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1、理科数学试卷第 1 页 共 8 页 20 LK YG12 绝密 考试结束前 考试时间 2019 年 12 月 5 日 15 00 17 00 全国大联考2020 届 12 月联考 理科数学试卷 A 注意事项 1 答卷前 考生务必将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上 2 回答选择题时 需用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改 动 用橡皮擦干净后 再选涂其它答案标号 回答非选择题时 将答案写在答题卡上 3 考试结束后 请将试卷和答题卡一并交回 4 考试时间120 分钟 满分150 分 一 选择题 共12 小题 每小题5 分 共 60 分 在每个小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题
2、目要求的 1 已知集合 1 24 4 x Ax 22 By yxx 则AB I A 2 B 0 C 2 2 D 0 2 2 若复数z满足 1 4 2zi i 则 z A 25 B 17 C 5D 17 3 从 6 9 中任取一个m 则直线340 xym 被圆 22 2xy 截得的弦长大于2 的概率为 A 2 3 B 2 5 C 1 3 D 1 5 4 张丘建算经 是早于 九章算术 的我国另一部数学著作 在 算经 中有一题 某女子善于织布 一天比一天织的快 而且每天增加的数量相同 已知第一天织布5 尺 30 天共织布390 尺 则该女子织布每天增加 A 4 7 尺 B 16 29 尺 C 8 1
3、5 尺 D 16 31 尺 5 某兴趣小组合作制作了一个手工制品 并将其绘制成如图所示的三视图 其中侧视图 考 试 开 始 前 请 勿 填 写 班 级 姓 名 准 考 证 号 考 场 号 座 位 号 理科数学试卷第 2 页 共 8 页 20 LK YG12 中的圆的半径为3 则制作该手工制品表面积为 A 5 B 10 C 125 D 2412 6 从某中学抽取100 名学生进行阅读调查 发 现每年读短篇文章量都在50 篇至 350 篇之间 频率分布直方图如图所示 则对这100 名学生 的阅读量判断正确的为 A a的值为0 004 B 平均数约为200 C 中位数大约为183 3 D 众数约为3
4、50 7 已知 25 2 231 1 a xx x 的展开式中各项系数之和为0 则该展开式的常数项是 A 10 B 7 C 10 D 9 8 已知函数 2 f xxax 的图象在 1 2 x 处 的切线与直线20 xy 垂直 执行如图所示 的程序框图 若输出的k的值为 15 则判断框 中t的值可以为 A 13 14 B 14 15 C 15 16 D 16 17 9 已知正项数列 n a为等比数列 n S为其前n项和 且有 22 3526 324002aaa a 24 10SS 则第 2019 项的个位数为 A 1B 2C 8D 9 10 已知双曲线C的中心为坐标原点 焦点在坐标轴上 且双曲线
5、的渐近线方程为 3yx 则双曲线 C的离心率为 理科数学试卷第 3 页 共 8 页 20 LK YG12 A 2B 3C 3或 3 2 2 D 2或 2 3 3 11 已知函数 2 0 sin 2 xxf在 3 2 2 上至少存在两个不同的 21 x x满足4 21 xfxf 且函数 xf在 12 3 上具有单调性 0 6 和 12 7 x分别为函数 xf图象的一个对称中心和一条对称轴 则下列命题中正确的是 A 函数 xf图象的两条相邻对称轴之间的距离为 4 B 函数 xf图象关于直线 3 x对称 C 函数 xf图象关于点 0 12 对称 D 函数 xf在 2 6 上是单调递减函数 12 已知
6、函数 f x在 0 1 恒有 2 xf xf x 其中 f x为函数 f x的导数 若 为 锐角三角形的两个内角 则 A sinsin sinsin 22 ff B cossin sincos 22 ff C coscos coscos 22 ff D cossin cossin 22 ff 二 填空题 本大题共4 小题 每小题5 分 共 20 分 13 设 x y满足约束条件 0 2360 3260 xyk xy xy 若目标函数2zxy 的最大值与最小值之 和为 40 13 则k 14 2a r 1b r a r b r 的夹角为60 则b r 与2ab rr 的夹角为 15 在三棱锥PA
7、BC 中 2 2 4 3 5PAPBABBCAC 若平面PAB 平面ABC 则三棱锥PABC 外接球的表面积为 理科数学试卷第 4 页 共 8 页 20 LK YG12 16 已知抛物线 2 4C xy 任意直线 0 l ykx b b 已知直线l交抛物线C于 M N两点 P为 y轴上的一点满足 OPMOPN 点O为坐标原点 则P点 的坐标为 三 解答题 本大题共6 小题 共70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 12 分 在ABC中 内角A B C 所对的边分别为a b c 已知 CaAcacoscos2 求 b a 的值及角 A的取值范围 18 12 分 如图 在平面多边形
8、SABCD中 SAAD 1 2 SAABADCDBC 3 ABC 以 AD为折痕把 SAD折起 使点S到达点 P的位置 且PAAB 连 接AC 1 求证 平面PAC 平面PAB 2 求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值 理科数学试卷第 5 页 共 8 页 20 LK YG12 19 本题满分12 分 某研究公司为了调查公众对某事件的关注程度 在某年的连续6 个月内 月份 i x和关注 人数 i y 单位 百 1 2 3 6 i L数据做了初步处理 得到下面的散点图及一些统计 量的值 1 由散点图看出 可用线性回归模型拟合y与x的关系 请用相关系数加以说明 并建立 y关于x的回归方程 2
9、经统计 调查材料费用 单位 百元 与调查人数满足函数关系 1863 23 y v y 求材料费用的最小值 并预测此时的调查人数 3 现从这 6 个月中 随机抽取3个月份 求关注人数不低于1600 人的月份个数分 布列与数学期望 参考公式 相关系数 n 1 n 22 11 ii i n ii ii xxyy r xxyy 若0 95r 则y与x的线性相关 程度相当高 可用线性回归模型拟合 y与x的关系 回归方程 ybxa 中斜率与截距 理科数学试卷第 6 页 共 8 页 20 LK YG12 的最小二乘估计公式分别为 6 1 6 2 1 ii i i i xxyy xx b a ybx 20 本
10、题满分12 分 已知椭圆 22 22 1 0 xy Eab ab 左 右焦点分别为1F 2F 上顶点为A 离心率 为 2 2 1b 1 求E的方程 2 直线l与E相切于点P 直线m过点 1F经点P被直线 l反射得反射光线n 问 直线n是否经过x轴上一个定点 若经过 求出该点的坐标 若不经过 说明理由 理科数学试卷第 7 页 共 8 页 20 LK YG12 21 本题满分12 分 已知函数 1 0 x f xA xeA 1 讨论函数 f x的单调性 2 当0A时 令 函 数 1 xkx g xeekx 当0 x时 恒 有 2 4 g f xg xx 求实数A的取值范围 理科数学试卷第 8 页
11、共 8 页 20 LK YG12 选考题 请考生在22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 10 分 在直角坐标系xOy中 直线l的参数方程为 1cos 2sin xt yt t为参数 以坐标原点为极 点 以x轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 曲 线C的 极 坐 标 方 程 为 2cos4sin0 1 求曲线 C 的普通方程 2 已知 1 2 M 直线l与曲线C交于P Q两点 求 22 MPMQ 的最大值 23 选修 4 5 不等式选讲 10 分 已知函数21 xxxf 1 求不等式03 xxf的解集 2 设函数2
12、2 xxfxg 若存在 x 使 2 2g x 成立 求实数的取值 范围 理科数学试卷第 1 页 共 10 页 20 LK YG12 全国大联考2020 届 12 月联考 理科数学 A 参考答案 一 选择题 共12 小题 每小题5 分 共 60 分 题号123456 答案BCABDC 题号789101112 答案DDCBDB 1 B 解析 由 1 24 4 x 得22x 即 2 2 A 由22yxx 得2x 所以0y 所以 0 B 所以 0 AB I 故选 B 2 C 解析 由 1 42zii 得 42 124 i zi i 所以34zi 所以 5z 3 A 解析 所给圆的圆心为坐标原点 半径为
13、 2 当弦长大于2时 圆心到直线l 的距离小于1 即 1 5 m 所以 55m 故所求概率 5 5 2 9 6 3 P 4 B 解析 本题可以转为等差数列问题 已知首项 15a 前 30项的和30 390S 求公差 d 由等差数列的前n项公式可得 3029 305 2 390d 解得 16 29 d 5 D 解析 由三视图可知 该手工制品是由两部分构成 每一部分都是相同圆锥的四分之一 且圆锥的底面半径为3 高为 4 故母线长为5 故每部分的表面积为 1111 24 3659126 2424 故两部分表面积为2412 6 C 解析 由 0 0024 0 0036 0 00600 0024 0 0
14、012 50 1a 解得0 0044a 故A 错 由 A 可知 0 0044a 所以平均数为 0 002450750 0036501250 0060501750 004450 理科数学试卷第 2 页 共 10 页 20 LK YG12 2250 0024502750 001250325186 故 B 错误 居民月用电量在 50 150 的频率为 0 0024 0 0036 500 3 居民月用电量在 150 200 的频率为 0 0060500 3 这 100户居民月用电量的中位数大约为 0 50 3 15050183 3 0 3 故 C 正确 由频率分布直方图可知 众数大约为175 故 D
15、错误 7 D 解析 令1x 则有 5 6 1 0a 所以1a 又 5 2 1 1 x 展开式的通项为 210 15 1 kk k k TC x 令4k 则常数项为 4 5 210C 令5k 则常数项为 5 5 11C 故展开式的常数项为 1019 8 D 解析 当双曲线的焦点在x轴上时 设 C 的方程为 22 22 1 0 0 xy ab ab 则其渐近方程为 b yx a 所以 3 b a 所以 222 2 22 1 3 bca e aa 所以2e 当 双 曲线 的焦 点在 y 轴 上时 设 C 的 方程 为 0 0 1 2 2 2 2 ba a y b x 则其渐近 方程 为 x b a
16、y 所以3 b a 所以 3 1 a b 所以 2 2 a b 2 22 a ac 3 1 1 2 e 所以 2 3 3 e 9 C 解析 由 22 3526 324002aaa a 得 22 3355 232400aa aa 即 2 35 32400aa 又0 n a 所以 53 aa 180 从而180 42 1 qqa 由 24 10SS 得 10 214321 aaaaaa 即 9 2143 aaaa 所以 9 21 2 21 aaqaa 所以9 2 q 又0q 所以3q 代入180 42 1 qqa 得2 1 a 所以 504 504 201842 2019 2 32331881a 故其个位数为 8 10 B 理科数学试卷第 3 页 共 10 页 20 LK YG12 解析 2fxxa 则 yf x 的图象在 1 2 x 处的切线斜率 1 1 2 kfa 由于切线与直线20 xy 垂直 则有 1 1 1 2 a 则1a 所 以 2 1 fxxxx x 所 以 111 1f kkk 所 以 111 1 223 S L 11 1 kk 由于输出的k 的值为 15 故总共循环了15
