《高考一轮复习备考资料之数学人教A版课件：2.3 函数的奇偶性与周期性》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考一轮复习备考资料之数学人教A版课件：2.3 函数的奇偶性与周期性（73页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 2 3函数的奇偶性与周期性 第二章函数概念与基本初等函数 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 函数的奇偶性 知识梳理 y轴 f x f x f x f x 原点 2 周期性 1 周期函数 对于函数y f x 如果存在一个非零常数T 使得当x取定义域内的任何值时 都有 那么就称函数y f x 为周期函数 称T为这个函数的周期 2 最小正周期 如果在周期函数f x 的所有周期中存在一个的正数 那么这个就叫做f x 的最小正周期 f x T f x 最小 最小正数 1 函数奇偶性常用结论 1 如果函数f x 是偶函数 那么f x f x 2 奇函数在两个对
2、称的区间上具有相同的单调性 偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性 3 在公共定义域内有 奇 奇 奇 偶 偶 偶 奇 奇 偶 偶 偶 偶 奇 偶 奇 2 函数周期性常用结论对f x 定义域内任一自变量的值x 1 若f x a f x 则T 2a a 0 知识拓展 题组一思考辨析1 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 偶函数图象不一定过原点 奇函数的图象一定过原点 2 若函数y f x a 是偶函数 则函数y f x 关于直线x a对称 3 函数f x 在定义域上满足f x a f x 则f x 是周期为2a a 0 的周期函数 4 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件 5
3、 若T是函数的一个周期 则nT n Z n 0 也是函数的周期 基础自测 1 2 3 4 5 6 题组二教材改编2 P39A组T6 已知函数f x 是定义在R上的奇函数 且当x 0时 f x x 1 x 则f 1 答案 2 解析f 1 1 2 2 又f x 为奇函数 f 1 f 1 2 1 解析 1 2 3 4 5 6 4 P39A组T6 设奇函数f x 的定义域为 5 5 若当x 0 5 时 f x 的图象如图所示 则不等式f x 0的解集为 解析由图象可知 当0 x 2时 f x 0 当2 x 5时 f x 0 又f x 是奇函数 当 2 x 0时 f x 0 当 5 x0 综上 f x
4、0的解集为 2 0 2 5 解析 1 2 3 4 5 6 答案 2 0 2 5 解析依题意得f x f x b 0 又a 1 2a 解析 1 2 3 4 5 6 答案 题组三易错自纠5 已知f x ax2 bx是定义在 a 1 2a 上的偶函数 那么a b的值是 6 偶函数y f x 的图象关于直线x 2对称 f 3 3 则f 1 解析 1 2 3 4 5 6 3 答案 解析 f x 为偶函数 f 1 f 1 又f x 的图象关于直线x 2对称 f 1 f 3 f 1 3 题型分类深度剖析 典例判断下列函数的奇偶性 题型一判断函数的奇偶性 师生共研 解答 f x f x 且f x f x 函数
5、f x 既是奇函数又是偶函数 解答 函数f x 为奇函数 解答 解显然函数f x 的定义域为 0 0 关于原点对称 当x 0时 x 0 则f x x 2 x x2 x f x 当x 0时 x 0 则f x x 2 x x2 x f x 综上可知 对于定义域内的任意x 总有f x f x 函数f x 为奇函数 判断函数的奇偶性 其中包括两个必备条件 1 定义域关于原点对称 这是函数具有奇偶性的必要不充分条件 所以首先考虑定义域 2 判断f x 与f x 是否具有等量关系 在判断奇偶性的运算中 可以转化为判断奇偶性的等价关系式f x f x 0 奇函数 或f x f x 0 偶函数 是否成立 跟踪
6、训练 1 下列函数中 既不是奇函数 也不是偶函数的是A y x sin2xB y x2 cosxC y 2x D y x2 sinx 解析 答案 解析对于A f x x sin2 x x sin2x f x 为奇函数 对于B f x x 2 cos x x2 cosx f x 为偶函数 对于D y x2 sinx既不是偶函数也不是奇函数 故选D 2 函数f x loga 2 x g x loga 2 x a 0且a 1 则函数F x f x g x G x f x g x 的奇偶性是A F x 是奇函数 G x 是奇函数B F x 是偶函数 G x 是奇函数C F x 是偶函数 G x 是偶函
7、数D F x 是奇函数 G x 是偶函数 解析F x G x 定义域均为 2 2 由已知F x f x g x loga 2 x loga 2 x F x G x f x g x loga 2 x loga 2 x G x F x 是偶函数 G x 是奇函数 解析 答案 解析 答案 题型二函数的周期性及其应用 自主演练 1 2017 西安一模 奇函数f x 的定义域为R 若f x 1 为偶函数 且f 1 2 则f 4 f 5 的值为A 2B 1C 1D 2 解析 f x 1 为偶函数 f x 1 f x 1 则f x f x 2 又y f x 为奇函数 则f x f x f x 2 且f 0
8、0 从而f x 4 f x 2 f x y f x 的周期为4 f 4 f 5 f 0 f 1 0 2 2 2 2017 山东 已知f x 是定义在R上的偶函数 且f x 4 f x 2 若当x 3 0 时 f x 6 x 则f 919 解析 f x 4 f x 2 f x 2 4 f x 2 2 即f x 6 f x f x 是周期为6的周期函数 f 919 f 153 6 1 f 1 又f x 是定义在R上的偶函数 f 1 f 1 6 即f 919 6 解析 答案 6 3 定义在R上的函数f x 满足f x 6 f x 当 3 x 1时 f x x 2 2 当 1 x 3时 f x x 则
9、f 1 f 2 f 3 f 2018 解析 答案 339 解析 f x 6 f x 周期T 6 当 3 x 1时 f x x 2 2 当 1 x 3时 f x x f 1 1 f 2 2 f 3 f 3 1 f 4 f 2 0 f 5 f 1 1 f 6 f 0 0 f 1 f 2 f 6 1 f 1 f 2 f 3 f 2015 f 2016 1 336 又f 2017 f 1 1 f 2018 f 2 2 f 1 f 2 f 3 f 2018 339 函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质 对函数周期性的考查 主要涉及函数周期性的判断 利用函数周期性求值 命题点1求函数值或函数解析式
10、题型三函数性质的综合应用 多维探究 典例 1 2017 全国 已知函数f x 是定义在R上的奇函数 当x 0 时 f x 2x3 x2 则f 2 解析方法一令x 0 则 x 0 f x 2x3 x2 函数f x 是定义在R上的奇函数 f x f x f x 2x3 x2 x 0 f 2 2 23 22 12 方法二f 2 f 2 2 2 3 2 2 12 12 答案 解析 2 2016 全国 改编 已知f x 为偶函数 当x 0时 f x e x 1 x 则f x 解析 当x 0时 x 0 f x f x ex 1 x 解析 答案 命题点2求参数问题 典例 1 若函数f x xln x 为偶函
11、数 则a 解析 f x f x 1 答案 解析 lna 0 a 1 解析 10 答案 解析因为f x 是定义在R上且周期为2的函数 即3a 2b 2 由 得a 2 b 4 从而a 3b 10 即b 2a 命题点3利用函数的性质解不等式 典例 1 2017 安阳模拟 已知函数g x 是R上的奇函数 且当x 0时 g x ln 1 x 函数f x 若f 2 x2 f x 则实数x的取值范围是A 1 2 B 2 1 C 1 2 D 2 1 解析 答案 解析 g x 是奇函数 x 0时 g x g x ln 1 x 易知f x 在R上是增函数 由f 2 x2 f x 可得2 x2 x 即x2 x 2
12、0 2 x 1 解析 答案 解析 f x 是定义在R上的周期为3的偶函数 f 5 f 5 6 f 1 f 1 解得 1 a 4 故选A 1 关于奇偶性 单调性 周期性的综合性问题 关键是将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题 2 掌握以下两个结论 会给解题带来方便 f x 为偶函数 f x f x 若奇函数在x 0处有意义 则f 0 0 解析 答案 几何画板展示 解析因为f x 是偶函数 所以其图象关于y轴对称 2 已知定义在R上的奇函数f x 满足f x 4 f x 且在区间 0 2 上是增函数 则A f 25 f 11 f 80 B f 80 f 11 f 25 C f 11 f 80
13、f 25 D f 25 f 80 f 11 解析 答案 解析因为f x 满足f x 4 f x 所以f x 8 f x 所以函数f x 是以8为周期的周期函数 则f 25 f 1 f 80 f 0 f 11 f 3 由f x 是定义在R上的奇函数且满足f x 4 f x 得f 11 f 3 f 1 f 1 因为f x 在区间 0 2 上是增函数 f x 在R上是奇函数 所以f x 在区间 2 2 上是增函数 所以f 1 f 0 f 1 所以f 25 f 80 f 11 函数的性质 高频小考点 函数的奇偶性 周期性及单调性是函数的三大性质 在高考中常常将它们综合在一起命题 解题时 往往需要借助函
14、数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性 即实现区间的转换 再利用单调性解决相关问题 考点分析 一 函数性质的判断典例1 1 2017 北京 已知函数f x 3x 则f x A 是偶函数 且在R上是增函数B 是奇函数 且在R上是增函数C 是偶函数 且在R上是减函数D 是奇函数 且在R上是减函数 解析 答案 解析 函数f x 的定义域为R 函数f x 是奇函数 又 y 3x在R上是增函数 2 2017 荆州模拟 下列函数 y sin3x 3sinx 解析 答案 其中是奇函数且在 0 1 上是减函数的个数为A 1B 2C 3D 4 解析易知 中函数在 0 1 上为增函数 中函数不是奇函数 满足条
15、件的函数为 3 定义在实数集R上的函数f x 满足f x f x 2 0 且f 4 x f x 现有以下三个命题 8是函数f x 的一个周期 f x 的图象关于直线x 2对称 f x 是偶函数 其中正确命题的序号是 解析由f x f x 2 0可得f x 4 f x 2 f x 函数f x 的周期是4 对 由f 4 x f x 可得f 2 x f 2 x f x 的图象关于直线x 2对称 对 f 4 x f x 且f 4 x f x f x f x f x 为偶函数 对 解析 答案 二 函数性质的综合应用典例2 1 已知f x 是定义在R上的偶函数 并且f x 3 当1 x 3时 f x 则f
16、 2017 解析 2 答案 故函数f x 的周期为6 f 2017 f 6 336 1 f 1 f x 为偶函数 f 1 f 1 f 2017 2 2 函数f x 在 1 上是增函数 则a的取值范围是 解析 解析由已知函数y x 2018 在 1 上是增函数 且y 0恒成立 1 2019 答案 a 1 又由当x 1时 y 1 2018 a 0 得a 2019 a的取值范围是 1 2019 3 已知f x 是定义在R上的偶函数 且在区间 0 上单调递增 若实数a满足f 2 a 1 f 则a的取值范围是 解析 答案 又由已知可得f x 在 0 上单调递减 课时作业 1 下列函数为奇函数的是A y B y sinx C y cosxD y ex e x 基础保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析函数y 的定义域为 0 所以该函数不具有奇偶性 排除选项A 函数y sinx y cosx的图象关于y轴对称 所以均为偶函数 排除选项B C 故选D 解析 答案 2 设函数f x ln 1 x ln 1 x 则f x 是A 奇函数 且在 0 1 上是
