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1、第三节 两因素试验资料的方差分析 两因素试验资料的方差分析是指对试验指标同时受到两个试验因素作用的试验资料的方差分析。两因素试验按水组合的方式不同，分为交叉分组和系统分组两类，因而对试验资料的方差分析方法也分为交叉分组方差分析和系统分组方差分析两种,现分别介绍如下。一、交叉分组资料的方差分析 设试验考察A、B两个因素，A因素分个水，B因素分b个水。所谓交叉分组是指A因素每个水与B因素的每个水都要碰到，两者交叉搭配形成b个水组合即处理，试验因素A、B在试验中处于等地位，试验单位分成b个组，每组随机接受一种处理，因而试验数据也按两因素两方向分组。这种试验以各处理是单独观测值还是有重复观测值又分为两
2、种类型。(一)两因素单独观测值试验资料的方差分析对于A、B两个试验因素的全部b个水组合，每个水组合只有一个观测值，全试验共有b个观测值，其数据模式如表6-20所示。表6-20两因素单独观测值试验数据模式 A因素 B因素合计均B1B2BjBbA1x11x12x1jx1bx1A2x21x22x2jx2bx2Ai12jbAaxa1xa2xajxabxa合计xjx1x2xjxbx均表6-20中，两因素单独观测值试验的数学模型为：(6-29)式中，为总均数；i，j分别为Ai、Bj的效应，i=i-,j=j-,i、j分别为Ai、Bj观测值总体均数，且i=0,j=0;ij为随机误差，相互独立，且服从N(0，2
3、)。交叉分组两因素单独观测值的试验，A因素的每个水有b次重复，B因素的每个水有次重复，每个观测值同时受到A、B两因素及随机误差的作用。因此全部b个观测值的总变异可以剖分为A因素水间变异、B因素水间变异及试验误差三部分；自由度也相应剖分。方和与自由度的剖分式如下：(6-30)各项方和与自由度的计算公式为矫正数总方和A因素方和B因素方和(6-31)误差方和SSe=SST-SSA-SSB总自由度dfT=ab-1A因素自由度dfA=a-1B因素自由度dfB=b-1误差自由度dfe=dfT-dfA-dfB=(a-1)(b-1)相应均方为【例65】为研究雌激素对子宫发育的影响，现有4窝不同品系未成年的大白
4、鼠，每窝3只，随机分别注射不同剂量的雌激素，然后在相同条件下试验，并称得它们的子宫重量，见表6-21，试作方差分析。表6-21各品系大白鼠不同剂量雌激素的子宫重量(g)品系(A) 雌激素注射剂量(mg/100g)(B)合计 均B1(02)B2(04)B3(08)A11061161453671223A24268115225750A3701111333141047A4426387192640合计xj2603584801098均6508951200这是一个两因素单独观测值试验结果。A因素(品系)有4个水，即=4；B因素(雌激素注射剂量)有3个水，即b=3，共有b=34=12个观测值。方差分析如下：1
5、、计算各项方和与自由度 根据公式（6-31）有：2、列出方差分析表，进行F检验 表6-22表6-21资料的方差分析表 变异来源 方和 自由度 均方 F值 A因素(品系)645766673215255562377*B因素(剂量)607400002303700003354*误差54333336905556总变异13075000011根据df1=dfA=3,df2=dfe=6查临界F值，F001(3,6)=978；根据df1=dfB=2，df2=dfe=6查临界F值，F001(2,6)=1092。因为A因素的F值2377F001(3,6)，P001，差异极显著；B因素的F值3354F001(2,6)
6、，P001，差异极显著。说明不同品系和不同雌激素剂量对大白鼠子宫的发育均有极显著影响，有必要进一步对A、B两因素不同水的均测定结果进行多重比较。3、多重比较 （1）不同品系的子宫均重量比较各品系均数多重比较表见表6-23。表6-23各品系子宫均重量多重比较（q法）品系 均数-640-750-1047A1 1223583*473*176A31047407*297*A2750110A4 640在两因素单独观测值试验情况下，因为A因素(本例为品系)每一水的重复数恰为B因素的水数b，故A因素的标准误，此例b=3,MSe=905556，故根据dfe=6，秩次距k=2,3,4从附表5中查出=005和=00
7、1的临界q值，与标准误相乘，计算出最小显著极差LSR，结果见表6-24。表6-24q值及LSR值 dfe 秩次距k q005q001LSR005LSR0016234652419012879343463323843478449070326923862将表6-23中各差数与表6-24中相应最小显著极差比较，作出推断。检验结果已标记在表6-23中。结果表明，A1、A3品系与A2、A4品系的子宫均重量均有极显著的差异；但A1与A3及A2与A4品系间差异不显著。(2)不同激素剂量的子宫均重量比较B因素各剂量水均数比较表见表6-25。表6-25不同雌激素剂量的子宫均重量多重比较(q法)雌激素剂量 均数-6
8、50-895B3(08)1200550*305*B2(04)895245*B1(02)650在两因素单独观测值试验情况下，B因素(本例为雌激素剂量)每一水的重复数恰为A因素的水数a，故B因素的标准误，此例=4，MSe=905556。故根据dfe=6，秩次距k=2,3查临界q值并与相乘，求得最小显著极差LSR，见表6-26。表6-26q值与LSR值 dfe 秩次距 q005q001LSR005LSR0016234652416462493343463320653012将表6-25各差数与表6-26相应最小显著极差比较，作出推断，比较结果已标记在表6-25中。结果表明，注射雌激素剂量为08mg的大白
9、鼠子宫重量极显著大于注射剂量为04mg和02mg的子宫重量，而后两种注射剂量的子宫重量间也有显著差异。在进行两因素或多因素的试验时，除了研究每一因素对试验指标的影响外，往往更希望研究因素之间的交互作用。例如，通过对畜禽所处环境的温度、湿度、光照、噪音以及空气中各种有害气体等对畜禽生长发育的影响有无交互作用的研究，对最终确定有利于畜禽生产的最佳环境控制是有重要意义的。对畜禽的不同品种(品系)及其与饲料条件、各种环境因素互作的研究，有利于合理利用品种资源充分发挥不同畜禽的生产潜能。又如在饲料科学中，常常要研究各种营养成分间有无交互作用，从而找到最佳的饲料配方，这对于合理利用饲料原料提高饲养水等都是
10、非常有意义的。前面介绍的两因素单独观测值试验只适用于两个因素间无交互作用的情况。若两因素间有交互作用，则每个水组合中只设一个试验单位(观察单位)的试验设计是不正确的或不完善的。这是因为：(1)在这种情况下，(6-31)式中SSe,dfe实际上是A、B两因素交互作用方和与自由度，所算得的MSe是交互作用均方，主要反映由交互作用引起的变异。(2)这时若仍按【例65】所采用的方法进行方差分析，由于误差均方值大(包含交互作用在内)，有可能掩盖试验因素的显著性，从而增大犯型错误的概率。(3)因为每个水组合只有一个观测值，所以无法估计真正的试验误差，因而不可能对因素的交互作用进行研究。因此，进行两因素或多
11、因素试验时，一般应设置重复，以便正确估计试验误差，深入研究因素间的交互作用。(二)两因素有重复观测值试验的方差分析对两因素和多因素有重复观测值试验结果的分析，能研究因素的简单效应、主效应和因素间的交互作用(互作)效应。现介绍这三种效应的意义如下：1、简单效应(simpleeffect)在某因素同一水上，另一因素不同水对试验指标的影响称为简单效应。如在表6-27中，在A1(不加赖氨酸)上，B2-B1=480-470=10；在A2(加赖氨酸)上，B2-B1=512-472=40；在B1(不加蛋氨酸)上，A2-A1=472-470=2；在B2(加蛋氨酸)上，A2-A1=512-480=32等就是简单
12、效应。简单效应实际上是特殊水组合间的差数。 表6-27日粮中加与不加赖、蛋氨酸雏鸡的增重(g)A1 A2 A2-A1均 B14704722471B248051232496B2-B1104025均475492172、主效应(maineffect)由于因素水的改变而引起的均数的改变量称为主效应。如在表6-27中，当A因素由A1水变到A2水时，A因素的主效应为A2水的均数减去A1水的均数，即A因素的主效应=492-475=17同理B因素的主效应=496-471=25主效应也就是简单效应的均，如(32+2)2=17，(40+10)2=25。3、交互作用(互作，interaction)在多因素试验中，一
13、个因素的作用要受到另一个因素的影响，表现为某一因素在另一因素的不同水上所产生的效应不同，这种现象称为该两因素存在交互作用。如在表6-27中：A在B1水上的效应=472-470=2A在B2水上的效应=512-480=32B在A1水上的效应=480-470=10B在A2水上的效应=512-472=40显而易见，A的效应随着B因素水的不同而不同，反之亦然。我们说A、B两因素间存在交互作用，记为AB。或者说，某一因素的简单效应随着另一因素水的变化而变化时，则称该两因素存在交互作用。互作效应可由(A1B1+A2B2-A1B2-A2B1)/2来估计。表6-27中的互作效应为(470+512-480-472)/2=15所谓互作效应实际指的就是由于两个或两个以上试验因素的相互作用而产生的效应。如在表6-27中，A2B1-A1B1=472-470=2，这是添加赖氨酸单独作用的效应；A1B2-A1B1=480-470=10，这是添加蛋氨酸单独作用的效应，两者单独作用的效应总和是2+10=12；但是，A2B2-A1B1=512-470=42，而不是1
