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1、数学论文之主元思想多元变量问题的突破口 主元思想多元变量问题的突破口赵光新在处理多变元变量的数学问题时，在思考方式上，我们可以把两个或多个对象的地位或角色进行转换，将其中的某一变量看作“主元”，而把其它的变元看作常量，从而减少变元，简化运算利用这种思维策略，对于培养学生良好的思维品质，提高研究问题和解决问题的能力大有裨益一、“主元思想”确定恒成立问题中的变量范围【例1】若x(0，13，不等式1+x+(aa2)x20恒成立，求a的范围解：将原不等式化为关于a的二次不等式x2a2x2a(x+1)0，即ax(x+1)(ax+1)0.x(0，13不等式的解为a|1x0f(2)0(2)log2x+log
2、22x2log2x+102(log2x1)+log22x2log2x+10解得x8或0x1注：换位思考后，将二元变为一元，避免了参数与对称轴相对位置的讨论二、主元思想证不等式【例3】已知|a|1，|b|1，|c|1，求证：abc+2a+b+c析：本题用常规方法较难，若利用主元思想，将问题转化为函数，利用函数性质求解，使问题迎刃而解解：将a、b、c中的a看成“主元”，将bc看成常数，构造一次函数设f(x)=(bc1)xbc+2，f(1)=(bc1)bc+2=4(b+1)(c+1)|b|1，|c|1，0b+12，0c+120(b+1)(c+1)4，f(1)0又f(1)=(bc1)bc+2=(b1)
3、(c1)0，f(x)在(1，1)上恒大于0|a|1，f(a)0(bc1)abc+20，即abc+2a+b+c【例4】若0a1b，求证：bb21a+1法1：将a视为“主元”，构造一次函数证明：由条件0a1b即a(0，1b)，若将a视为未知数，用x代替，即证x(0，1b)时，(bb2)1x+1，即(bb2)(x+1)10设f(x)=(bb2)x+(bb2)1即证x(0，1b)时，f(x)0而f(x)为x的一次函数，且f(0)=bb21=(b2b+1)0，f(1b)=b20当x(0，1b)，f(x)0成立原不等式成立法2：若将b看作“主元”构造二次函数证明：由0a1b，得0b1a将b看作未知数，通过
4、二次函数的性质来完成设g(x)=x2x+1a+1(0x1a)，对称轴为x=12(1)当1a12即a2时，g(x)在(0，1a)上是减函数，x(0，1a)时，g(x)g(1a)=1a21a+1a+1=1a2(a+1)0(2)当1a12时，x(0，1a)时，g(x)g(12)=1a+1140综合(1)(2)知：x(0，1a)时，x2x+1a+10恒成立，即xx21a+1原不等式成立三、“主元思想”求解最值【例5】已知F(a，)=a2+2asin+2a2+2acos+2（a，R，a0），那么对于任意的a，F(a，)的取值范围为解：设a为主元，令a2+2asin+2a2+2acos+2=y，(y1)a2+a(2ycos2sin)+2y2=00，即(ycossin)22(y1)2(y2+1)cos2(+)2(y1)22(y1)2y2+1cos2(+)123y2+3【例6】设实数x、y0，且x、y满足xy=xy，则x的最小值为解：视y为主元，将上式变为y2xy+x=0方程有根，0，即x24x0x4或x0（舍去）x的最小值为4（原载2007年1月少年智力开发报）
