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1、第11讲 二元一次不等式及线性规划1.理解二元一次不等式（组）的几何意义，求解不等式（组）的解集2.会从实际问题中抽象出二元一次不等式（组），并用平面区域表示3.了解线性规划的背景及意义4.掌握线性约束条件，目标函数，可行解，可行域，最优解的基本概念5.会从实际问题中抽象出二元线性规划问题，并能找出最优解1.点与平面区域之间的关系，二元一次不等式组的表示2.求平面区域的形状，面积问题3.求线性（非线性）目标函数的最值4.掌握寻找最优解的方法5.简单线性规划的实际应用问题_二元一次不等式（组）及线性规划1. 二元一次不等式（组）（1） 二元一次不等式二元一次不等式是指含有两个未知数，且未知数的最
2、高次数为1的整式不等式，其一般形式为或（2） 二元一次不等式组由几个总共含有两个未知数，且未知数的最高次数为1的整式不等式构成的不等式组称为二元一次不等式组。2. 二元一次不等式表示的平面区域的画法（1） 画线（2） 定侧（3） 求“交”【注意】平面区域的表示（1）画线；（2）定测；（3）求交；（4）表示。由平面区域确定二元一次不等式组求平面区域的面积（重，难点）二元一次不等式组表示平面区域的实际应用（重点）简单线性规划问题求最值（重点）非线性目标函数求最值（重点）利用线性规划解决实际问题（重，难点）平面区域的表示在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公
3、共部分。例1.画出下列不等式表示的平面区域（1）x0；（2）6x+5y22；（3）x-y0.【答案】（1）画出直线x=0，取点（1，0），代入x=10。x0表示直线x=0右侧的平面区域，如图（1）所示。（2）画出直线6x+5y=22，取点（0，0），代入6x+5y=022。6x+5y22表示直线6x+5y=0左下方的平面区域，如图（2）所示。（3）画出直线y=x，取点（-1，0），代入x-y=-10。所以x-y0表示直线y=x左上方的平面区域，如图（3）所示。【解析】先画出不等式所对应的直线（注意虚线，实线），再取特殊点，判断所对应的区域。练习1.画出不等式x-2y-10表示的平面区域。【答案
4、】画出直线x-2y-1=0，取点（0，0），代入x-2y-1=-10。所以x-2y-10表示直线x-2y-1=0右下方的平面区域，如图所示。【解析】取点确定区域，可选特殊点如（0，0），（1，0）等。平面区域的方法：画相应直线取定点分析确定区域平面区域的表示1.开半平面与闭半平面：直线把坐标平面分为两部分，每个部分叫做开半平面，开半平面与直线的并集叫做闭半平面；2.不等式表示的区域：以不等式的解为坐标的所有点构成的集合，叫做不等式表示的区域或不等式的图像3.二元一次不等式组表示的平面区域：二元一次不等式组中所有不等式所表示的平面区域的交集，就是二元一次不等式组所表示的平面区域。例2.画出不等式
5、组x-y+50x+y0x3，所表示的平面区域。【答案】不等式x-y+50表示直线x-y+5=0及其右下方的平面区域，x+y0表示直线x+y=0及其右上方的平面区域，x3表示直线x=3及其左方的平面区域。不等式组x-y+50x+y0x3，表示的平面区域如图所示：【解析】分别画出每一个不等式所对应的直线，取特殊点确定区域，求交集。注意边界线的实与虚。练习1. 画出不等式组x-y+10x+y+10x0，所表示的平面区域。【答案】不等式x-y+10表示直线x-y+1=0及其右下方的平面区域，x+y+10表示直线x+y+1=0及其右上方的平面区域，x0表示直线x=0及其左方的平面区域。不等式组x-y+1
6、0x+y+10x0，表示的平面区域如图所示：【解析】应确保每一个不等式表示的平面区域准确，不等式能取等则包括边界。练习2. 画出不等式组所表示的平面区域。【答案】不等式x-y+50表示直线x-y+5=0及其右下方的平面区域，x+y0表示直线x+y=0及其右上方的平面区域，x3表示直线x=3及其左方的平面区域。不等式组x-y+50x+y0x3，表示的平面区域如图所示：【解析】准确画出对应直线方程，取特殊点可迅速确定区域。二元一次不等式组表示的平面区域是每一个不等式表示的平面区域的公共部分。对于给出的平面区域，解题时逆用“直线定界，特殊点定域”。判断区域在直线的哪一侧可用特殊点，例如：（0，0）是
7、否在区域内。例3.如图所示，在ABC中，A（3，-1），B（-1，1），C（1，3），写出ABC区域（包括边界）所表示的二元一次不等式组。【答案】由两点式得AB，BC，CA直线方程：AB：x+2y-1=0，BC：x-y+2=0，CA:2x+y-5=0，由区域可得不等式组为：x+2y-10x-y+202x+y-50。【解析】根据三个顶点坐标写出三边所在的直线方程，然后写出不等式组。练习1.根据下图所表示的平面区域，写出相对应的二元一次方程组。【答案】由平面区域可得不等式组为：2x-y-10x-2y+10x+y-50。【解析】逆用“直线定界，特殊点定域”。先求出边界各条直线的方程，然后写出对应的不
8、等式，注意若直线为实线，则不等式有等号；若直线为虚线，则不等式没有等号。线性规划及其运用1.线性规划问题的相关概念（1） 线性约束条件：如果约束条件是关于变量的一次不等式（或等式），则称为线性约束条件；（2） 线性目标函数：如果目标函数是关于变量的一次函数，则称为线性目标函数，其一般式为（其中为常数，且不同时为0）；（3） 线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题； （4） 可行解：满足线性约束条件的解 ；（5） 可行域：由所有可行解组成的集合；（6） 最优解：使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标，最优解必是可行解，最优解必在可行域内。2.非线性目标函数的最值问题（
9、1） 形如的式子，表示动点和定点连线的斜率；（2） 形如的式子，表示动点到定点的距离，而表示动点到定点的距离的平方，即 （3） 形如的式子，表示动点到直线的距离而表示 【注意】求平面区域的面积，先画出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积。若为规则图形，直接用面积公式求解；若图形为不规则图形，可采用分割的方法，分为几个规则图形，然后求解。例4.若不等式组x+y-20x+2y-20x-y+2m0，表示的区域为三角形，且其面积等于43，则m的值为（ ）A.-3 B.1 C. 43 D.3【答案】如图所示不等式组x+y-20x+2y-20x-y+2m0,表示的平面区域为三角形ABC，且其面
10、积等于43，再注意到直线AB：x+y-2=0与直线BC:x-y+2m=0互相垂直，所以三角形ABC是直角三角形；易知，A（2，0），B（1-m,m+1）,C(2-4m3，2m+23);从而SABC=122+2mm+1-122+2m2m+23=43，化简得：（m+1）2=4，解得m=-3,或m=1；检验知当m=-3时，已知不等式组不能表示一个三角形区域，故舍去；所以m=1;【解析】作出不等式组对应的平面区域，求出三角形各顶点的坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可。练习1. 若不等式组x-y+10x+2y-20ax-y-2a0，a为常数所表示的区域的面积等于152，求a的值。【答案】不等式组x-
11、y+10x+2y-20ax-y-2a0，所围成的区域如图所示。设C（m，m+1），则SABC=S梯形AODC-SAOB-SBCD，即121+m+1m-1212-12m-2m+1=152。解得m=5，C点坐标为（5，6）。代入ax-y-2a=0，得a=2。【解析】根据题意点C在直线x-y+1=0上，可设C点坐标（m，m+1），进而通过面积求出m的值。先在平面直角坐标系中画出二元一次不等式组所表示的区域，根据区域的形状及平面区域的面积求出参数的值。例5.一工厂生产甲，乙两种产品，每生产1t产品所需的资源如下表：该厂有工人200人，每天只能保证160 kWh的用电额度，每天用煤不得超过150 t，请
12、在直角坐标系中画出每天甲、乙两种产品允许的产量范围。【答案】设每天分别生产甲、乙两种产品x t 和y t.生产x t甲产品和y t乙产品的用电量是(2x+8y) (kWh)，根据条件，有2x+8y160；用煤量为(3x+5y) (t)，根据条件，有3x+5y150;用工人数(5x+2y)(人)，根据条件，有5x+2y200;另外，还有x0,y0.综上所述，x、y应满足以下不等式组：甲、乙两种产品的产量范围是这组不等式表示的平面区域，即如图所示的阴影部分(含边界).【解析】根据题意写出线性约束条件，画出平面区域。练习1.某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元。假设
13、种植黄瓜和韭菜的产量，成本和售价如图所示：试写出种植黄瓜与韭菜亩数满足的不等式组，并画出其平面区域。【答案】设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x,y亩,总利润为z万元，则目标函数为.线性约束条件为即作出不等式组表示的可行域,易求得点.平移直线，可知当直线经过点,即时,z取得最大值,且（万元）.【解析】主要考查了线性规划，解题的关键是得到约束条件和目标函数，同时考查了作图的能力。解答线性规划应用题的一般步骤可归纳为：(1)审题仔细阅读，明确有哪些限制条件，目标函数是什么？(2)转化设元写出约束条件和目标函数;(3)求解关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线斜率间的关系；(4)作答就应用题提出的
14、问题作出回答先根据实际问题的需要选取起关键作用，关联较多的两个量用字母表示。将问题中所有的量都用这两个字母表示出来。根据实际问题中的限制条件或问题中所有量均有实际意义列出所有的不等式。把这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来。例6. 若变量x，y满足约束条件x-y+20x-5y+100x+y-80，则目标函数z=4x-3y的最小值和最大值分别为（）A-6，11 B2，11 C-11，6 D-11，2【答案】解：作出满足约束条件的可行域，如右图所示，由x-5y+10=0x+y-8=0得C（5，3），可知当直线z=4x-3y平移到点（5，3）时，目标函数z=4x-3y取得最大值11；当直线z=4x-3y平移到点B
