《2019-2020数学人教A版选修2-2讲义：第二章推理与证明2.1 2.1.1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020数学人教A版选修2-2讲义：第二章推理与证明2.1 2.1.1（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2 1 1 合情推理 1 归纳推理 1 概念 由某类事物的部分对象具有某些特征 推出该类事物的全 01 02 部对象都具有这些特征的推理 或由个别事实概括出一般结论的推理 03 04 称为归纳推理 简称归纳 2 特征 归纳推理是由部分到整体 由个别到一般的推 05 06 07 08 理 3 一般步骤 第一步 通过观察个别情况发现某些相同性质 第二步 09 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题 猜想 10 2 类比推理 1 概念 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知 11 12 特征 推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理 简称类比 2 特征 类比推理是由特殊到特
2、殊的推理 13 14 3 一般步骤 第一步 找出两类事物之间的相似性或一致性 第二 15 16 步 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质 得出一个明确的命题 17 18 猜想 3 合情推理 1 含义 归纳推理和类比推理都是根据已有事实 经过观察 分析 比 19 20 21 较 联想 再进行归纳 类比 然后提出猜想的推理 我们把 22 23 24 25 它们统称为合情推理 2 合情推理的过程 从具体问 题出发 观察 分析 比较 联想归纳 类比提出猜想 归纳推理与类比推理的区别与联系 区别 归纳推理是由特殊到一般的推理 类比推理是由个别到个别的推理或 是由特殊到特殊的推理 联系 在前提为真时 归
3、纳推理与类比推理的结论都可真或可假 1 判一判 正确的打 错误的打 1 统计学中 从总体中抽取样本 然后用样本估计总体 这种估计属于类比 推理 2 类比推理得到的结论可以作为定理应用 3 归纳推理是由个别到一般的推理 答案 1 2 3 2 做一做 1 已知数列 an 中 a1 1 an 1 n N 则可归纳猜想 an 的通项 2an 2 an 公式为 2 数列 5 9 17 33 x 中的 x 等于 3 等差数列 an 中有 2an an 1 an 1 n 2 且 n N 类比以上结论 在等 比数列 bn 中类似的结论是 答案 1 an n N 2 65 3 b bn 1 bn 1 n 2 且
4、 n N 2 n 12 n 探究 1 数列中的归纳推理 例 1 已知数列 an 的首项 a1 1 且 an 1 n 1 2 3 试归纳出 an 1 an 这个数列的通项公式 解 当 n 1 时 a1 1 当 n 2 时 a2 1 1 1 1 2 当 n 3 时 a3 1 2 1 1 2 1 3 当 n 4 时 a4 1 3 1 1 3 1 4 通过观察可得 数列的前四项都等于相应序号的倒数 由此归纳出数列 an 的通项公式是 an 1 n 解法探究 此题有没有其他解法呢 解 因为 an 1 即 1 an 1 an 1 an 1 1 an 所以 1 1 an 1 1 an 又 a1 1 所以数列
5、是以 1 为首项 公差为 1 的等差数列 1 an 1 a1 所以 1 n 1 1 n 1 an 所以数列 an 的通项公式是 an 1 n 拓展提升 在数列中 常用归纳推理猜测通项公式或前 n 项和公式 归纳推理具有由特 殊到一般 由具体到抽象的认识功能 跟踪训练 1 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn 且 a1 1 Sn n2an n N 可归纳猜想出 Sn的表达式为 答案 2n n 1 解析 因为 a1 1 S2 a1 a2 4a2 所以 a2 所以 S2 4 同理 1 3 1 3 4 3 可得 S3 S4 归纳可得 Sn 6 4 8 5 2n n 1 探究 2 几何中的归纳推理 例
6、 2 定义 A B B C C D D A 的运算分别对应图中 1 2 3 4 那么图中的 a b 所对应的运算结果可能是 A B D A D B B D A C C B C A D D C D A D 解析 从运算图形中 归纳出 表示什么运算 A B C D 分别表示什 么图形 即可研究 a b 所对应的运算结果 依题意 运算 表示图形叠加 由 4 个运算图形归纳得出 A 是一条竖直线 段 B 是一个正方形 C 是一条水平线段 D 是一个圆 所以 a 中的图形应为 B D b 中的图形应为 A C 故选 B 答案 B 拓展提升 归纳推理在几何中应用的关键 在几何中随点 线 面等元素的增加 探
7、究相应的线段 交点 区域部分等 的增加情况常用归纳推理解决 寻找递推关系是解决该类问题的关键 跟踪训练 2 设平面内有 n 条直线 n 3 其中有且仅有两条直线互相平 行 任意三条直线不过同一点 若用 f n 表示这 n 条直线交点的个数 则 f 4 当 n 4 时 f n 用含 n 的数学表达式表示 答案 5 n 2 n 1 1 2 解析 由图可知 f 4 5 当 n 4 时 可得递推式 f n f n 1 n 1 由 f n f n 1 n 1 得 f n 1 f n 2 n 2 f 4 f 3 3 叠加可得 f n f 3 n 2 n 3 1 2 又 f 3 2 所以 f n n 2 n
8、 3 2 1 2 化简 整理 得 f n n 2 n 1 1 2 探究 3 数列中的类比推理 例 3 设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 则 S4 S8 S4 S12 S8 S16 S12成 等差数列 类比以上结论有 设等比数列 bn 的前 n 项积为 Tn 则 T4 成等比 T16 T12 数列 解析 等比数列类比等差数列时 其中积类比和 除法类比减法 于是可 得类比结论为 设等比数列 bn 的前 n 项积为 Tn 则 T4 成等比数列 T8 T4 T12 T8 T16 T12 答案 T8 T4 T12 T8 拓展提升 类比推理的一般模式为 A 类事物具有性质 a b c d B 类事
9、物具有性质 a b c a b c 分别与 a b c 相似或相同 所以 B 类事物可能 具有性质 d d 与 d 相似或相同 跟踪训练 3 若数列 an n N 是等差数列 则有通项满足 bn n N 的数列也是等差数列 类比上述性质 相应地有 若 a1 a2 a3 an n 数列 cn n N 是等比数列 且 cn 0 则通项满足 dn n N 的数列也 是等比数列 答案 n c1c2c3 cn 解析 由等差数列 等比数列的性质易知 等差数列 等比数列在运算上具 有相似性 等差数列与等比数列类比是和与积 倍与乘方 商与开方的类比 由 此猜想 dn n c1c2c3 cn 探究 4 几何中的
10、类比推理 例 4 平面几何里有 设直角三角形 ABC 的两直角边分别为 a b 斜边上的 高为 h 则 拓展到空间 研究三棱锥的侧棱长与底面上的高间的关 1 a2 1 b2 1 h2 系可以得出的正确结论是 设三棱锥 A BCD 的三条侧棱两两垂直 其长分别 为 a b c 平面 BCD 上的高为 h 则 解析 如图所示 设 A 在底面的射影为 O 连接 BO 并延长交 CD 于 E 连 接 AE 由 AB AC AB AD 得 AB 平面 ACD AB AE 设 AE h1 在 Rt ABE 中 由已知可得 1 a2 1 h2 1 1 h2 又易证 CD 平面 ABE CD AE 在 Rt
11、ACD 中有 1 h2 1 1 b2 1 c2 1 a2 1 b2 1 c2 1 h2 答案 1 a2 1 b2 1 c2 1 h2 拓展提升 解决此类问题 从几何元素的数目 位置关系 度量等方面入手 将平面几 何的相关结论类比到立体几何 相关类比点如下 平面图形点直线边长面积三角形线线角 空间图形直线平面面积体积四面体面面角 跟踪训练 4 类比平面几何中的勾股定理 若直角三角形 ABC 中的两边 AB AC 互相垂直 则三角形三边长之间满足关系 AB2 AC2 BC2 若三棱锥 A BCD 的三个侧面 ABC ACD ADB 两两互相垂直 则三棱锥的侧面积与底面 积之间满足的关系为 答案 S
12、 S S S 2 BCD2 ABC2 ACD2 ADB 解析 在直角三角形中 根据勾股定理 两个直角边的平方和是斜边的平方 类比到三个侧面两两垂直的三棱锥中 有三个两两垂直的侧面面积的平方和等于 第四个面的面积的平方 合情推理主要包括归纳推理与类比推理 数学研究中 在得到一个新结论前 合情推理能帮助猜测和发现结论 在证明一个数学结论之前 合情推理常常能为 证明提供思路与方向 但是 归纳推理的结论超出了前提所界定的范围 其前提 和结论之间的联系不是必然性的 而是或然性的 结论不一定正确 类比推理是 从人们已经掌握了的事物的特征 推测正在被研究中的事物的特征 所以类比推 理的结果具有猜测性 不一定
13、可靠 1 如下图所示的是一串黑白相间排列的珠子 按这种规律往下排列 那么 第 36 颗珠子的颜色是 A 白色 B 黑色 C 白色可能性大 D 黑色可能性大 答案 A 解析 由图可知 三白二黑周而复始相继排列 因为 36 5 7 余 1 所以第 36 颗珠子的颜色与第一颗珠子的颜色相同 即为白色 2 用火柴棒摆 金鱼 如图所示 按照上面的规律 第 n 个 金鱼 图需 要火柴棒的根数为 A 6n 2 B 8n 2 C 6n 2 D 8n 2 答案 C 解析 观察可知 每多一条金鱼 需要多出 6 根火柴 而第一条金鱼用了 6 2 8 根火柴棒 所以金鱼火柴棒根数的通项公式为 6n 2 故选 C 3
14、请仔细观察 运用合情推理 写在下面横线上的数最可能的是 1 1 2 3 5 13 答案 8 解析 从第三项起 每一项是它前两项的和 根据这个规律 应填写的数字 是 8 4 在平面内与圆心距离相等的两弦的长相等 类似地 在空间内与 答案 球心距离相等的两截面的面积相等 解析 由圆可类比球 圆的弦可类比球的截面圆 5 已知数列 an 满足 an 1 n N a1 0 试通过计算 1 2 an a2 a3 a4 a5的值 猜测 an 的通项公式 解 由 an 1 和 a1 0 得 1 2 an a2 a3 a4 a5 观察以上 5 项 猜测 an 1 2 0 1 2 1 2 1 2 2 3 1 2 2 3 3 4 1 2 3 4 4 5 的通项公式为 an n 1 n
