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1、第十一章计数原理 考点 1 排列与组合 1 2017 新课标 6 安排 3 名志愿者完成4 项工作 每人至少完成1 项 每项工作由1 人完成 则不同的安排方式共有 A 12 种B 18 种C 24 种D 36 种 1 D 4 项工作分成3 组 可得 6 安排3 名志愿者完成4 项工作 每人至少完成1 项 每项工作由1 人完成 可得 6 36 种 故选D 2 2016 全国 5 如图 小明从街道的E 处出发 先到F 处与小红会合 再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动 则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 A 24 B 18 C 12 D 9 2 B 从 E 点到 F 点的最短路径有6
2、种 从 F 点到 G 点的最短路径有3 种 所以从E 点到 G 点的最短路径为6 3 18 种 故选B 3 2016 全国 12 定义 规范 01 数列 an 如下 an 共有 2m 项 其中m 项为 0 m 项为 1 且对任意 2 m a1 a2 a 中 0 的个数不少于1 的个数 若 m 4 则不同的 规范 01 数列 共有 A 18 个B 16 个C 14 个D 12 个 3 C 第一位为0 最后一位为1 中间 3 个 0 3 个 1 三个 1 在一起时为000111 001110 只有 2 个 1 相邻时 共A 2 4种 其中110100 110010 110001 101100 不符
3、合题意 三个1 都不在一起时有C3 4种 共 2 8 4 14 4 2016 四川 4 用数字 1 2 3 4 5 组成没有重复数字的五位数 其中奇数的个数为 A 24 B 48 C 60 D 72 4 D 由题可知 五位数要为奇数 则个位数只能是1 3 5 分为两步 先从1 3 5 三 个数中选一个作为个位数有C13 再将剩下的 4 个数字排列得到A 4 4 则满足条件的五位数有 C13 A 4 4 72 选 D 5 2016 北京 8 袋中装有偶数个球 其中红球 黑球各占一半 甲 乙 丙是三个空盒 每 次从袋中任意取出两个球 将其中一个球放入甲盒 如果这个球是红球 就将另一个球放 入乙盒
4、否则就放入丙盒 重复上述过程 直到袋中所有球都被放入盒中 则 A 乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B 乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C 乙盒中红球不多于丙盒中红球D 乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 5 B 取两个球往盒子中放有4 种情况 红 红 则乙盒中红球数加1 个 黑 黑 则丙盒中黑球数加1 个 红 黑 红球放入甲盒中 则乙盒中黑球数加1 个 黑 红 黑球放入甲盒中 则丙盒中红球数加1 个 因为红球和黑球个数一样 所以 和 的情况一样多 和 的情况随机 和 对B 选项中的乙盒中的红球与丙盒中 的黑球数没有任何影响 和 出现的次数是一样的 所以对B 选项中的乙盒中的红球与 丙盒中的黑球数的影响次数一
5、样 综上选 B 6 2015 四川 6 用数字 0 1 2 3 4 5 组成没有重复数字的五位数 其中比40 000 大的偶数共 有 A 144 个B 120 个C 96 个D 72 个 6 B 由题意 首位数字只能是4 5 若万位是5 则有 3 A 3 4 72 个 若万位是4 则有 2 A 3 4个 48 个 故 40 000 大的偶数共有72 48 120 个 选 B 7 2014 大纲全国 5 有 6 名男医生 5 名女医生 从中选出2 名男医生 1 名女医生组成一 个医疗小组 则不同的选法共有 A 60 种B 70 种C 75 种D 150 种 7 C 从中选出 2 名男医生的选法有
6、C26 15 种 从中选出1 名女医生的选法有C15 5 种 所以不同的选法共有15 5 75 种 故选C 8 2014 辽宁 6 6 把椅子摆成一排 3 人随机就座 任何两人不相邻的坐法种数为 A 144 B 120 C 72 D 24 8 D 3 人中每两人之间恰有一个空座位 有 A 3 3 2 12 种坐法 3 人中某两人之间有两个空 座位 有A 3 3 A 2 2 12 种坐法 所以共有12 12 24 种坐法 9 2014 四川 6 六个人从左至右排成一行 最左端只能排甲或乙 最右端不能排甲 则不 同的排法共有 A 192 种B 216 种C 240 种D 288 种 9 B 当最左
7、端排甲时 不同的排法共有A 5 5种 当最左端排乙时 甲只能排在中间四个位 置之一 则不同的排法共有C1 4A 4 4种 故不同的排法共有A 5 5 C14A 4 4 9 24 216 种 10 2014 重庆 9 某次联欢会要安排3 个歌舞类节目 2 个小品类节目和1 个相声类节目的 演出顺序 则同类节目不相邻的排法种数是 A 72 B 120 C 144 D 168 10 B 依题意 先仅考虑3 个歌舞类节目互不相邻的排法种数为A 3 3A 3 4 144 其中 3 个歌 舞类节目互不相邻但2 个小品类节目相邻的排法种数为A 2 2A 2 2A33 24 因此满足题意的排法 种数为 144
8、 24 120 选 B 11 2014 安徽 8 从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对 其中所成的角为60 的共 有 A 24 对B 30 对C 48 对D 60 对 11 C 法一直接法 如图 在上底面中选B1D1 四个侧面中的面对角线都与它成60 共 8 对 同样A1C1对应的也有 8 对 下底面也有16 对 这共有32 对 左右侧面与前后侧 面中共有16 对 所以全部共有48 对 法二间接法 正方体的12 条面对角线中 任意两条垂直 平行或成角为60 所以成角 为 60 的共有 C2 12 12 6 48 对 12 2014 福建 10 用 a 代表红球 b 代表蓝球 c 代表黑球
9、由加法原理及乘法原理 从1 个红球和1 个蓝球中取出若干个球的所有取法可由 1 a 1 b 的展开式1 a b ab 表示 出 如 1 表示一个球都不取 a 表示取出一个红球 而 ab 则表示把红球和蓝球都取出 依此类推 下列各式中 其展开式可用表示从5 个无区别的红球 5 个无区别的蓝球 5 个 有区别的黑球中取出若干个球 且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是 A 1 a a2 a3 a4 a5 1 b5 1 c 5 B 1 a5 1 b b2 b3 b4 b5 1 c 5 C 1 a 5 1 b b2 b3 b 4 b5 1 c5 D 1 a5 1 b 5 1 c c2 c3 c4
10、c5 12 A 分三步 第一步 5 个无区别的红球可能取出0 个 1 个 5 个 则有 1 a a 2 a3 a4 a5 种不同的取法 第二步 5 个无区别的蓝球都取出或都不取出 则有 1 b5 种不同取法 第三步 5 个有区别的黑球看作5 个不同色 从5 个不同色的黑球中任取0 个 1 个 5 个 有 1 c 5种不同的取法 所以所求的取法种数为 1 a a2 a3 a4 a5 1 b5 1 c 5 故选 A 13 2014 广东 8 设集合 A 1 2 3 4 5 i 1 0 1 i 1 2 3 4 5 那么集合A 中满 足条件 1 1 2 3 4 5 3 的元素个数为 A 60 B 90
11、 C 120 D 130 13 D 易知 1 2 3 4 5 1 或 2 或 3 下面分三种情况讨论 其一 1 2 3 4 5 1 此时 从1 2 3 4 5中任取一个让其等于 1 或 1 其余等于0 于是有C 1 5C 1 2 10 种情况 其二 1 2 3 4 5 2 此时 从1 2 3 4 5中任取两个让其都等于 1 或 都等于 1 或一个等于1 另一个等于 1 其余等于0 于是有 2C 2 5 C25C12 40 种情况 其 三 1 2 3 4 5 3 此时 从 1 2 3 4 5中任取三个让其都等于1 或都等于 1 或两个等于1 另一个等于 1 或两个等于 1 另一个等于1 其余等于
12、0 于是有2C3 5 C 3 5C13 C35C23 80 种情况 由于 10 40 80 130 故答案为D 14 2018 全国 15 从 2 位女生 4位男生中选3人参加科技比赛 且至少有1 位女生 入选 则不同的选法共有 种 用数字填写答案 14 16 根据题意 没有女生入选有 4 3 4种选法 从 6 名学生中任意选3 人有 6 3 20种选 法 故至少有1位女生入选 则不同的选法共有20 4 16种 故答案是16 15 2018 浙江 16 从 1 3 5 7 9 中任取 2 个数字 从 0 2 4 6中任取 2 个数字 一共可以组成 个没有重复数字的四位数 用数字作答 15 12
13、60 若不取零 则排列数为 C5 2 C3 2 A4 4 若取零 则排列数为 C5 2 C3 1 A3 1 A3 3 因此一共有 C 5 2C 3 2A 4 4 C5 2C 3 1 A3 1 A3 3 1260 个没有重复数字的四位数 16 2017 天津 14 用数字1 2 3 4 5 6 7 8 9 组成没有重复数字 且至多有一个 数字是偶数的四位数 这样的四位数一共有 个 用数字作答 16 1 080 根据题意 分2 种情况讨论 四位数中没有一个偶数数字 即在1 3 5 7 9 种任选 4 个 组成一共四位数即可 有 A54 120 种情况 即有 120 个没有一个偶数数字四位数 四位数
14、中只有一个偶数数字 在 1 3 5 7 9 种选出 3 个 在 2 4 6 8 中选出 1 个 有 C53 C41 40 种取法 将取出的4 个数字全排列 有A44 24 种顺序 则有 40 24 960个只有一个偶数数字的四位数 则至多有一个数字是偶数的四位数有120 960 1080 个 故答案为 1080 17 2017 浙江 16 从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长1 人 副队长1 人 普通队员2 人 组成 4 人服务队 要求服务队中至少有1 名女生 共有 种不同的选法 用数字作 答 17 660 第一类 先选1 女 3 男 有 C6 3C 21 40 种 这 4 人选 2 人
15、作为队长和副队有A42 12 种 故有40 12 480种 第二类 先选2 女 2 男 有 C62C22 15 种 这 4 人选 2 人作为队长和副队有 A42 12 种 故有 15 12 180 种 根据分类计数原理共有480 180 660 种 故答案为 660 18 2015 广东 12 某高三毕业班有40 人 同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言 那 么全班共写了 条毕业留言 用数字作答 18 1 560 依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40 人中任选两人的排列数 所以 全班共写了A 2 40 40 39 1 560 条毕业留言 19 2014 北京 13 把 5 件不同产品
16、摆成一排 若产品A 与产品 B 相邻 且产品A 与产品 C 不相邻 则不同的摆法有 种 19 36 将 A B 捆绑在一起 有 A 2 2种摆法 再将它们与其他3 件产品全排列 有 A 4 4种摆法 共有 A 2 2A 4 4 48 种摆法 而A B C 3 件在一起 且A B 相邻 A C 相邻有 CAB BAC 两种情况 将这3 件与剩下 2 件全排列 有2 A 3 3 12 种摆法 故A B 相邻 A C 不相邻 的摆法有48 12 36 种 20 2014 浙江 14 在 8 张奖券中有一 二 三等奖各1 张 其余5 张无奖 将这 8 张奖券分 配给 4 个人 每人2 张 不同的获奖情况有 种 用数字作答 20 60 分情况 一种情况将有奖的奖券按2 张 1 张分给 4 个人中的2 个人 种数为C23C 1 1 A 2 4 36 另一种将3 张有奖的奖券分给4 个人中的3 个人 种数为A 3 4 24 则获奖情况总 共有 36 24 60 种 考点 2 二项式定理及其应用 1 2018 全国 5 的展开中的系数为 A 10B 20C 40D 80 1 C 由题可得 令10 3r
