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1、 1 高中数学必修4 知识点 第一章 三角函数 正角 按逆时针方向旋转形成的角 1 任意角 负角 按顺时针方向旋转形成的角 零角 不作任何旋转形成的角 2 象限的角 在直角坐标系内 顶点与原点重合 始边与x 轴的非负半轴重合 角的终边落 在第几象限 就是第几象限的角 角的终边落在坐标轴上 这个角不属于任何 象限 叫做 轴线角 第一象限角的集合为36036090 kkk ooo 第二象限角的集合为36090360180 kkk oooo 第三象限角的集合为360180360270 kkk oooo 第四象限角的集合为360270360360 kkk oooo 终边在x轴上的角的集合为180 kk
2、 o 终边在y轴上的角的集合为18090 kk oo 终边在坐标轴上的角的集合为90 kk o 3 与角终边相同的角 连同角在内 都可以表示为集合 Zkk 360 4 弧度制 1 定义 等于半径的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角 用弧度做单位叫弧度制 半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l 则角的弧度数的绝对值是 l r 2 度数与弧度数的换算 2360 o 180 rad 1 rad 185730 57 180 注 角度与弧度的相互转化 设一个角的角度为 o n 弧度为 2 角度化为弧度 180180 n nn o oo 弧度化为角度 o o 180180 3 若扇形的圆心角为 是角的弧度数 半径
3、为r 则 弧长公式 180 用度表示的 n l 用弧度表示的 rl 扇形面积 360 2 用度表示的 扇 rn slrrS 2 1 2 12 扇 用弧度表示的 5 三角函数 1 定义 设是一个任意大小的角 的终边上任意一点的坐标 是 x y 它与原点的距离是 22 0rOPrxy 则sin y r cos x r tan0 y x x 定义 设 是一个任意角 它的终边与单位圆交于点P x y 那么 v 叫做 的正弦 记作sin 即 sin y u 叫做 的余 弦 记作cos 即 cos x 当 的终边不在y 轴上时 x y 叫做 的正切 记作tan 即 tan x y 2 三角函数值在各象限的
4、符号 口诀 全正 S正 T 正 C正 口诀 第一象限全为正 二正三切四余弦 3 特殊角的三角函数值 的角度030456090120135150180 的弧度0 64323 2 4 3 6 5 P x y y x o sin x y O x y cos O tan x y O P x y y x o 3 sin0 2 1 2 2 2 3 1 2 3 2 2 2 1 0 cos 1 2 3 2 2 2 1 0 2 1 2 2 2 3 1 tan0 3 3 13 不存在3 1 3 3 0 的角度210225240270300315330360 的弧度 6 7 4 5 3 4 2 3 3 5 4 7
5、6 11 2 sin 2 1 2 2 2 3 1 2 3 2 2 2 1 0 cos 2 3 2 2 2 1 0 2 1 2 2 2 3 1 tan 3 3 13不存在31 3 3 0 4 三角函数线 如下图 5 同角三角函数基本关系式 平方关系 1cossin 22 商数关系 cos sin tan 6 三角函数的诱导公式 1 sin 2sink cos 2cosk tan 2tankk 口诀 终边相同的角的同一三角函数值相等 2 sinsin coscos tantan 4 3 sinsin coscos tantan 4 sinsin coscos tantan 5 sin 2sin c
6、os 2cos tan 2tan 口诀 函数名称不变 正负看象限 6 sincos 2 cossin 2 tancot 2 7 sincos 2 cossin 2 tancot 2 口诀 正弦与余弦互换 正负看象限 诱导公式记忆口诀 奇变偶不变 符号看象限 即将括号里面的角拆成 2 k 的形式 7 正弦函数 余弦函数和正切函数的图象与性质 函 数 sinyx cosyxtanyx 图 象 定 RR 2 x xkk 5 义 域 值 域 值域 1 1 当2 2 xkk时 max 1y 当2 2 xk k时 min 1y 值域 1 1 当 2xkk 时 max 1y 当2xk k时 min 1y 值
7、域 R 既无最大值也无最小值 周 期 性 sinyx是周期函数 周期为 2 TkkZ且0k 最小正周期为2 cosyx是周期函数 周期 为2 TkkZ且0k 最小正周期为2 tanyx是周期函数 周 期 为 TkkZ且 0k 最小正周期为 奇 偶 性 奇函数偶函数奇函数 单 调 性 在2 2 22 kk k上是增函数 在 3 2 2 22 kk k上是减函数 在2 2kkk上 是增函数 在 2 2kk k上是减函数 在 22 kk k上是增函数 对 称 性 对称中心 0kk 对称轴 2 xkk 对称中心 0 2 kk 对称轴xkk 对称中心 0 2 k k 无对称轴 8 1 sinyxb的图象
8、与xysin图像的关系 图象上每个点的横坐标不变 纵坐标变为原来的A 倍 6 振幅变换 xysinxAysin 周期变换 xysinxysin 相位变换 xysin sin xy 平移变换 sin xAy sinyxb 注 函数xysin的图象怎样变换得到函数 sinyAxB的图象 两种方法 先平移后伸缩 sinyx平移 个单位sinyx 左加右减 纵坐标不变 sin xy 横坐标变为原来的 1 倍 横坐标不变sinyAx 纵坐标变为原来的A 倍 平移 B个单位sinyAxB 上加下减 先伸缩后平移 sinyx纵坐标不变xysin 横坐标变为原来的 1 倍 平移个单位 sin xy 左加右减
9、横坐标不变sinyAx 纵坐标变为原来的A 倍 平移 B个单位sinyAxB 图象整体向左 0 或向右 0 平移个单位 图象上每个点的横坐标变为原来的 1 倍 纵坐标不变 图象整体向上 0b 或向下 0b 平移b个单位 7 上加下减 2 函数 0 0 sin AbxAy的性质 振幅 周期 2 频率 1 2 f 相位 x 初相 定义域 R 值域 Ab Ab 当2 2 xkk时 max yAb 当2 2 xkk时 min yAb 周期性 函数 0 0 sin AbxAy是周期函数 周期为 2 T 单调性 x在2 2 22 kkk上时是增函数 x在 3 2 2 22 kkk上时是减函数 对称性 对称
10、中心为 0 k k 对称轴为x 2 kk 第二章平面向量 1 向量定义 既有大小又有方向的量叫做向量 向量都可用同一平面内的有向线段表示 2 零向量 长度为0 的向量叫零向量 记作0 零向量的方向是任意的 3 单位向量 长度等于 1 个单位长度的向量叫单位向量 与向量a平行的单位向量 a a e 4 平行向量 共线向量 方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量 记作ba 规定0与任何向量平行 5 相等向量 长度相同且方向相同的向量叫相等向量 零向量与零向量相等 注意 任意两个相等的非零向量 都可以用同一条有向线段来表示 并且与有向线段的起点无关 8 6 向量加法运算 三角形法则的特点 首
11、尾相接 平行四边形法则的特点 起点相同 运算性质 交换律 abba rr rr 结合律 abcabc rr rrrr 00aaa rr rrr 坐标运算 设 11 ax y r 22 bxy r 则 1212 abxxyy r r 7 向量减法运算 三角形法则的特点 共起点 连终点 方向指向被减向量 坐标运算 设 11 ax y r 22 bxy r 则 1212 abxxyy r r 设 两点的坐标分别为 11 xy 22 xy 则 2121 xx yy uu u r 8 向量数乘运算 实数与向量a r 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘 记作a r aa rr 当0时 a r 的方向与a
12、r 的方向相同 当0时 a r 的方向与a r 的方向相反 当0时 0a r r 运算律 aa rr aaa rrr abab rr rr b r a r C abCC uuu ruuu ruuu rr r 9 坐标运算 设 ax y r 则 ax yxy r 9 向量共线定理 向量0a a r rr 与b r 共线 当且仅当有唯一一个实数 使ba r r 设 11 ax y r 22 bxy r 其中0b rr 则当且仅当 1221 0 x yx y时 向量a r 0b b rrr 共线 10 平面向量基本定理 如果 1 e u r 2 e u u r 是同一平面内的两个不共线向量 那么对于
13、这一平面内 的任意向量a r 有且只有一对实数 1 2 使1122 aee u ru u r r 不共线 的向量 1 e u r 2 e u u r 作为 这一平面内所有向量的一组基底 11 分点坐标公式 设点是线段 12上的一点 1 2的坐标分别是11 x y 22 xy 当 12 uuu ru uu r 时 点的坐标是 1212 11 xxyy 12 平面向量的数量积 定义 cos0 0 0180a ba bab oo rrrrr rrr 零向量与任一向量的数量积为0 性质 设a r 和b r 都是非零向量 则 0aba b rr rr 当a r 与b r 同向时 a ba b rr rr
14、 当a r 与b r 反向时 a ba b rr rr 2 2 a aaa rrrr 或aa a rr r a ba b rr rr 运算律 a bb a rr rr aba bab rrr rrr abca cb c rr rrr rr 坐标运算 设两个非零向量 11 ax y r 22 bxy r 则 1212 a bx xy y r r 若 ax y r 则 2 22 axy r 或 22 axy r 设 11 ax y r 22 bxy r 则 1212 0abx xy y r r 设a r b r 都是非零向量 11 ax y r 22 bxy r 是a r 与b r 的夹角 则 1
15、212 2222 1122 cos x xy ya b a bxyxy r r r r 第三章 三角恒等变形 1 同角三角函数基本关系式 10 平方关系 1cossin 22 商数关系 cos sin tan 倒数关系 1cottan 2 2 2 tan1 tan sin 2 2 tan1 1 cos 注意 tan cos sin按照以上公式可以 知一求二 2 两角和与差的正弦 余弦 正切 S sincoscossin sin S sincoscossin sin C sinsincoscos cos a C sinsincoscos cos a T tantan1 tantan tan T
16、tantan1 tantan tan 正切和公式 tantan1 tan tantan 3 辅助角公式 x ba b x ba a baxbxacossincossin 2222 22 sin sincoscos sin 2222 xbaxxba 其中称为辅助角 的终边过点 ba a b tan 4 二倍角的正弦 余弦和正切公式 2 S cossin22sin 2 C 22 sincos2cos1cos2sin21 22 2 T 2 tan1 tan2 2tan 二倍角公式的常用变形 sin 22cos1 cos 22cos1 11 sin 2cos 2 1 2 1 cos 2cos 2 1 2 1 2 2sin 1cossin21cossin 2 2244 2cossincos 44 降次公式 2sin 2 1 cossin 2 1 2cos 2 1 2 2cos1 sin 2 2 1 2cos 2 1 2 2cos1 cos 2 5 半角的正弦 余弦和正切公式 2 cos1 2 sin 2 cos1 2 cos cos1 cos1 2 tan cos1 sin sin cos1 6
