《通用版2020版高考数学大二轮复习能力升级练十一空间向量与空间几何体理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《通用版2020版高考数学大二轮复习能力升级练十一空间向量与空间几何体理（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、能力升级练能力升级练 十一十一 空间向量与空间几何体空间向量与空间几何体 一 选择题 1 1 2019 山东烟台模拟 已知向量 a a 3 2 5 b b 1 x 1 则 a a b b 2 则x的值为 A 3B 4C 5D 6 解析因为 a a 3 2 5 b b 1 x 1 所以 a a b b 3 2x 5 2 解得x 5 答案 C 2 2 若直线l的方向向量与平面 的法向量的夹角等于 120 则直线l与平面 所成的角等于 A 120 B 60 C 30 D 60 或 30 解析设直线l与平面 所成的角为 直线l与平面 的法向量的夹角为 则 sin cos cos120 1 2 又 0
2、90 30 答案 C 3 3 2019 湖北黄冈模拟 已知向量 a a 2m 1 3 m 1 b b 2 m m 且 a a b b 则实数m的值等于 A B 2 3 2 C 0D 或 2 3 2 解析 a a b b 解得m 2 2m 1 2 3 m m 1 m 答案 B 4 4 已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a 点E F分别是BC AD的中点 则 的 AEAF 值为 A a2B a2C a2D a2 1 2 1 4 3 4 解析如图 设 a a b b c c ABACAD 则 a a b b c c a 且 a a b b c c 三向量两两夹角为 60 a a b b
3、 c c AE 1 2 AF 1 2 a a b b c c a a c bc b c c a2cos60 a2cos60 a2 AE AF 1 2 1 2 1 4 1 4 1 4 答案 C 5 5 如图 在空间四边形OABC中 OA 8 AB 6 AC 4 BC 5 OAC 45 OAB 60 则OA与BC所成角的 余弦值为 A B 3 22 5 2 2 6 C D 1 2 3 2 解析因为 BC AC AB 所以 OABC OAAC OAAB cos cos OAACOA ACOAABOA AB 8 4 cos135 8 6 cos120 16 24 2 所以 cos 即OA与BC所成角的
4、余弦值为 OA BC OA BC OA BC 24 162 8 5 3 22 5 3 22 5 答案 A 6 6 在正方体A1B1C1D1 ABCD中 AC与B1D所成角大小为 A B C D 6 4 3 2 解析建立如图所示的空间直角坐标系 设正方体边长为 1 则A 0 0 0 C 1 1 0 B1 1 0 1 D 0 1 0 1 1 0 1 1 1 AC B1D 1 1 1 1 0 1 0 AC B1D AC与B1D所成的角为 AC B1D 2 答案 D 7 7 如图 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是矩形 PA 平面ABCD PA AD 4 AB 2 以AC的中点O为球心 AC为直径
5、的球面交PD于点M 则CD与平面ACM所成角的正弦值为 A B 3 2 3 3 C D 5 3 6 3 解析如图所示 建立空间直角坐标系 则A 0 0 0 P 0 0 4 B 2 0 0 C 2 4 0 D 0 4 0 M 0 2 2 所以 2 4 0 0 2 2 2 0 0 ACAMCD 设平面ACM的一个法向量 n n x y z 由 n n n n 可得令z 1 得 n n 2 1 1 ACAM 2x 4y 0 2y 2z 0 设所求角为 则 sin CD n CD n 6 3 答案 D 8 8 在正方体ABCD A1B1C1D1中 点E为BB1的中点 则平面A1ED与平面ABCD夹角的
6、余弦值为 A B C D 1 2 2 3 3 3 2 2 解析以A为原点 AB AD AA1所在直线分别为x轴 y轴 z轴 建立如图所示的空间直角坐标系 设棱 长为 1 则A1 0 0 1 E1 0 D 0 1 0 1 2 0 1 1 A1D A1E 1 0 1 2 设平面A1ED的一个法向量为 n n1 1 y z 则有 A1D n1 0 A1E n1 0 即 y z 0 1 1 2z 0 y 2 z 2 n n1 1 2 2 平面ABCD的一个法向量为 n n2 0 0 1 cos 由图形知平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为 2 3 1 2 3 2 3 答案 B 9 9 2019 山
7、东日照模拟 设正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为 2 则点D1到平面A1BD的距离是 A B C D 3 2 2 2 22 3 23 3 解析如图 以点D为坐标原点 DA DC DD1所在直线分别为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系 则D 0 0 0 D1 0 0 2 A1 2 0 2 B 2 2 0 2 0 0 2 2 0 2 0 2 D1A1 DB DA1 设平面A1BD的一个法向量 n n x y z 则 n DA1 0 n DB 0 2x 2z 0 2x 2y 0 令z 1 得 n n 1 1 1 D1到平面A1BD的距离d D1A1 n n 2 3 23 3 答案 D 二 填
8、空题 1010 如图所示 在四面体OABC中 a a b b c c D为BC的中点 E为AD的中点 则 用 OAOBOCOE a a b b c c 表示 解析 a a OE OA AE 1 2AD a a a a 1 2 OD OA 1 2 1 2OD a a a a b b c c 1 2 1 2 1 2 OB OC 1 2 1 4 1 4 答案 a a b b c c 1 2 1 4 1 4 1111 在正方体ABCD A1B1C1D1中 M N分别为棱AA1和BB1的中点 则 sin的值为 CM D1N 解析如图 建立空间直角坐标系D xyz 设正方体棱长为 2 则易得 2 2 1
9、2 2 1 CM D1N cos CM D1N CM D1N CM D1N 1 9 sin CM D1N 1 1 9 2 45 9 答案 45 9 1212 在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中 AA1 2AB 则直线CD与平面BDC1所成角的正弦值等于 解析以D为坐标原点 建立空间直角坐标系 如图 设AA1 2AB 2 则D 0 0 0 C 0 1 0 B 1 1 0 C1 0 1 2 则 0 1 0 1 1 0 0 1 2 DCDB DC1 设平面BDC1的一个法向量为 n n x y z 则 n n n n DB DC1 所以有令y 2 得平面BDC1的一个法向量为 n n 2 2 1
10、 设直线CD与平面BDC1 x y 0 y 2z 0 所成的角为 则 sin cos DC n DC n DC 2 3 答案 2 3 1313 一题多解 已知点E F分别在正方体ABCD A1B1C1D1的棱BB1 CC1上 且B1E 2EB CF 2FC1 则平面 AEF与平面ABC所成的锐二面角的正切值为 解析如图 以点D为坐标原点 DA DC DD1所在直线分别为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系D xyz 设DA 1 由已知条件得A 1 0 0 E1 1 F0 1 0 1 1 1 1 3 2 3AE 1 3AF 2 3 设平面AEF的法向量为 n n x y z 平面AEF与平面AB
11、C所成的锐二面角为 由 n AE 0 n AF 0 得 y 1 3z 0 x y 2 3z 0 令y 1 z 3 x 1 则 n n 1 1 3 取平面ABC的法向量为 m m 0 0 1 则 cos cos tan 311 11 2 3 答案 2 3 三 解答题 1414 已知空间中三点A 2 0 2 B 1 1 2 C 3 0 4 设 a a b b ABAC 1 若 c c 3 且 c c 求向量 c c BC 2 求向量 a a 与向量 b b 的夹角的余弦值 解 1 c c 3 0 4 1 1 2 2 1 2 BC BC c c m m 2 1 2 2m m 2m BC c c 3
12、m 3 2m 2 m 2 2m 2 m 1 c c 2 1 2 或 2 1 2 2 a a 1 1 0 b b 1 0 2 a a b b 1 1 0 1 0 2 1 又 a a 12 12 02 2 b b 1 2 02 22 5 cos a b a b 1 10 10 10 即向量 a a 与向量 b b 的夹角的余弦值为 10 10 1515 2018 河北五校联考 如图 在斜三棱柱 侧棱不垂直于底面 ABC A1B1C1中 侧面AA1C1C 底面 ABC 底面 ABC是边长为 2 的正三角形 A1A A1C A1A A1C 1 求证 A1C1 B1C 2 求二面角B1 A1C C1的正
13、弦值 1 证明如图 取A1C1的中点D 连接B1D CD C1C A1A A1C CD A1C1 底面 ABC是边长为 2 的正三角形 AB BC 2 A1B1 B1C1 2 B1D A1C1 又B1D CD D B1D 平面B1CD CD 平面B1CD A1C1 平面B1CD A1C1 B1C 2 解如图 取AC的中点O 以O为坐标原点 射线OB OC OA1分别为x y z轴的正方向建立空间直 角坐标系 则O 0 0 0 B 0 0 A1 0 0 1 B1 1 1 C1 0 2 1 C 0 1 0 33 1 0 0 1 1 A1B1 3 A1C 设 m m x y z 为平面A1B1C的法向量 m A1B1 3x y 0 m A1C y z 0 令y 得 m m 1 33 3 又 0 0 为平面A1CC1的一个法向量 OB3 cos OB m OB m OB 7 7 由图易知所求二面角的夹角为锐角 二面角B1 A1C C1的正弦值为 1 7 7 2 42 7
