到平面的距离解:方法(一):(1)证:依题设,在以为直径的球面上,则.因为平面,则,又,所以平面,则,因此有平面,所以平面平面.()设平面与交于点,因为,所以平面,则,由(1)知,平面,则MN是PN在平面ABM上的射影,所以 就是与平面所成的角,且 所求角为(3)因为O是BD的中点,则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半,由(1)知,平面于M,则|DM|就是D点到平面ABM距离.因为在RtPAD中,所以为中点,则O点到平面ABM的距离等于。方法二:(1)同方法一;(2)如图所示,建立空间直角坐标系,则, ,设平面的一个法向量,由可得:,令,则,即.设所求角为,则,所求角的大小为
11、. (3)设所求距离为,由,得:35.(2009重庆卷文)如题(18)图,在五面体中,四边形为平行四边形,平面,求:()直线到平面的距离;()二面角的平面角的正切值解法一:()平面, AB到面的距离等于点A到面的距离,过点A作于G,因,故;又平面,由三垂线定理可知,故,知,所以AG为所求直线AB到面的距离。在中,由平面,得AD,从而在中,。即直线到平面的距离为。()由己知,平面,得AD,又由,知,故平面ABFE,所以,为二面角的平面角,记为.在中, ,由得,从而在中, ,故所以二面角的平面角的正切值为.解法二: ()如图以A点为坐标原点,的方向为的正方向建立空间直角坐标系数,则A(0,0,0) C(2,2,0) D(0,2,0) 设可得,由.即,解得 ,面,所以直线AB到面的距离等于点A到面的距离。设A点在平面上的射影点为,则 因且,而,此即 解得,知G点在面上,故G点在FD上.,故有 联立,解得, . 为直线AB到面的距离. 而 所以()因四边形为平行四边形,则可设, .由得,解得.即.故由,因,故为二面角的平面角,又,所以