《创新方案数学一轮 第九篇 解析几何 第8讲 直线与圆锥曲线的位置关系教案 理 新人教.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《创新方案数学一轮 第九篇 解析几何 第8讲 直线与圆锥曲线的位置关系教案 理 新人教.doc（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第8讲直线与圆锥曲线的位置关系【2013年高考会这样考】1考查圆锥曲线中的弦长问题、直线与圆锥曲线方程的联立、根与系数的关系、整体代入和设而不求的思想2高考对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，考查函数、方程、不等式、平面向量等在解决问题中的综合运用【复习指导】本讲复习时，应从“数”与“形”两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系会判断已知直线与曲线的位置关系(或交点个数)，会求直线与曲线相交的弦长、中点、最值、定值、点的轨迹、参数问题及相关的不等式与等式的证明问题基础梳理1直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程AxByC0(A、B不同时为0)代入圆锥曲
2、线C的方程F(x，y)0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程即消去y后得ax2bxc0.(1)当a0时，设一元二次方程ax2bxc0的判别式为，则0直线与圆锥曲线C相交；0直线与圆锥曲线C相切；0直线与圆锥曲线C无公共点(2)当a0，b0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行2圆锥曲线的弦长(1)圆锥曲线的弦长直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的
3、线段)，线段的长就是弦长(2)圆锥曲线的弦长的计算设斜率为k(k0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2|y1y2|.(抛物线的焦点弦长|AB|x1x2p，为弦AB所在直线的倾斜角)一种方法点差法：在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交和被截的线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式是否为正数一条规律“联立方程求交点，
4、根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”双基自测1(人教A版教材习题改编)直线ykxk1与椭圆1的位置关系为()A相交 B相切C相离 D不确定解析直线ykxk1k(x1)1恒过定点(1,1)，而点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交答案A2(2012泉州质检)“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析与渐近线平行的直线也与双曲线有一个公共点答案A3已知以F1(2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线xy40有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为()A3 B2 C2 D4解析根据题意设椭圆方程为
5、1(b0)，则将xy4代入椭圆方程，得4(b21)y28b2yb412b20，椭圆与直线xy40有且仅有一个交点，(8b2)244(b21)(b412b2)0，即(b24)(b23)0，b23，长轴长为22.答案C4(2012成都月考)已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(12，15)，则E的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，由题意知c3，a2b29，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：两式作差得：，又AB的斜率是1，所以将4b25a2代入a2b29得a24，b25，所以双曲线
6、的标准方程是1.答案B5(2011泉州模拟)ykx2与y28x有且仅有一个公共点，则k的取值为_解析由得ky28y160，若k0，则y2；若k0，则0，即6464k0，解得k1.故k0或k1.答案0或1考向一直线与圆锥曲线的位置关系【例1】(2011合肥模拟)设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A. B2,2C1,1 D4,4审题视点 设直线l的方程，将其与抛物线方程联立，利用0解得解析由题意得Q(2,0)设l的方程为yk(x2)，代入y28x得k2x24(k22)x4k20，当k0时，直线l与抛物线恒有一个交点；当k0时，16
7、(k22)216k40，即k21，1k1，且k0，综上1k1.答案C 研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，但对于选择题、填空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解【训练1】 若直线mxny4与O：x2y24没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆1的交点个数是()A至多为1 B2 C1 D0解析由题意知：2，即2，点P(m，n)在椭圆1的内部，故所求交点个数是2个答案B考向二弦长及中点弦问题【例2】若直线l与椭圆C：y21交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求AOB面积的最大值审题视点 联立直线和椭圆方程，利用根与系数关系后
8、代入弦长公式，利用基本不等式求出弦长的最大值即可解设A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)当ABx轴时，|AB|；(2)当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为ykxm.由已知，得，即m2(k21)把ykxm代入椭圆方程，整理，得(3k21)x26kmx3m230.x1x2，x1x2.|AB|2(1k2)(x2x1)2(1k2)3.当k0时，上式334，当且仅当9k2，即k时等号成立此时|AB|2；当k0时，|AB|，综上所述|AB|max2.当|AB|最大时，AOB面积取最大值Smax|AB|max. 当直线(斜率为k)与圆锥曲线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)时，则|AB|x1x
9、2| |y1y2|，而|x1x2|，可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后再进行整体代入求解【训练2】 椭圆ax2by21与直线xy10相交于A，B两点，C是AB的中点，若AB2，OC的斜率为，求椭圆的方程解法一设A(x1，y1)、B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差得a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0.而1，koc，代入上式可得ba.再由|AB|x2x1|x2x1|2，其中x1、x2是方程(ab)x22bxb10的两根，故244，将ba代入得a，b.所求椭圆的方程是1.法二由得(ab)x22bxb1
10、0.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则|AB|.|AB|2，1.设C(x，y)，则x，y1x，OC的斜率为，.代入，得a，b.椭圆方程为y21.考向三圆锥曲线中的最值(或取值范围)问题【例3】(2011湘潭模拟)已知椭圆y21的左焦点为F，O为坐标原点(1)求过点O、F，并且与直线l：x2相切的圆的方程；(2)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围审题视点 (1)求出圆心和半径，得出圆的标准方程；(2)设直线AB的点斜式方程，由已知得出线段AB的垂直平分线方程，利用求值域的方法求解解(1)a22，b21，c1，F(1,
11、0)，圆过点O，F，圆心M在直线x上设M，则圆半径r，由|OM|r，得 ，解得t，所求圆的方程为2(y)2.(2)设直线AB的方程为yk(x1)(k0)，代入y21，整理得(12k2)x24k2x2k220.直线AB过椭圆的左焦点F且不垂直于x轴，方程有两个不等实根如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点N(x0，y0)，则x1x2，x0(x1x2)，y0k(x01)，AB的垂直平分线NG的方程为yy0(xx0)令y0，得xGx0ky0，k0，xG0，点G横坐标的取值范围为. 直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是
12、高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型【训练3】 (2012金华模拟)已知过点A(4,0)的动直线l与抛物线G：x22py(p0)相交于B、C两点当直线l的斜率是时，4.(1)求抛物线G的方程；(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围解(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，当直线l的斜率是时，l的方程为y(x4)，即x2y4.由得2y2(8p)y80，又4，y24y1，由及p0得：y11，y24，p2，得抛物线G的方程为x24y.(2)设l：yk(x4)，BC的中点坐标为
13、(x0，y0)，由得x24kx16k0，x02k，y0k(x04)2k24k.线段BC的中垂线方程为y2k24k(x2k)，线段BC的中垂线在y轴上的截距为：b2k24k22(k1)2，对于方程，由16k264k0得k0或k4.b(2，)考向四定值(定点)问题【例4】(2011四川)椭圆有两顶点A(1,0)、B(1,0)，过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.(1)当|CD|时，求直线l的方程(2)当点P异于A、B两点时，求证：OO为定值审题视点 (1)设出直线方程与椭圆方程联立利用根与系数的关系和弦长公式可求出斜率从而求出直线方程；(2)关键是求出Q点坐标及其与P点坐标的关系，从而证得为定值证明过程中要充分利用已知条件进行等价转化(1)解因椭圆焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为1(ab0)，由已知得b1，c1，所以a，椭圆方程为x21.直线l垂直于x轴时与题意不符设直线l的方程为ykx1，将其代入椭圆方程化简得(k22)x22kx10. 设C(x1，y1)，
