《概率论与数理统计多媒体课件教学作者方茹 第二章1条件概率与独立性》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计多媒体课件教学作者方茹 第二章1条件概率与独立性（46页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、条件概率与独立性 第二章 第一讲条件概率 乘法公式 在解决许多概率问题时 往往需要在有某些附加信息 条件 下求事件的概率 一 条件概率 1 条件概率的概念 如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率 将此概率记作P A B 一般P A B P A P A 1 6 例如 掷一颗均匀骰子 A 掷出2点 B 掷出偶数点 P A B 已知事件B发生 此时试验所有可能结果构成的集合就是B 于是P A B 1 3 B中共有3个元素 它们的出现是等可能的 其中只有1个在集A中 容易看到 P A B P A 3 10 又如 10件产品中有7件正品 3件次品 7件正品中有3件一等品 4件二等品 现从这10件中任取
2、一件 记 B 取到正品 A 取到一等品 P A B P A 3 10 B 取到正品 P A B 3 7 本例中 计算P A 时 依据的前提条件是10件产品中一等品的比例 A 取到一等品 计算P A B 时 这个前提条件未变 只是加上 事件B已发生 这个新的条件 这好象给了我们一个 情报 使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题 若事件B已发生 则为使A也发生 试验结果必须是既在B中又在A中的样本点 即此点必属于AB 由于我们已经知道B已发生 故B变成了新的样本空间 于是有 1 设A B是两个事件 且P B 0 则称 1 2 条件概率的定义 为在事件B发生的条件下 事件A的条件概率 同理可证 其
3、中 A 0 为在事件A发生的条件下 事件B的条件概率 3 条件概率的性质 自行验证 设B是一事件 且P B 0 则 1 对任一事件A 0 P A B 1 2 P S B 1 而且 前面对概率所证明的一些重要性质都适用于条件概率 请自行写出 2 从加入条件后改变了的情况去算 4 条件概率的计算 1 用定义计算 P B 0 P A B B发生后的缩减样本空间所含样本点总数 在缩减样本空间中A所含样本点个数 例1掷两颗均匀骰子 已知第一颗掷出6点 问 掷出点数之和不小于10 的概率是多少 解法1 解法2 设A 掷出点数之和不小于10 B 第一颗掷出6点 应用定义 在B发生后的缩减样本空间中计算 解
4、由条件概率的定义 即若P B 0 则P AB P B P A B 2 而P AB P BA 二 乘法公式 若已知P B P A B 时 可以反求P AB 将A B的位置对调 有 故P A 0 则P AB P A P B A 3 若P A 0 则P BA P A P B A 2 和 3 式都称为乘法公式 利用它们可计算两个事件同时发生的概率 当P A1A2 An 1 0时 有P A1A2 An P A1 P A2 A1 P An A1A2 An 1 推广到多个事件的乘法公式 注意P AB 与P A B 的区别 请看下面的例子 例2甲 乙两厂共同生产1000个零件 其中300件是乙厂生产的 而在这
5、300个零件中 有189个是标准件 现从这1000个零件中任取一个 问这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少 所求为P AB 甲 乙共生产1000个 189个是标准件 300个乙厂生产 设B 零件是乙厂生产 A 是标准件 解 所求为P AB 设B 零件是乙厂生产 A 是标准件 若改为 发现它是乙厂生产的 问它是标准件的概率是多少 求的是P A B B发生 在P AB 中作为结果 在P A B 中作为条件 例3设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0 8 活到25年以上的概率为0 4 问现年20岁的这种动物 它能活到25岁以上的概率是多少 设A 能活20年以上 B 能活25年以上 依题意 P
6、 A 0 8 P B 0 4 所求为P B A 解 条件概率P A B 与P A 的区别 每一个随机试验都是在一定条件下进行的 设A是随机试验的一个事件 则P A 是在该试验条件下事件A发生的可能性大小 P A 与P A B 的区别在于两者发生的条件不同 它们是两个不同的概念 在数值上一般也不同 而条件概率P A B 是在原条件下又添加 B发生 这个条件时A发生的可能性大小 即P A B 仍是概率 乘法公式应用举例 一个罐子中包含b个白球和r个红球 随机地抽取一个球 观看颜色后放回罐中 并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球 这种手续进行四次 试求第一 二次取到白球且第三 四次取到红球的概
7、率 波里亚罐子模型 于是W1W2R3R4表示事件 连续取四个球 第一 第二个是白球 第三 四个是红球 随机取一个球 观看颜色后放回罐中 并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球 设Wi 第i次取出是白球 i 1 2 3 4 Rj 第j次取出是红球 j 1 2 3 4 解 用乘法公式容易求出 当c 0时 由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率 这是一个传染病模型 每次发现一个传染病患者 都会增加再传染的概率 P W1 P W2 W1 P R3 W1W2 P R4 W1W2R3 P W1W2R3R4 例4 一批产品共100个 其中有10个次品 每次从中任取一个 取出不放回 求第三次才取到
8、正品的概率 设A 第三次才取到正品 Ai 第i次取到次品 i 1 2 3 解 例5 反导弹对敌方导弹最多可进行3次拦截 每次拦截的成功率为0 9 求3次拦截的总成功率 设A 拦截成功 Ai 第i次拦截成功 i 1 2 3 则 解 第二讲全概率公式 例1有三个箱子 分别编号为1 2 3 1号箱装有1个红球4个白球 2号箱装有2红3白球 3号箱装有3红球 某人从三箱中任取一箱 从中任意摸出一球 求取得红球的概率 记Ai 球取自i号箱 i 1 2 3 B 取得红球 即B A1B A2B A3B 且A1B A2B A3B两两互斥 B发生总是伴随着A1 A2 A3之一同时发生 P B P A1B P A
9、2B P A3B 运用加法公式得 解 将此例中所用的方法推广到一般的情形 就得到在概率计算中常用的全概率公式 对求和中的每一项运用乘法公式得 P B P A1B P A2B P A3B 代入数据计算得 P B 8 15 全概率公式 设A1 A2 An是两两互斥的事件 且P Ai 0 i 1 2 n 另有一事件B 它总是与A1 A2 An之一同时发生 或 A1 A2 An B则 设S为随机试验的样本空间 A1 A2 An是两两互斥的事件 且有P Ai 0 i 1 2 n 全概率公式 称满足上述条件的A1 A2 An为完备事件组 则对任一事件B 有 在一些教科书中 常将全概率公式叙述为 在较复杂情
10、况下直接计算P B 不易 但B总是伴随着某个Ai出现 适当地去构造这一组Ai往往可以简化计算 全概率公式的来由 不难由上式看出 全 部概率P B 被分解成了许多部分之和 它的理论和实用意义在于 某一事件B的发生有各种可能的原因 i 1 2 n 如果B是由原因Ai所引起 则B发生的概率是 每一原因都可能导致B发生 故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和 即全概率公式 P BAi P Ai P B Ai 全概率公式 我们还可以从另一个角度去理解 由此可以形象地把全概率公式看成为 由原因推结果 每个原因对结果的发生有一定的 作用 即结果发生的可能性与各种原因的 作用 大小有关 全概率公式表达了它
11、们之间的关系 诸Ai是原因B是结果 例2甲 乙 丙三人同时对飞机进行射击 三人击中的概率分别为0 4 0 5 0 7 飞机被一人击中而击落的概率为0 2 被两人击中而击落的概率为0 6 若三人都击中 飞机必定被击落 求飞机被击落的概率 设B 飞机被击落 Ai 飞机被i人击中 i 1 2 3 由全概率公式P B P A1 P B A1 P A2 P B A2 P A3 P B A3 则B A1B A2B A3B 解 可求得 为求P Ai 设Hi 飞机被第i人击中 i 1 2 3 将数据代入计算得 P A1 0 36 P A2 0 41 P A3 0 14 于是P B P A1 P B A1 P
12、A2 P B A2 P A3 P B A3 0 458 0 36 0 2 0 41 0 6 0 14 1 即飞机被击落的概率为0 458 该球取自哪号箱的可能性最大 实际中还有下面一类问题 是 已知结果求原因 这一类问题在实际中更为常见 它所求的是条件概率 是已知某结果发生条件下 求各原因发生可能性大小 某人从任一箱中任意摸出一球 发现是红球 求该球是取自1号箱的概率 或者问 第三讲贝叶斯公式 有三个箱子 分别编号为1 2 3 1号箱装有1个红球4个白球 2号箱装有2红球3白球 3号箱装有3红球 某人从三箱中任取一箱 从中任意摸出一球 发现是红球 求该球是取自1号箱的概率 1 1红4白 某人从
13、任一箱中任意摸出一球 发现是红球 求该球是取自1号箱的概率 记Ai 球取自i号箱 i 1 2 3 B 取得红球 求P A1 B 运用全概率公式计算P B 将这里得到的公式一般化 就得到 贝叶斯公式 该公式于1763年由贝叶斯 Bayes 给出 它是在观察到事件B已发生的条件下 寻找导致B发生的每个原因的概率 贝叶斯公式 设A1 A2 An是两两互斥的事件 且P Ai 0 i 1 2 n 另有一事件B 它总是与A1 A2 An之一同时发生 且P B 0 则 贝叶斯公式在实际中有很多应用 它可以帮助人们确定某结果 事件B 发生的最可能原因 例3某一地区患有癌症的人占0 005 患者对一种试验反应是
14、阳性的概率为0 95 正常人对这种试验反应是阳性的概率为0 04 现抽查了一个人 试验反应是阳性 问此人是癌症患者的概率有多大 则表示 抽查的人不患癌症 已知P C 0 005 P 0 995 P A C 0 95 P A 0 04 解 设C 抽查的人患有癌症 A 试验结果是阳性 求P C A 现在来分析一下结果的意义 由贝叶斯公式 可得 代入数据计算得 P C A 0 1066 2 检出阳性是否一定患有癌症 1 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义 如果不做试验 抽查一人 他是患者的概率P C 0 005 患者阳性反应的概率是0 95 若试验后得阳性反应 则根据试验得来的信息 此人是患
15、者的概率为P C A 0 1066 说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义 从0 005增加到0 1066 将近增加约21倍 1 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义 2 检出阳性是否一定患有癌症 试验结果为阳性 此人确患癌症的概率为P C A 0 1066 即使你检出阳性 尚可不必过早下结论你有癌症 这种可能性只有10 66 平均来说 1000个人中大约只有107人确患癌症 此时医生常要通过再试验来确认 例4 对以往试验数据表明 当机器调整良好时 产品的合格率为90 而当机器发生故障时 其合格率为30 每天早晨开工时 机器调整良好的概率为75 求某日早晨第一件产品是合格品时 机器
16、调整良好的概率 设A 机器调整良好 B 产品是合格品 解 下面我们再回过头来看一下贝叶斯公式 贝叶斯公式 在贝叶斯公式中 P Ai 和P Ai B 分别称为原因的验前概率和验后概率 P Ai i 1 2 n 是在没有进一步信息 不知道事件B是否发生 的情况下 人们对诸事件发生可能性大小的认识 当有了新的信息 知道B发生 人们对诸事件发生可能性大小P Ai B 有了新的估计 在不了解案情细节 事件B 之前 侦破人员根据过去的前科 对他们作案的可能性有一个估计 设为 比如原来认为作案可能性较小的某甲 现在变成了重点嫌疑犯 例如 某地发生了一个案件 怀疑对象有甲 乙 丙三人 甲 乙 丙 P A1 P A2 P A3 但在知道案情细节后 这个估计就有了变化 P A1 B 知道B发生后 P A2 B P A3 B 这一讲我们介绍了 全概率公式 贝叶斯公式 它们是加法公式和乘法公式的综合运用 同学们可通过进一步的练习去掌握它们 值得一提的是 后来的学者依据贝叶斯公式的思想发展了一整套统计推断方法 叫作 贝叶斯统计 可见贝叶斯公式的影响
