《人教A版高中数学选修1-1 2.1.1 椭圆及其标准方程 课件 （共31张PPT）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教A版高中数学选修1-1 2.1.1 椭圆及其标准方程 课件 （共31张PPT）（31页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2 1 1椭圆及其标准方程 在我们实际生活中 同学们见过椭圆吗 能举出一些实例吗 想一想 2003年10月15日是全中国人感到骄傲和自豪的日子 这一天在中国发生了什么震惊世人的事件 中国人终于实现了什么梦想 生活中的椭圆 生活中的椭圆 如何精确地设计 制作 建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢 圆是点的轨迹 是平面内到定点距离等于定长的动点的轨迹 椭圆是满足什么几何条件的点的轨迹呢 数学实验 1 取一条细绳 无弹性 2 把它的两端固定在板上的两点F1 F2 3 用粉笔尖 M 把细绳拉紧 在板上慢慢移动看看画出的图形 F1 F2 M 请同学们观察 并思考下面两个问题 1 动点 移动的粉笔尖 运动出
2、的轨迹是什么 2 动点满足怎样的几何条件 反思 1 在画出一个椭圆的过程中 圆规两脚末端的位置是固定的还是运动的 2 在画椭圆的过程中 绳子的长度变了没有 说明了什么 3 在画椭圆的过程中 绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系 结合实验以及 圆的定义 思考讨论一下应该如何定义椭圆 它应该包含几个要素 1 在平面内 2 到两定点F1 F2的距离等于定长2a 3 定长2a F1F2 问 能否由此得到 到两个定点的距离之和等于定值的点的轨迹就一定是椭圆呢 说明 在平面上到两个定点F1 F2的距离之和等于定值2a的点的轨迹为 当2a F1F2 2c 轨迹为 椭圆当2a F1F2 2c 轨迹为 线段当2
3、a F1F2 2c 轨迹为 不存在 平面内到两定点F1 F2的距离之和等于常数 大于 F1F2 的点的轨迹叫做椭圆 这两个定点叫做椭圆的焦点 两焦点的距离叫做焦距 1 椭圆的定义 O X Y F1 F2 M 2 椭圆方程的建立 步骤一 建立直角坐标系 设动点坐标 步骤二 找关系式 步骤三 列方程 步骤四 化简方程 步骤五 验证 求曲线方程的步骤 3 方程的推导 以两定点F1 F2的所在直线为x轴 线段F1F2的垂直平分线为y轴 建立直角坐标系 如图 设 F1F2 2c c 0 M x y 为椭圆上任意一点 则有F1 c 0 F2 c 0 且M到F1 F2的距离和为2a 由椭圆的定义 可知 MF
4、1 MF2 2a 由两点间的距离公式 可知 即 两边平方得 a4 2a2cx c2x2 a2x2 2a2cx a2c2 a2y2 即 a2 c2 x2 a2y2 a2 a2 c2 因2a 2c 即a c 故a2 c2 0 令a2 c2 b2 其中b 0 代入上式 可得 两边同时除以a2 a2 c2 得 这就是所求椭圆的轨迹方程 它表示的椭圆的焦点在x轴上 焦点是F1 c 0 F2 c 0 这里c2 a2 b2 4 椭圆标准方程分析 我们把方程叫做椭圆的标准方程 它表示的椭圆的焦点在x轴上 焦点是F1 c 0 F2 c 0 这里c2 a2 b2 如果椭圆的焦点在y轴上 焦点是F1 o c F2
5、0 c 这里c2 a2 b2 方程是怎样呢 由两点间的距离公式 可知 设 F1F2 2c c 0 M x y 为椭圆上任意一点 则有F1 0 c F2 0 c 又由椭圆的定义可得 MF1 MF2 2a 只须将 1 方程的x y互换即可得到 这个也是椭圆的标准方程 x Y 椭圆的标准方程的再认识 1 椭圆标准方程的形式 左边是两个分式的平方和 右边是1 3 椭圆的标准方程中三个参数a b c满足a2 b2 c2 4 由椭圆的标准方程可以求出三个参数a b c的值 2 椭圆的标准方程中 x2与y2的分母哪一个大 则焦点在哪一个轴上 例1已知椭圆的两个焦点坐标分别是 2 0 2 0 并且经过点 求它
6、的标准方程 解 因为椭圆的焦点在x轴上 所以设它的标准方程为 由椭圆的定义知 待定系数法 又因为 所以 因此 所求椭圆的标准方程为 所以 能用其他方法求它的方程吗 另解 因为椭圆的焦点在x轴上 所以设它的标准方程为 联立 因此 所求椭圆的标准方程为 又 焦点的坐标为 变式练习 已知椭圆经过两点和 求椭圆的标准方程 解 设椭圆的标准方程为 则有 解得 所以 所求椭圆的标准方程为 注意这种设法适用的情况 x y O D M P 例2如图 在圆上任取一点P 过点P作x轴的垂线段PD D为垂足 当点P在圆上运动时 线段PD的中点M的轨迹是什么 为什么 解 设点M的坐标为 x y 点P的坐标为 x0 y
7、0 则 因为点P x0 y0 在圆 相关点法 把点 0 x y0 2y代入方程 得 即 所以点M的轨迹是一个椭圆 从例2你能发现椭圆与圆之间的关系吗 变式练习 已知圆 从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段 点M在上 并且 则点M的轨迹方程为 例3如图 设点A B的坐标分别是 5 0 和 5 0 直线AM BM相交于点M 且它们的斜率之积是 求点M的轨迹方程 y A x M B O 解 设点M的坐标 x y 因为点A的坐标是 5 0 所以 直线AM的斜率为 同理 直线BM的斜率 由已知有 化简 得点M的轨迹方程为 图形 方程 焦点 F c 0 F 0 c a b c之间的关系 c2 a2 b2 MF1 MF2 2a 2a 2c 0 定义 注 共同点 椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上 中心在坐标原点的椭圆 方程的左边是平方和 右边是1 不同点 焦点在x轴的椭圆项分母较大 焦点在y轴的椭圆项分母较大 课堂小结
