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1、双曲线的几何性质 陈爱民 一 知识再现前面我们学习了椭圆的简单的几何性质 范围 对称性 顶点 离心率 我们来共同回顾一下椭圆x2 a2 y2 b2 1 a b 0 几何性质的具体内容及其研究方法 x a y b x2 a2 1 y2 b2 1 中心对称 轴对称 x代x y代y A1 a 0 A2 a 0 B1 0 b B2 0 b 分别令x 0 y 0 a 长半轴长 c 半焦距长 b 短半轴长 a2 b2 c2 焦距与长轴长的比e c a0 e 1 如何得到的 二 想一想 我们能否用研究椭圆的几何性质的方法来研究双曲线的几何性质呢 x2 a2 1 y2 b2 1 x代x y代y 分别令x 0
2、y 0 x a或x a 中心对称 轴对称 A1 a 0 A2 a 0 a 实半轴长 c 半焦距长 b 虚半轴长 a2 c2 b2 焦距与实轴长的比e c ae 1 a 长半轴长 c 半焦距长 b 短半轴长 a2 b2 c2 焦距与长轴长的比e c a0 e 1 y F2 B1 A2 A1 B2 0 x F1 x a x a 三 请思考 我们已经研究了焦点在x轴上的双曲线的几何性质 那么当焦点在y轴上的双曲线的几何性质又如何呢 y a或y a 中心对称 轴对称 A1 0 a A2 0 a A1 a 0 A2 a 0 a 实半轴长 c 半焦距长 b 虚半轴长 a2 c2 b2 a 实半轴长 c 半
3、焦距长 b 虚半轴长 a2 c2 b2 焦距与实轴长的比e c ae 1 y x o A2 A1 B1 B2 F1 F2 y F2 A2 A1 B2 0 x F1 x a x a y a y a B1 四 让我们来讨论双曲线的顶点就是双曲线与坐标轴的交点 你认为对吗 讨论并给出答案 y F2 B1 A2 A1 B2 0 x F1 五 让我们共同分析例1 求双曲线9y2 16x2 144的实半轴长和虚半轴长 焦点坐标 离心率 分析 化为标准方程 y2 16 x2 9 1 确定焦点位置 在y轴上 找出a b的值 a 4 b 3 代入关系式c2 a2 b2 25 e c a 5 4 写出结果 a 4
4、 b 3 F1 0 5 F2 0 5 e 5 4 六 练一练求下列双曲线的实半轴长和虚半轴长及顶点坐标 1 x2 4y2 16 2 x2 49 y2 25 1 解答 1 a 4 b 2 A1 4 0 A2 4 0 2 a 5 b 7 A1 0 5 A2 0 5 请思考 如若求半焦距长和离心率呢 小结 关键在于求实半轴a的长和虚半轴b的长 然后代入关系式c2 a2 b2 e c a求半焦距c的长及离心率 七 让我们继续研究 请观察双曲线的图象和矩形对角线 有何特征 双曲线x2 a2 y2 b2 1 a 0 b 0 的各支向外延伸时 与矩形的两条对角线所在的直线逐渐接近 请思考 结论正确吗 F2
5、y B1 A2 A1 B2 0 x F1 一 我们共同来设计一个方案 八 我们一起来证明 1 由双曲线的对称性我们只需研究第一象限的情形 2 如何说明双曲线x2 a2 y2 b2 1在第一象限内与矩形的对角线所在的直线逐渐接近且不相交呢 M x y Q 2 如何说明 MQ 逐渐减小且不等于0呢 0 x y b a L N x Y 3 如何证明 MN 逐渐减小且不等于0呢 我们可用方程的思想解决 MN Y y 求出M N点坐标即可 为此我们过点M作一条直线L与y轴平行 交矩形对角线与N点 坐标记为N x Y 我们需证明N点在M点上方 即证y Y 又 MQ MN 所只需证明 MN 逐渐减小且不等于
6、0即可 1 我们在第一象限内双曲线图象上任取一点M x y 过M点向矩形的对角线y bx a引垂线 垂足为Q点 我们只需说明 MQ 逐渐减小且不等于0即可 二 我们来证明 先取双曲线在第一象限内的部分进行证明这一部分的方程可写为 0 x y N x Y Q M x y 在该式子中x x a 逐渐增大时 MN 逐渐减小且不等于0 又 MQ MN 所以 MQ 逐渐减小且不等于0 即双曲线x2 a2 y2 b2 1在第一象限内与矩形的对角线所在的直线逐渐接近且不相交 在其它象限内 我们可类似证明 y N x Y M x y 三 请注意 1 当焦点在y轴上时也可类似证明具有同样性质 2 我们把两条直线
7、y bx a叫做双曲线的渐近线 3 当焦点在x轴上时 方程为x2 a2 y2 b2 1 a 0 b 0 渐近线方程为y bx a 当焦点在y轴上时 方程为y2 a2 x2 b2 1 a 0 b 0 渐近线方程为y ax b 九 动脑筋 1 如何求双曲线的渐近线 例 求下列双曲线的渐近线 1 9y2 16x2 144 2 9y2 16x2 144 规律总结 1 求矩形对角线所在的直线方程 解答 1 y 4x 3 2 y 4x 3 0 y b a 2 化成标准式后再将1换成0或直接将常数项换为0 2 双曲线与其渐近线之间是否是一对一关系 例 当渐近线方程为y bx a时 双曲线的标准方程一定是x2
8、 a2 y2 b2 1吗 为什么 x y bx a y bx a 3 类比作椭圆的简图 如何较规范地作出双曲线的图形 例 画出下列双曲线的图形 1 9y2 16x2 144 2 x2 y2 4 注 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线 M 3 3 4 4 十 让我们来共同回顾本节课我们共同学习了那些内容 y F2 B1 A2 A1 B2 0 x F1 X a X a y F2 B1 A2 A1 B2 0 x F1 X a X a y x o A2 A1 B1 B2 F1 F2 双曲线的渐近线 当焦点在x轴上时 方程为x2 a2 y2 b2 1 a 0 b 0 渐近线方程为y bx a 当焦点在y轴上时 方程为y2 a2 x2 b2 1 a 0 b 0 渐近线方程为y ax b B1 A2 A1 B2 0 x F1 X a X a 1 离心率e的变化对双曲线图形有何影响 如何解释 十一 课后请你思考题 0 y b a F1 C F2 x 0 y e1 e2 e3 e4 2 如图 双曲线和椭圆的离心率分别为e1 e2 e3 e4 试比较e1 e2 e3 e4的大小 再见
