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1、椭圆的几何性质第八章教材分析1本节知识结构 椭圆的离心率椭圆的简单几何性质椭圆的范围、顶点、对称性椭圆的定义与标准方程 2目的要求 掌握椭圆的简单几何性质；理解椭圆的参数方程3教学任务分析 （1）根据曲线的方程，研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之一根据曲线的条件列出方程，如果说是解析几何的手段，那么根据曲线的方程研究它的性质、画图就可说是解析几何的目的在第七章学习曲线和方程时已指出，对于这个问题，将结合各种曲线方程来阐述因此，对学生来说，系统地按照方程来研究曲线的几何性质，现在还是第一次本小节通过对椭圆标准方程的讨论，一方面要使学生掌握椭圆的几个性质，掌握标准方程
2、中的a、b以及c、e的几何意义，a、b、c、e之间的相互关系；同时，要通过对椭圆的标准方程的讨论，使学生知道在解析几何中是怎样用代数方法研究曲线的性质的因为这是第一次系统地用代数方法研究曲线，这时教学进度可以适当放慢教材编写的意图是让通过使用计算机或者计算器操作以及与同学的交流来研究曲线的性质。让学生在操作中发现曲线的性质，然后通过反思为什么会有这些特征？从方程特征上来解释自己的发现。为活动方便，教材把研究椭圆的范围、顶点、对称性放在一个标题之下，而把离心率另立一个标题。（2）在解析几何中讨论曲线的范围，就是确定方程中两个变量的取值范围教科书中是用解不等式的方式来讨论的在第七章我们已经学过二元
3、一次不等式表示平面区域，不等式组的解表示的区域，就是平面内四个不等式 xa，xa，yb，y b所表示的区域的交集，即直线xa，yb所围成的矩形区域 如果将椭圆的标准方程变形为 y，则这个椭圆的方程可以分成y与y两个函数式，讨论椭圆的范围就是讨论这两个函数的定义域和值域，这个问题学生不会有困难这也是讨论椭圆范围的一种方法 确定曲线的范围对于徒手画出曲线是有一定帮助的 （3）在讨论椭圆的对称性之前，应先复习初中学过的对称的概念和关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标之间的关系，然后说明“以x代x，或以y代y，或同时以x代x、以y代y方程不变，则图形关于y轴、x轴、原点对称”的道理，这与在“函数”一章中
4、证明函数的奇偶性类似，那时只是没有关于x轴对称的情况 容易证明，如果曲线具有上述三种对称性中的任意两种，那么它一定还具有另一种对称性例如，如果曲线关于x轴和原点对称，那么它一定关于y轮对称事实上，设点P（x，y）在曲线上，因为曲线关于x轴对称，所以点P1（x，y）必在曲线上因为曲线关于原点对称，所以P1关于原点的对称点P2（x，y）必在曲线上因为P（x，y），P2（x，y）都在曲线上，所以曲线关于y轴对称 （4）关于求曲线的截距，相当于求曲线与坐标轴的交点对椭圆l来说，它与坐标轴的交点就是它的顶点 令y0，得关于x的方程，解这个方程，求出x的值，就是曲线与x轴交点的横坐标，即曲线在x轴上的截距
5、 令x0，得关于y的方程，解这个方程，求出y的值，就是曲线与y轴交点的纵坐标，即曲线在y轴上的截距 通过求椭圆的顶点，得到a、b的几何意义，a是长半轴的长，b是短半轴的长由c2a2b2，可得“已知椭圆的四个顶点，求焦点”的几何作法只要以B1或 B2为圆心，A为半径，作弧交长轴于两点，这两点就是焦点 讨论了曲线的范围、对称性和截距以后，再进行描点画图，只要描出较少的点，就能得到较准确的图形教科书在这个基础上，给出了徒手画椭圆草图的一种方法，用这个方法画椭圆的草图非常方便，比较实用（5）离心率的概念比较抽象，教学中可以利用图83所示的图形，动态改变焦点F1、F2之间的距离2c，或者改变AB的长2a
6、，来体验椭圆扁平的程度受到的大小影响，从而定义离心率。为了教学方便，本教科书中规定椭圆与圆是两种不同的曲线，因此椭圆的离心率满足不等式0e1当e0时，图形就变为圆了有些书把圆归在椭圆里，即把圆看成椭圆的特殊情形，这样，在椭圆的准线方程x中，当c0时，所以圆也可看成两焦点重合、准线在无穷远处的椭圆的极限情形 （6）例4通过一个具体的问题，让学生推导曲线的方程，然后再一般化。在方程推出后，教师可以引导开放问题，进一步学生研究：平面上，一个动点M与一个定点F的距离和它到一条定直线l的距离的比是一个常数e（0e1）时，这个动点M的轨迹是什么？学生是会十分感兴趣的。借助信息技术的帮助，这个问题的研究并不
7、困难，当学生发现椭圆也可以这样来定义时，再引出例题中的“注”，提升例题的教育价值。 定点F是椭圆的焦点，定直线l叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率这时在说明，实际上这里给出了椭圆的另一种定义，这个定义与第81节中的定义是等价的，可以互相推出根据这个定义也可以导出椭圆的标准方程，但推导过程比较复杂学过双曲线、抛物线以后我们会看到，椭圆、双曲线、抛物线可以统一用“到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹”来定义，并把它们统称为圆锥曲线，这个常数就是它们的离心率教学大纲的必修课中没有极坐标的内容，所以椭圆的这个定义是介绍性的，不必深究另外，通过这道例题，学生会对离心率的几何意义有进一步的了
8、解（7）用解析法研究图形的性质是通过对方程的讨论进行的，方程是建立在坐标系的基础上同一曲线由于坐标系选取不同，方程的形式也不同，但是最后得出的性质是一样的，即与坐标系的选取无关教学时，应向学生讲清图形本身的性质，把曲线不同位置的特殊性质与图形本身的性质区别开来（8）教科书中着重讲第一个标准方程的椭圆的性质掌握了第一个标准方程的椭圆的性质后，就容易理解第二个标准方程的椭圆的性质在进行复习时，教师可列出下面的图表，提出问题，由学生解答和小结长轴在x轴上相同点长轴在y轴上长轴的长2a短轴的长2bc2a2b2离心率e（0e1）不 同 点方程（ab0）（ab0）焦点F1（c，0），F2（c，0）F1（0
9、，c），F2（0，c）顶点A（a，0），A（a，0）B（0，b），B（0，b）A（b，0），A（b，0）B（0，a），B（0，a）准线l：xl：x（c0）l：yl：y（c0）（9）例3介绍了椭圆在航天领域应用的例子，题中说明这个卫星运行的近地点、远地点及轨道的焦点在同一条直线上所有的卫星的近地点、远地点、焦点都是这样吗？为什么它们一定是这样呢？这个问题可以用坐标法来证明，即可以证明椭圆上到焦点的距离最大和最小的点，恰是椭圆长轴的两个端点我们用椭圆的标准方程（ab0）来证明设点P（x0，y0）是椭圆上任意一点（如下图），r为点P与椭圆左焦点F1（c，0）的距离，则r2（x0c）2y x2cx0c
10、2b2x （1）x2cx0c2b2 （x0a）2 r0 rx0aa又 ax0a， 当x0a时，r最大，xa时，r最小，即点（a，0）、（a，0）与焦点F1（c，0）则的距离，分别是椭圆上的点与焦点F1的最大距离和最小距离（10）教科书根据教学大纲的精神，在讲过椭圆的标准方程以后，以例题（例5）的形式，给出了椭圆的一个参数方程椭圆的参数方程与圆的参数方程形式相似，容易理解和记忆学生只要知道椭圆还有这样一种方程，知道方程中各系数的意义就可以了，不要求他们利用椭圆的参数方程解题在教学这道例题时，应该让学生动手制作，分清主动点与被动点，体验各动点之间的逻辑联系，了解轨迹形成的原因，把握问题的本质，自觉
11、选取作为联系动点M横、纵坐标之间关系的变量（参数），建立椭圆的参数方程。例5给出了椭圆的又一种几何作法，按照这种方法，在已知椭圆的长、短轴长的情况下，就可以画出椭圆上的一个对应点，它的轨迹就是椭圆作为课外活动，或者研究性学习，可以让学生收集椭圆的各种画法（书中至少有了4种第一定义、第二定义、压缩或拉伸、参数法），这对于了解轨迹的探求过程是很有帮助的。例5中的“注”，打通了“压缩法”与参数法画椭圆本质上的一致性，由压缩（或拉伸）法也可以得到椭圆的标准方程，即把圆x2+y2a2，依压缩比压缩可以得到压缩后的曲线方程为1（11）8.2习题后的数学实验，把椭圆（双曲线）的两个定义统一在一起。前2个小题
12、都很容易；第3个小题“求外心H的轨迹”有一定的难度，轨迹是一条直线，即为椭圆的一条准线，不能求出方程的只要知道是一条直线即可；第4小题，只要求学生进行操作观察，发现事实即可。请参考下面的问题：如图，ABC中（ACB90），MC是边AB上的中线，O是三角形的外心。E是AC的中点，OE交 AB于P。OHCM，OHPK，H，K为垂足。求证：；证明：连结OM，KM。M是AB中点，O是ABC的外心，OMAB。 OKPK， P、K、O、M共圆。MKPMOP。 E是AC中点，OEAE， E、A、O、M共圆，MOP EAP。 MKP EAP。PKHK，MHHK，CMA MPK，CMA MPK， 因此，即。以上是|MC|MA|的情形。由已知，|MC|MA|，以上证明也适用于|MC|=|MA| 。 |MC|MA|的情形（如图）。可以用解析法证明|MH|是定值。用心 爱心 专心 125号编辑 5
