《高中数学苏教版必修5学案：1.3 正弦定理、余弦定理的应用（一）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学苏教版必修5学案：1.3 正弦定理、余弦定理的应用（一）（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学习目标1.利用正弦、余弦定理解决生产实践中的有关距离的测量问题.2.利用正弦、余弦定理解决生产实践中的有关高度的测量问题.3.利用正弦、余弦定理解决生产实践中的有关角度的测量问题.知识点一有关的几个术语1.方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的角.如图所示的1、2即表示点A和点B的方位角.故方位角的范围是0，360).2.方向角：指以观测者为中心，指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90的水平角，它是方位角的另一种表示形式.如图，左图中表示北偏东30，右图中表示南偏西60.思考上两图中的两个方向，用方位角应表示为30(左图)，240(右图).3.仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水
2、平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫做仰角；目标视线在水平视线下方时叫做俯角.如图所示.4.视角：观测者的两条视线之间的夹角叫做视角.5.坡角：坡面与水平面的夹角叫坡角，坡面的铅直高度与水平宽度之比叫坡度(tan )，如图.知识点二解三角形应用题解三角形应用题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解三角形，得到实际问题的解，求解的关键是将实际问题转化为解三角形问题.(1)解题思路(2)基本步骤运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤如下：分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图(一个或几个三角形)；建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽
3、可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型；求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解；检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解.(3)主要类型题型一测量距离问题例1(1)海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，则B，C间的距离是 海里.答案5 解析根据题意，如图所示.在ABC中，A60，B75，AB10，C45.由正弦定理可得，即，BC5(海里).(2)在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为的军事基地C和D测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且ADB30，BDC30，DCA60，
4、ACB45，如图所示，求蓝方这两支精锐部队之间的距离. 解ADCADBCDB60，又DCA60，DAC60.ADCDACa.在BCD中，DBC45，BCa.在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos 45a2a22aaa2.ABa.蓝方这两支精锐部队之间的距离为a.反思与感悟求距离问题时应注意的三点(1)选定或确定所求量所在的三角形.若其他量已知，则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.(3)测量两个不可到达的点之间的距离问题.首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用余弦定理求三角形
5、的边长问题，然后在相关三角形中利用正弦定理计算其他边.跟踪训练1如图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，若在河岸选取相距20米的C、D两点，测得BCA60，ACD30，CDB45，BDA 60，那么此时A、B两点间的距离是多少？解由正弦定理得AC10(1)(米)，BC20(米).在ABC中，由余弦定理得AB10(米).A、B两点间的距离为10米.题型二测量高度问题例2如图所示，A、B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45，BAD120，又在B点测得ABD45，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD. 解由于CD平面ABD，CAD45，所以CDAD.因此只需在ABD
6、中求出AD即可，在ABD中，BDA1804512015，由，得AD800(1)(m).即山的高度为800(1) m.反思与感悟在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解.和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解.跟踪训练2(1)甲、乙两楼相距a，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则甲、乙两楼的高分别是 .答案a，a解析甲楼的高为atan 60a，乙楼的高为aatan 30aaa.(2)如图，地平面上有一旗杆OP，为了测得它的高度h，在地面上选两点A，B，AB20 m，在A点处测得P
7、点仰角OAP30，在B点处测得P点的仰角OBP45，又测得AOB60，求旗杆的高度h.(结果保留两个有效数字)解在RtAOP中，OAP30，OPh.OAOPh.在RtBOP中，OBP45，OBOPh.在AOB中，AB20，AOB60，由余弦定理得AB2OA2OB22OAOBcos 60，即202(h)2h22hh，解得h2176.4，h13 m.题型三测量角度问题例3如图，在海岸A处发现北偏东45方向，距A处(1)海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30方向逃窜.问：缉私
8、船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间. 解设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则CD10t，BD10t，在ABC中，由余弦定理，有BC2AB2AC22ABACcos A(1)2222(1)2cos 1206.BC.又，sinABC，又ABC(0，60)，ABC45，B点在C点的正东方向上，CBD9030120，在BCD中，由正弦定理得，sinBCD.又BCD(0，90)，BCD30，缉私船沿北偏东60的方向行驶.又在BCD中，CBD120，BCD30，D30，BDBC，即10t.t小时15分钟.缉私船应沿北偏东60的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要
9、15分钟.反思与感悟航海问题是解三角形应用问题中的一类很重要的问题，解决这类问题一定要搞清方位角，再就是选择好不动点，然后根据条件，画出示意图，转化为解三角形问题.跟踪训练3甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60方向的B处，两船相距a n mile，乙船向正北方向行驶.若甲船的速度是乙船速度的倍，问甲船应沿什么方向前进才能最快追上乙船？相遇时乙船行驶了多少n mile?解如图所示，设两船在C处相遇，并设CAB，乙船行驶距离BC为x n mile，则ACx，由正弦定理得sin ，而60，30，ACB30，BCABa.甲船应沿北偏东30方向前进才能最快追上乙船，两船相遇时乙船行驶了a n mile.
10、1.一艘船上午930在A处，测得灯塔S在它的北偏东30的方向，且与它相距8海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午1000到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75的方向，此船的航速是 海里/时.答案16()解析由题意得在三角形SAB中，BAS30，SBA18075105，BSA45.由正弦定理得，即，得AB8()，因此此船的航速为16()(海里/时).2.在某测量中，设A在B的南偏东3427，则B在A的北偏西 .答案3427解析由方向角的概念，B在A的北偏西3427.3.甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20 m高的旗杆，甲观测的仰角为50，乙观测的仰角为40，用d1，d2分别表示甲、乙
11、两人离旗杆的距离，那么d1，d2的大小关系是 .答案d1d2解析仰角大说明距离小，仰角小说明距离大，即d1d2.4.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40，灯塔B在观察站C的南偏东60，则灯塔A在灯塔B的北偏西 .答案10解析由题意可知ACB180406080.ACBC，CABCBA50，从而可知灯塔A在灯塔B的北偏西10.5.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45，若CD50 m，山坡对于地平面的坡度为，则cos . 答案1解析在ABC中，由正弦定
12、理，AC100.在ADC中，cos sin(90)1.6.2012年10月29日，飓风“桑迪”袭击美国东部，如图，在灾区的搜救现场，一条搜救犬从A处沿正北方向行进x m到达B处发现一个生命迹象，然后向右转105，行进10 m到达C处发现另一生命迹象，这时它向右转135后继续前行回到出发点，那么x m.答案解析由题意CBA75，BCA45，BAC180754560，x(m).1.正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦
13、定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.2.解三角形应用题常见的两种情况(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解有足够条件的三角形，然后逐步求出其他三角形中的解，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解.3.测量距离问题包括两种情况(1)测量一个可到达点到另一个不可到达点之间的距离.(2)测量两个不可到达点之间的距离.第一种情况实际上是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，用正弦定理即可解决(如图1)；对于第二种情况，首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用正弦定理求三角形边长的问题，然后把BC，AC转化为测量可到达的点与不可到达的点之间的距离问题(如图2).4.测量底部不可到达的建筑物的高度问题.由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题.5.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解
