数学 冲刺第一部分二 填空题解题方法突破.doc

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1、用心 爱心 专心1 专题二专题二 填空题解题方法突破填空题解题方法突破 方法一方法一 直接求解法 直接求解法 直接从题设条件出发 利用定义 性质 定理 公示等 经过变形 推理 计算 判 断得到结论 这种方法是解填空题的最基本 最常用的方法 使用直接法解填空题 要善 于通过现象看本质 自觉地 有意识地采取灵活 简捷的解法 例例 1 1 已知双曲线的离心率为 2 焦点与椭圆的焦点相同 那 22 22 1 xy ab 22 1 259 xy 么双曲线的焦点坐标为 渐近线方程为 解析解析 双曲线焦点即为椭圆焦点 不难算出焦点坐标为 又双曲线离心率为 4 0 2 即 故 渐近线为2 4 c c a 2

2、2 3ab 3 b yxx a 例例 2 2 某城市缺水问题比较突出 为了制定节水管 理办法 对全市居民某年的月均用水量进行了 抽样调查 其中 4 位居民的月均用水量分别为 单位 吨 根据图 2 所示的程序框图 若分 别为 1 1 5 1 5 2 则输出的结果s为 解析解析 第一 1 i 步 110 11 i xss 第二 2 i 步 5 25 11 11 i xss 第三 3 i 步 45 15 2 11 i xss 第四 4 i 步 624 11 i xss 2 3 6 4 1 s 第五 5 i 步 45 i 输出 2 3 s 方法二方法二 特殊化法 特殊化法 当填空题已知条件中含有某些不

3、确定的量 但填空题的结论唯一或题设条件中提供的 信息暗示答案是一个定值时 可以将题中变化的不定量选取符合条件的恰当特殊值 特殊 用心 爱心 专心2 函数 特殊角 特殊数列 特殊位置 特殊点 特殊方程 特殊模型等 进行处理 从而 得出探求的结论 这样可以大大地简化推理 论证的过程 此种方法也称为 完美法 其 根本特点是取一个比较 完美 的特例 把一般问题特殊化 已达到快速解答 为保证答 案的正确性 在利用此方法时 一般应多取几个特例 例例 3 3 已知定义在上的奇函数满足 且在区间 0 2 上是增R f x 4 f xf x 函数 若方程 在区间上有四个不同的根 则 f xm 0m 8 8 12

4、34 xxxx 1234 xxxx 例例 4 4 在 中 角所对的边分别为 如果成等差数列 ABC A B C a b c a b c 则 coscos 1 coscos AC AC 解析解析 取特殊值 则 3 4 5abc 4 cos cos0 5 AC coscos4 1 coscos5 AC AC 或取 则 代入也可得 也可利用正弦定理边1 1 1abc 1 coscoscos60 2 AC 化角及三角函数和差化积直接求解 用心 爱心 专心3 方法三方法三 数形结合法 数形结合法 对于一些含有几何背景的填空题 若能根据题目条件的特点 作出符合题意的图形 做到数中思形 以形助数 并通过对图

5、形的直观分析 判断 则往往可以简捷地得出正确 的结果 例例 5 5 已知是椭圆的一个焦点 是短轴的一个端点 线段的延长线交FCBBF 于点 且 则的离心率为 CD2BFFD C 解析解析 如图所示 22 BFbca 作轴于点 D1 则由 得 1 DDy 2BFFD 所以 即 由椭圆的第二定义 1 2 3 OFBF DDBD 1 33 22 DDOFc 3 2 D c x 用心 爱心 专心4 又由 得 整理得 两 22 33 22 acc FDea ca 2 BFFD 2 3 2 c aa a 22 3ac 边都除以 得 2 a 3 3 e 例例 6 6 定义在区间上的函数的图像与的图像的交点为

6、 0 2 6cosyx 5tanyx P 过点作 轴于点 直线与的图像交于点 则线段的长为P 1 PPx 1 P 1 PPsinyx 2 P 1 P 2 P 解析解析 线段的长即为的值 且其中的满足 解得 1 P 2 Psin xx6cosx5tan x 即线段的长为 sin x 2 3 1 P 2 P 2 3 特别提醒特别提醒 考虑通过求出点 的纵坐标来求线段长度 没有想到线段长度的意 1 P 2 P 义 忽略数形结合 导致思路受阻 方法法四方法法四 特征分析法 特征分析法 例例 7 7 已知函数满足 f x 则 1 1 4 f 4 f x f yf xyf xyx yR 2010 f 特别

7、提醒特别提醒 忽略自变量是一个数值较大的正整数 没有考虑函数值的周期性规律或数列 与函数的联系 一味考虑直接求而导致思路受阻 2010 f 例例 8 8 五位同学围成一圈依序循环报数 规定 第一位同学首次报出的数为 1 第二位同学首次报出的数也为 1 之后每位同学所报 用心 爱心 专心5 出的数都是前两位同学所报出的数之和 若报出的是为 3 的倍数 则报该数的同学需拍手一次 当第 30 个数被报出时 五位同学拍手的总次数为 方法五方法五 构造法 构造法 根据题设条件与结论的特殊性 构造出一些熟悉的数学模型 并借助于它认识和解决 问题的一种方法 例例 9 9 如图 在三棱锥中 三条棱 两两垂直

8、且 OABC OAOBOCOA OB 分别经过三条棱 作一个截面平分三棱锥的体积 截面面积依次为 OCOAOBOC 1 S 则 的大小关系为 2 S 3 S 1 S 2 S 3 S 解析解析 此题考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力 已知条件少 没有具体的线段长度 应根据三条棱两两垂直 的特点 以 为棱 补成一个长方体 OAOBOC 通过补形 借助长方体验证结论 特殊化 令边长 分别为 1 2 3 得 OAOBOC 321 SSS 例例 1010 已知实数满足 则 x y 55 35 40 xyxxy 4xy 解析解析 此题考查数学知识的运用能力 两个未知数一个方程 且方程次数较高 不 能

9、直接求出 的值 应考虑将整体求出 注意方程的结构特点 构造函数xy4xy 用心 爱心 专心6 则已知变为 即 根据 5 f ttt 55 3 3 xyxyxx 3 fxyf x 函数是奇函数且单调递增可得 于是 即 f t 3 fxy fx 3xyx 40 xy 题型六题型六 多选型多选型 给出若干个命题或结论 要求从中选出所有满足题意的命题或结论 这类题不论多选 还是少选都是不能得分的 相当于多项选择题 它的思维要求不同于一般的演绎推理 而是 要求从结论出发逆向探究条件 且结论不唯一 此类问题多涉及定理 概念 符号语言 图 形语言 因此 要求同学们有扎实的基本功 能够准确的阅读数学材料 读懂

10、题意 根据新 的情景 探究使结论成立的充分条件 判断命题是真命题必须通过推理证明 而判断命题是 假命题 举反例是最有效的方法 例例 1111 一个几何体的正视图为一个三角形 则这个几何体可能是下列几何体中的 填入所有可能的几何体前的编号 三棱锥 四棱锥 三棱柱 四棱柱 圆锥 圆柱 例例 12 12 甲罐中有 5 个红球 2 个白球和 3 个黑球 乙罐中有 4 个红球 3 个白球和 3 个黑球 先 从甲罐中随机取出一球放入乙罐 分别以和表示由甲罐取出的球是红球 白球和 12 A A 3 A 黑球的事件 再从乙罐中随机取出一球 以表示由乙罐取出的球是红球的事件 则下列B 结论中正确的是 写出所有正

11、确结论的编号 事件与事件相互独立 2 5 P B 1 5 11 P B A B 1 A 用心 爱心 专心7 是两两互斥的事件 的值不能确定 因为它与中哪 123 A A A P B 123 A A A 一个发生有关 解析解析 此题考查概率有关知识 涉及独立事件 互斥事件的概念 题型为多选型 应 根据题意及概念逐个判断 易见是两两互斥的事件 事件的发生受到事件的 123 A A AB 1 A 影响 所以这两事件不是相互独立的 而 123 5524349 10111011101122 P BP B AP B AP B A 所以答案 特别提醒特别提醒 容易忽略事件的发生受到事件的影响 在求事件发生的

12、B 123 A A AB 概率时没有分情况考虑而导致求解错误 题型七题型七 探索型探索型 从问题给定的题设中探究其相应的结论 或从给定题断要求中探究其相应的必须具备 的条件 常见有 规律探索 条件探索 问题探索 结论探索等几个类型 如果是条件探索 型命题 解题时要求学生要善于从所给的题断出发 逆向追索 逐步探寻 推理得出应具 备的条件 进而施行填空 如果是结论探索型命题 解题时要求学生充分利用已知条件或 图形的特征进行大胆猜想 透彻分析 发现规律 获取结论 例例 13 13 观察下列等式 2 cos22cos1 42 cos48cos8cos1 642 cos632cos48cos18cos1

13、 8642 cos8128cos256cos160cos32cos1 108642 cos10cos1280cos1120coscoscos1mnp 可以推测 mnp 解析解析 因为所以 观察可得 1 22 3 82 5 322 7 1282 9 2512m 所以 400n 50p 962mnp 用心 爱心 专心8 例例 14 14 观察下列等式 根据上述规律 第五个等式为 332333233332 123 1 2 3 6 1 2 3 4 10 解析解析 方法一 所给等式左边的底数依次分别为 1 2 1 2 3 1 2 3 4 右边 的底数依次分别为 3 6 10 注意 这里 由底数内在规律可

14、知 1046 633 第五个等式左边的底数为 右边的底数为 6 5 4 3 2 1216510 又左边为立方和 右边为平方的形式 故第五个等式为 2333333 21654321 方法二 易知第五个等式的左边为 且化简后等于 333333 654321 而 故易知第五个等式为441 2 21441 2333333 21654321 题型吧题型吧 新定义型新定义型 定义新情景 给出一定容量的新信息 考生未见过 要求考生依据新信息进行解题 这样必须紧扣新信息的意义 将所给信息转化成高中所学习的数学模型 然后再用学过的 数学模型求解 最后回到材料的问题中给出解答 此类问题多涉及给出新定义的运算 新的

15、 背景知识 新的理论体系 要求同学有较强的分析转化能力 不过此类题的求解较为简单 例例 15 15 对于平面上的点集 如果连接中任意两点的线段必定包含于 则称 为平面上的凸集 给出平面上 4 个点集的图形如下 阴影区域及其边界 其中为凸集的是 写出所有凸集相应图形的序号 解析解析 在各个图形中任选两点构成线段 看此线段是否包含于此图形 可以在边界 上 故选 特别提醒特别提醒 忽略 是由两个圆构成一个整体图形 从两个圆上各取一点构成的线段 用心 爱心 专心9 不包含于此图形 易误选 例例 16 16 若数列满足 对任意的 只有有限个正整数使得成立 n anN m m an 记这样的的个数为 则得

16、到一个新数列 例如 若数列是m n a n a n a 则数列是 已知对任意的 1 2 3 n n a0 1 2 1 n Nn 则 2 n an 5 a n a 题型九题型九 组合型组合型 给出若干个论断要求学生将其重新组合 使其构成符合题意的命题 解这类题 就要求 学生对所学的知识点间的关系有透彻的理解和掌握 通过对题目的阅读 理解 分析 比 较 综合 抽象和概括 用归纳 演绎 类比等推理方法准确地阐述自己的观点 理清思 路 进而完成组合顺序 例例 17 17 是两个不同的平面 是平面及之外的两条不同直线 给出下列四 m n 个论断 1 1 2 2 3 3 4 4 若以其中三个论断作为条件 mn n m 余下一个论断为结论 写出你认为正确的一个命题 解 解 通过线面关系 不难得出正确的命题有 1 1 2 2 m n mn m n mn 所以可以填 或 m n mn m n mn 用心 爱心 专心10 专题训练 1 已知等差数列 an 的公差d 0 且a1 a3 a9成等比数列 则 a1 a3 a9 a2 a4 a10 解析 由已知得a a1a9 a1 2d 2 a1 a1 8d 2