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1、1981 年年 2019 年全国高中数学联赛试题分类汇编年全国高中数学联赛试题分类汇编 立体几何部分立体几何部分 2019A2019A7 7 如图 正方体的一个截面经过顶点及棱上一点 ABCDEFGH A CEFK 且将正方体分成体积比为的两部分 则的值为 3 1 EK KF 答案 答案 3 解析 解析 作图延长交于点 连接交于点 则 AK BFPCPFGN 截面为 由于面面 知为棱台 则 ACNK ABCKFNABCKFN EKAE KFPF 不妨设正方体棱长为 则正方体体积为 结合条件知棱台的体积11ABCKFN 为 1 4 设 则 由于PFx 1 KFNFPFx ABBCPBx 1111
2、 3232 ABC KFN VABBCPBKFFNPF 所以 解得 3 2 2 11331 11 461 61 xxx x x x 3 3 x 所以 1 3 EKAE KFPFx 2019B2019B 4 4 设三棱锥满足 则该三棱锥的体积PABC 3PAPB 2ABBCCA 的最大值为 答案 答案 2 6 3 解析 解析 设三棱锥的高为 取为棱的中点 则PABC hMAB 22 312 2hPM 当平面垂直于平面时 取到最大值 此时三棱锥的体积PABABCh2 2PABC 取到最大值为 112 6 32 2 323 2018A 2 设点到平面的距离为 点在平面上 使得直线与平面所成角P 3Q
3、 PQ 不小于且不大于 则这样的点所构成的区域的面积为 0 30 0 60Q 答案 答案 8 解析 解析 设点在平面上的射影为 由条件知 即P O 3 3 3 tan OQ OP OQP 所以区域的面积为 3 1 OQ 813 22 2018B 2 已知圆锥的顶点为 底面半径长为 高为 在圆锥底面上取一点 使得直P21Q 线与底面所成角不大于 则满足条件的点所构成的区域的面积为 PQ 0 45Q 答案 答案 3 解析解析 记圆锥的顶点在底面的投影为 则O为底面中心 且1tan OQ OP OQP PO 即 故所以区域的面积为 1 OQ 312 22 2017A 5 正三棱锥中 过的平面将其体积
4、平分 则棱ABCP 1 AB2 APAB 与平面所成角的余弦值为 PC 答案 答案 10 53 解析 解析 设的中点分别为 则平面即平面 则中线PCAB MK ABM 2 3 2 4 1 12 2 1 4 1 2 1 222222 PCACAPAM 则 2 5 2 1 2 3 2 22 AKAMKM 又棱与平面的射影线是直线 而 所以PC MK 2 3 1 KCCM 即为所求 10 53 5 4 3 1 4 5 cos KMC 2017B 5 在正四面体中 分别在棱上 满足 且ABCDFE ACAB 4 3 EFBE 与面 平行 则的面积为 EFBCDDEF 答案 答案 332 解析 解析 由
5、条件知 平行于 因为正四面体的各个EFBCABCD 面是全等的正三角形 故 4AEAFEF 7ADABAEBE 由余弦定理得 22 2cos60DEADAEADAE 49 162837 同理有 37DF 作等腰底边上的高 则 故 DEF EFDH 1 2 2 EHEF 22 33DHDEEH 于是 1 2 33 2 DEF SEF DH A 2016A 5 设为圆锥曲线的顶点 是其地面圆周上的三点 满足 PABC 0 90 ABC 为线段的中点 若 则二面角的大小为 MAP1 AB2 AC2 APABCM 答案 答案 3 2 arctan 解析 解析 由 90 知 AC 为底面圆的直径 设底面
6、中心为 O 则平面 ABC ABC PO 易知 进而 1 2 1 ACAO1 22 AOAPPO 设 H 为 M 在底面上的射影 则 H 为 AO 的中点 在底面中作 于点 K 则由三垂线定理知 从而为BCHK BCMK MKH 二面角 M BC A 的平面角 因 结合与平行知 即 2 1 AHMHHKAB 4 3 AC HC AB HK 这样 故二面角 M BC A 的大小为 4 3 HK 3 2 tan HK MH MKH 3 2 arctan 2016B 7 已知正四棱锥的高等于长度的一半 是侧棱的中点 ABCDV ABMVB 是侧棱上点 满足 则异面直线 所成角的余弦值为 NVDVND
7、N2 AMBN 答案 答案 11 11 解析 解析 如图 以底面的中心为坐标原点 ABCDO 的方向为轴的正向 建立空间直角坐标系 AB BC OV x y z 不妨设此时高从而2 AB 1 VO 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 ABDV 由条件知 11 11 1 2 22 23 3 3 MN 因此 3 1 14 4 2 2 2 23 3 3 AMBN 设异面直线所成的角为 则 AM BN 1 11 cos 1111 2 2 AM BN AMBN 2015B 4 设正四棱柱的底面是单位正方形 如果二面角 1111 DCBAABCD ABCD 的大小为 则 11 CBDA 3 1
8、 AA 答案 答案 6 2 解析 解析 取 BD 的中点 O 连接 OA OA1 OC1 则 A1OC1是二面角 A1 BD C1的平面角 因此 A1OC1 又 OA1C1是等边三角形 故 A1O A1C1 所以 3 2 2222 11 26 2 22 AAAOAO 2014A 5 正四棱锥中 侧面是边长为 的正三角ABCDP 1 形 分别是边的中点 则异面直线与NM BCAB MN 之间的距离为 PC 答案 答案 4 2 解析 解析 设底面对角线 AC BD 交于点 O 过点 C 作直线 MN 的垂线 交 MN 于点 H 由于 PO 是底面的垂线 故 PO CH 又 AC CH 所以 CH
9、平面 POC 故 CH PC 因此 CH 是直线 MN 与 PC 的公垂线段 又 故异面直线 MN 与 PC 之 4 2 2 2 CNCH 间的距离是 4 2 2014B 2 在如下图所示的正方体中 二面角等于 1111 DCBAABCD 11 CBDA 答案 答案 亦可以写成等 3 1 arccos 2 2 arctan2 解析 解析 设与的交点为 显然 根据三垂线ACBDOBDAC 定理 与都垂直于 所以我们所求的角即为OA1OC1BD 11OC A 不妨设该正方体的棱长为 可以求得 12 11 CA 2 6 11 OCOA 由余弦定理可得 故二面角等于 3 1 cos 11 OCA 11
10、 CBDA 3 1 arccos 2013A 4 已知正三棱锥的底面边长为 高为 则其内切球半径为 ABCP 12 答案 答案 6 2 解析 解析 如图 设球心在面和面内的射影分别是和 OABCABPHK 中点为 内切球半径为 则共线 共线 ABMrMKP HOP 且 0 90 PKOPHMrOKOH rOHPHPO 2 6 3 6 3 ABMH 6 35 2 12 1 22 PHMHPM 所以 解得 5 1 sin 2 MP MH KPO OP OK r r 6 2 r 2013B 4 已知正三棱锥的底面边长为 1 高为 则其内切球半径是 PABC 2 答案 答案 6 2 解析 解析 如图
11、设球心在面和面内的射影分别是和 OABCABPHK 中点为 内切球半径为 则共线 共线 ABMrMKP HOP 且 0 90 PKOPHMrOKOH rOHPHPO 2 6 3 6 3 ABMH 6 35 2 12 1 22 PHMHPM 所以 解得 5 1 sin 2 MP MH KPO OP OK r r 6 2 r 2012A 5 设同底的两个正三棱锥和内接于同一个球 若正三棱锥ABCP ABCQ 的侧面与底面所成角为 则正三棱锥的侧面与底面所成角的正切值ABCP 0 45ABCQ 为 答案 答案 4 解析 解析 如图 连结 则平面 垂足为PQPQ ABCH 正的中心 且过球心 连结并延
12、长交ABC PQOCHAB 于点 则为的中点 且 易知MMABCMAB 分别为正三棱锥的 PMHQMH PABC QABC 侧面与底面所成二角的平面角 则45PMH 从而 因为 1 2 PHMHAH 90 PAQAHPQ 所以即 2 APPH QH 2 1 2 AHAH QH 所以 24 QHAHMH 故tan4 QH QMH MH 2012B 6 长方体中 是的中点 1111 DCBAABCD 22 4 1 CCBCABM 1 BC 是的中点 若异面直线与所成的角为 距离为 则 N 1 MCANCM d sind 答案 答案 5 4 解析 解析 如图 取的中点 则 故为异面 1 CCKCMK
13、N ANK 直线与所成的角 即 因为面 ANCM ANK AB 11B BCC 由三垂线定理得 1 BCCM ANCM 又 所以 即 CMKN ANKN 0 90 又面面 所以点到面的距离等于点到的距离 ABN 11B BCCMANKMAN 在中 在点到的距离为 从而点到的距离为ABNRt 3 4 BNABBAN 5 12 MAN 所以 5 4 5 12 3 1 d 5 4 sin d 本题还可以建立空间直角坐标系来接 本题还可以建立空间直角坐标系来接 2011A 6 在四面体中 已知 ABCD 0 60 CDABDCADB3 BDAD 则在四面体的外接球的半径为 2 CDABCD 答案 答案
14、 3 解析 解析 设四面体的外接球球心为 则在过 的外心且垂直于平面ABCDOOABDN 的垂线上 由题设知 是正三角形 则点为的中心 设分别为ABDABD NABD MP 的中点 则在上 且 因为CDAB NDPDPON CDOM 设与平面所成角为 可求得 60ADBCDBCDACDABD 3 2 sin 3 1 cos 在中 DMN 33 2 3 3 2 3 2 1 2 1 DPDNCDDM 由余弦定理得 2 3 1 312 3 1 222 MN 故 四边形的外接圆的直径 2 MNDMON3 3 2 2 sin MN OD 故球的半径 O3 R 2010A B7 正三棱柱的条棱长相等 是的
15、中点 二面角 111 CBAABC 9P 1 CC 的平面角为 则 11 BPAB sin 答案 答案 10 4 解析 解析 解法一解法一 以所在直线为轴 线段中点为原点 所在直线为轴 ABxABOOCy 建立空间直角坐标系 设正三棱柱的棱长为 2 则 1 3 0 2 0 1 2 0 1 0 0 1 11 PABB 从而 1 3 1 0 0 2 1 3 1 2 0 2 1111 PBABBPBA 设分别与平面 平面垂直的向量是 则PBA1PAB 11 111 zyxm 222 zyxn 03 022 111 111 zyxBPm zxBAm 03 02 2221 211 zyxPBn xABn
16、 由此可设 所以 3 1 0 1 0 1 nmcosm nmn 即 所以 6 32 2 coscos 4 4 10 sin 解法二解法二 如图 PBPAPCPC 11 设与交于点 BA1 1 AB O 则 1111 OAOB OAOB ABAB 从 11 PAPBPOAB 因为 所以 而平面 过在平面上作 垂足为 1 ABBPA1OBPA1PAOE 1 E 连结 则为二面角的平面角 设 则易求得EB1EOB1 11 BPAB 2 1 AA 3 2 5 111 POOBOAPAPB 在直角中 即 OPA1 OEPAPOOA 11 5 6 532 OEOE 又 5 54 5 6 2 2 22 111 OEOBEBOB 4 10 5 54 2 sinsin 1 1 1 EB OB EOB 2008AB 4 若三个棱长均为整数 单位 的正方体的表面积之和为 则这三cm564 2 cm 个正方体的体积之和为 A 或 B C 或 D 764 3 cm586 3 cm764 3 cm564 3 cm586 3 cm586 3 cm 答案 答案 A 解析 解析 设这三个正方体的棱长分别为 则有 即ab
