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1、2012考前冲刺数学第四部分专题十六 坐标系与参数方程1.极坐标方程(1)()0(0)表示的图形是()A两个圆B两条直线C一个圆和一条射线 D一条直线和一条射线解析:(1)()0(0),1或(0)1表示圆心在原点,半径为1的圆,(0)表示x轴的负半轴,是一条射线,故选C.答案:C2在平面直角坐标系xOy中,点P的直角坐标为(1,)若以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则点P的极坐标可以是()A. B.C. D.4设直线过极坐标系中的点M(2,0),且垂直于极轴,则它的极坐标方程为_解析:设所求直线的任一点的极坐标为(,),由题意可得cos 2.答案:cos 25在极坐标系中,直线si
2、n2被圆4截得的弦长为_解析:直线sin2可化为xy20,圆4可化为x2y216,由圆中的弦长公式得224.答案:46设平面上的伸缩变换的坐标表达式为则在这一坐标变换下正弦曲线ysin x的方程变为_SOAOBsin3.答案:38在极坐标系中,直线截圆2cos(R)所得的弦长是_解析:把直线和圆的极坐标方程化为直角坐标方程分别为yx和221.显然圆心在直线yx上故所求的弦长等于圆的直径的大小,即为2.答案:29直线2x3y10经过变换可以化为6x6y10,则坐标变换公式是_解析:设直线2x3y10上任一点的坐标为(x,y),经变换后对应点的坐标为(x,y),设坐标变换公式为.,将其代入直线方程
3、2x3y10,得xy10,将其与6x6y10比较得k,h.坐标变换公式为.答案:10在极坐标系(,)(02)中,曲线2sin 与cos 1的交点的极坐标为_所以2(cos sin )转化为直角坐标方程为x2y2(xy),即22,即以为圆心,为半径的圆12同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换后,曲线C:x2y236变为何种曲线,并求曲线的焦点坐标13已知两点A,B的极坐标分别为,.(1)求A,B两点间的距离;(2)求直线AB的极坐标方程14在极坐标系中,已知圆C的圆心坐标为C,半径R,求圆C的极坐标方程解析:将圆心C化成直角坐标为(1,),半径R,故圆C的方程为(x1)2(y)55.再将C化成极坐
4、标方程,得(cos 1)2(sin )25.化简,得24cos10,此即为所求的圆C的极坐标方程15在极坐标系中,已知三点M,N(2,0),P.(1)将M、N、P三点的极坐标化为直角坐标(2)判断M、N、P三点是否在一条直线上圆O的直角坐标方程为:x2y2xy,即x2y2xy0,直线l:sin,即sin cos 1,则直线l的直角坐标方程为:yx1,即xy10.(2)由得,故直线l与圆O公共点的极坐标为.17在极坐标系中,直线l的极坐标方程为(R),以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,曲线C的参数方程为(为参数),求直线l与曲线C的交点P的直角坐标解析:因为直线l的极坐标方程为
5、(R),所以直线l的普通方程为yx,又因为曲线C的参数方程为(为参数),所以曲线C的直角坐标方程为yx2(x2,2),联立解方程组得或根据x的范围应舍去故P点的直角坐标为(0,0)18如图,在圆心的极坐标为A(4,0),半径为4的圆中,求过极点O的弦的中点的轨迹的极坐标方程,并将其化为直角坐标方程解析:设M(,)是轨迹上任意一点,连结OM并延长交圆A于点P(0,0),则有0,02.由圆心为(4,0),半径为4的圆的极坐标方程为8cos 得08cos 0,所以28cos ,即4cos ,故所求轨迹方程是4cos ,它表示以(2,0)为圆心,2为半径的圆因为xcos ,ysin ,由4cos 得2
6、4cos ,所以x2y24x,即x2y24x0为圆的直角坐标方程19求证:过抛物线的焦点的弦被焦点分成的两部分的倒数和为常数证明:建立如图所示的极坐标系,设抛物线的极坐标方程为.PQ是抛物线的弦,若点P的极角为,则点Q的极角为.因此有FP,FQ.所以(常数)20如图,点A在直线x4上移动,OPA为等腰直角三角形,OPA的顶角为OPA(O,P,A依次按顺时针方向排列),求点P的轨迹方程,并判断轨迹形状得点P的轨迹的极坐标方程为cos4.由cos4得(cos sin )4,点P的轨迹的普通方程为xy4,是过点(4,0)且倾斜角为的直线21已知圆M:(为参数)的圆心F是抛物线E:的焦点,过焦点F的直
7、线交抛物线于A、B两点,求AFFB的取值范围.【解析方法代码108001169】所以AFFB|t1t2|.因为0sin21,所以AFFB的取值范围是4,)22已知直线l经过点P(1,1),倾斜角.(1)写出直线l的参数方程;(2)设l与圆(是参数)相交于两点A,B,求点P到A,B两点的距离之积解析:(1)直线的参数方程是(t是参数)(2)点A,B都在直线l上,可设点A,B对应的参数分别为t1和t2,则点A,B的坐标分别为A,B,将直线l的参数方程代入圆的方程x2y24,整理得t2(1)t20.t1和t2是方程的解,从而t1t22,|PA|PB|t1t2|2|2.23已知直线l的参数方程为(t为
8、参数),曲线C的极坐标方程为2cos 21.(1)求曲线C的普通方程;(2)求直线l被曲线C截得的弦长.【解析方法代码108001170】从而弦长为|t1t2|24在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),椭圆C的方程为(为参数,R)试在椭圆C上求一点P,使得P到直线l的距离最小解析:方法一:直线l的普通方程为x2y40,设P(2cos ,sin ),点P到直线l的距离为d,所以当sin1时,d有最小值此时sin sinsincos cossin ,联立消去x,得8y24mym240.因为l与椭圆C只有一个公共点,所以16m232(m24)0,解得m2或m2.l与l的距离为d,11用心 爱心 专心