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1、2020 届江西省临川第一中学高三上学期第一次联考 10 月 数 学 文 试题 一 单选题 1 设集合26Axx 2 4Bx x 则ABI A 26xxB 26xxC 22xxD 6x x 答案 A 解析 先求出集合B 再利用交集的运算即可求出 详解 因为 2 42Bx xx x或2x 26Axx 所以26ABxx 故选 A 点睛 本题主要考查集合的交集运算 2 设 a bR 则 2 0ab a 是 ab 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不 必要条件 答案 A 解析 利用充分 必要条件的定义即可判断 详解 2 0ab a 因为 0a 可推出 a b ab时 若
2、 0a 则无法推出 2 0ab a 所以 2 0ab a 是 ab 的充分不必要条件 故选A 点睛 本题主要考查分 必要条件的定义的应用 3 若 a b c 则 a b c 的大小关系是 A a b cB c a b C b c aD b a c 答案 D 解析 根据 y 0 是增函数和y 是减函数可求得结果 详解 y 0 是增函数 a b y 是减函数 a c b a c 故本题答案为D 点睛 本题考查幂函数和指数函数的性质 考查学生利用函数单调性进行比较大小 掌握幂函 数和指数函数的基本知识是重点 属基础题 4 若复数满足342zi 则 z z的最大值为 A 9B 81C 7D 49 答案
3、 D 解析 根据复数的几何意义可知 复数对应的点的轨迹是以 3 4 为圆心 半径为 2 的圆 z z表示圆上的点到原点的距离的平方 由几何知识即可求出 详解 由题意可知 复数对应的点的轨迹是以点A 3 4 为圆心 半径为2 的圆 z z表示 圆上的点到原点的距离的平方 因为 2 2 345OA 所以 z z的最大值为 2 5249 故选 D 点睛 本题主要考查复数的几何意义的应用 5 已知等差数列na的首项为4 公差为 2 前 n项和为 n S 若 5 44 kk SakN 则k的值为 A 6B 7C 8D 7或8 答案 B 解析 根据题意可求出等差数列 n a的通项公式 n a和前n项和 n
4、 S 即可列出等式 解出k的值 详解 由题意得 22 n an 2 1 423 2 n n nnS n n 所以 2 321244kkk 解得7k或8k 舍去 故选 B 点睛 本题主要考查等差数列 n a的通项公式和前n项和公式的应用 6 已知实数 xy 满足 1 21 y yx xym 如果目标函数 zxy的最小值为 1 则实数 m 等于 A 6 B 5 C 4 D 3 答案 B 解析 详解 试题分析 由下图可得zxy在 A处截距取得最大值 最小 由 min 21 1 212 333 yx mmm Az xym 15m 故选 B 考点 线性规划 方法点晴 本题考查线性规划问题 灵活性较强 属
5、于较难题型 考生应注总结解决线性规划问题 的一般步骤 1 在直角坐标系中画出对应的平面区域 即可行域 2 将目标函数变 形为 az yx bb 3 作平行线 将直线 0axby 平移 使直线与可行域有交点 且观察在可行域中使 z b 最大 或最小 时所经过的点 求出该点的坐标 4 求出最优 解 将 3 中求出的坐标代入目标函数 从而求出的最大 小 值 7 某创业公司共有36 名职工 为了了解该公司职工的年龄构成情况 随机采访了 9 位代表 得到的数据分别为36 36 37 37 40 43 43 44 44 若用样本估计总 体 年龄在 xs xs 内的人数占公司人数的百分比是 其中 x 是平均
6、数 为标准差 结果精确到1 A 14 B 25 C 56 D 67 答案 C 解析 依据题意 计算出平均数和方差 标准差 即可求出百分比 详解 因为 363637374043434444 40 9 x 2 1100 1616990991616 99 s 即 10 3 s 年龄在 xs xs内 即 110 130 33 内的人数有5 人 所以百分比为 5 56 9 故选 C 点睛 本题主要考查利用样本估计总体 涉及平均数 方差 标准差的计算 意在考查学生的 计算能力 8 在平行四边形ABCD中 点 P在对角线AC上 包含端点 且2AC 则 PBPDPA uu u ruuu ru uu r 有 A
7、 最大值为 1 2 没有最小值B 最小值为 1 2 没有最大值 C 最小值为 1 2 最大值为4D 最小值为4 最大值为 1 2 答案 C 解析 画出图形 通过平面向量的线性运算可将PBPDPA uu u ruu u ruu u r 转化为两个共线向 量的数量积 分类讨论点P 的位置 利用基本不等式即可求出最值 详解 如图所示 2PBPDPO uuu ruu u ruu u r 所以2PBPDPAPO PA uu u ruu u ruu u ruuu r uu u r 1 当点 P在AO上 设 0 1OPa uuu r 22 1 PBPDPAPO PAaa uu u ruuu ruu u ru
8、 uu r uu u r 因为 11 1 22 aa aa 所以 11 2 42 PBPDPA u uu ruuu ru uu r 2 当点P在CO上 设 0 1OPa uu u r 22 1 224PBPDPAPO PAaa uu u ruuu ruu u ru uu r uu u r 综上 PBPDPA uu u ruu u ru uu r 的最小值为 1 2 最大值为4 故选 C 点睛 本题主要考查向量数量积的运算 基本不等式的应用 意在考查学生的转化能力和数学 运算能力 9 已知函数 2 1 lnf xxx x 则曲线 f x 在1x处切线方程为 A 230 xyB 210 xyC 2
9、10 xyD 20 xy 答案 A 解析 先求出0 x时 f x 的解析式 求出其导数 由导数的几何意义即可求出方 程 详解 当 0 x 时 2 11 lnlnfxxxxx xx 2 1 ln1fxx x 所以 1 2f 11f 曲线 f x 在1x处切线方程为 121yx 即2 30 xy 故选 A 点睛 本题主要考查利用导数的几何意义求切线方程 10 如图所示是一几何体的三视图 正视图是一等腰直角三角形 且斜边BD长为 2 侧视图是一直角三角形 俯视图为一直角梯形 且 1ABBC 则异面直线 PB与CD 所成角的正切值是 A 1 B 2 C 2 2 D 1 2 答案 C 解析 详解 如图
10、取 AD的中点E 连接 BE PE CE 依题意得 BECD 所以PBE为异 面直线PB与CD所成角 因为1 2 PEBEPEBE 所以 2 tan 2 PE PBE BE 故选 C 方法点睛 本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力 属于难题 三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型 也是高考热点 观察三视图并将其 翻 译 成直观图是解题的关键 不但要注意三视图的三要素 高平齐 长对正 宽相等 还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响 11 关于函数 coscos 2f xxx 有下列三个结论 是 f x 的一个周期 f x 在 35 44
11、 上单调递增 f x 的值域为2 2 则上述结论中 正确的个数 为 A 0 B 1 C 2 D 3 答案 B 解析 利用三角函数的性质 逐个判断即可求出 详解 因为 f xf x 所以是 f x 的一个周期 正确 因为2f 52 2 42 f 所以 f x 在 35 44 上不单调递增 错误 因为 fxf x 所以 f x 是偶函数 又是 f x 的一个周期 所以可以只考 虑0 2 x时 f x 的值域 当 0 2 x时 cos0 1tx 22 coscos2coscos22coscos121f xxxxxxxtt 2 21ytt在0 1上单调递增 所以 1 2f x f x 的值域为1 2
12、错 误 综上 正确的个数只有一个 故选 B 点睛 本题主要考查三角函数的性质应用 12 已知点P是椭圆 22 1 168 xy 上非顶点的动点 12 FF分别是椭圆的左 右焦点 O 为坐标原点 若 M 为 12 F PF的平分线上一点 且 1 0F MMP uuuu r uuu r 则OM uu uu r 的取值范 围为 A 0 3B 0 22C 0 3D 0 2 2 答案 D 解析 依据题意画出简图 不妨设点 P 在 y轴右边 可知 2 1 2 OMF N 根据焦 半径公式 算出 12 PF PF 即可求出2 F N 从而得解 详解 如图所示 不妨设点 P 在 y轴右边 因为 M 为 12
13、F PF 的平分线上一点 且 1 0F MMP uuu u r u uu r 所以 PM 为 1 F N 的垂直平分线 故 1 PFPN 由中位线定理可得 2 1 2 OMF N 设点 00 P xy 由焦半径公式得 10PFaex 20 PFaex 2120 2F NPFPFex 故 0 OMex uuuu r 因为 4 22ac 所以 2 2 e 0 0 4x 0 0 22OMex u uuu r 故选 D 点睛 本题主要考查椭圆的简单几何性质 等腰三角形的性质 椭圆定义的应用 意在考查学 生转化能力 二 填空题 13 函数 23ln2 x f xx 的零点个数为 答案 1 解析 利用函数
14、零点的定义即可求出 详解 由 23ln20 x f xx 所以ln20 x或 230 20 x x 解得3x 故函数 23ln2 x f xx只有一个零点 点睛 本题主要考查函数零点的求法 14 若 1 tan4 tan x x 则 66 sincosxx 答案 13 16 解析 先切化弦 再利用立方和公式即可求出 详解 由 1 tan4 tan x x 得 sincos 4 cossin xx xx 即有 1 sincos 4 xx 66224224 sincossincossinsincoscosxxxxxxxx 2 2222313 sincos3sincos1 1616 xxxx 点睛
15、本题主要考查同角三角函数基本关系式 以及立方和公式的应用 15 当 1 x时 不等式 2 420 xx mm恒成立 则实数m 的取值范围为 答案 1 2 解析 利用分离参数法 可以得到 2 1 2 x mm 求出 1 2 x y 在 1 x上 的最小值 只要 2 mm小于其最小值 解不等式即可得出实数 m 的取值范围 详解 由题意可得 2 420 xx mm可变形为 2 1 2 x mm 因为 1 2 x y 在 1 x 上单调递减 所以其最小值为2 故 2 2mm 解得12m 所以 实数 m 的取值范围为 1 2 点睛 本题主要考查不等式恒成立问题的解法 利用分离参数法将恒成立问题转化为最值
16、问 题 是常见的解题思路 16 在三棱锥PABC中 3 4 3 5PAPBABBCAC 若平面PAB平 面ABC 则三棱锥PABC外接球的表面积为 答案 126 5 解析 根据题意可求出点P到面 ABC 的距离为 5 而三角形 ABC 为直角三角形 由此可知球心O 在面 ABC 内的射影为AC 的中点 设球心O 到面 ABC 的距离为h 根 据勾股定理 即可求出h 算出外接球半径 得到外接球的表面积 详解 如图所示 过P 作 PD 垂直 AB 于 D PA PB 所以 D 为 AB 的中点 因为平面 PAB 平面ABC 所以 PD 面 ABC 又因为 222 ABBCAC 所以三棱锥PABC外 接球的球心在面ABC 内的射影为AC 的中点 且O E D P 四点共面 过 O 作 OF 垂直 PD 于 F 所以四边形OEDF 为矩形 设球心O 到面 ABC 的距离为 h 即 OE FD h 三棱锥PABC外接球的半径为R 在等腰 PAB中 22 325PD 而 13 22 OFDEBC 5 2 AE 故 22 2 22 53 5 22 Rhh 解得 1 2 5 h 2 125126 20
