《通用版2020高考数学二轮复习规范解答集训4立体几何理2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《通用版2020高考数学二轮复习规范解答集训4立体几何理2（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、规范解答集训规范解答集训 四四 立体几何立体几何 建议用时 40 分钟 1 2019 烟台三模 如图 直角三角形ABD所在的平面与半 圆弧所在平面相交于BD AB BD 2 E F分别为AD BD的 BD 中点 C是上异于B D的点 EC BD 2 1 证明 平面CEF 平面BCD 2 若点C为半圆弧上的一个三等分点 靠近点D 求二面角 BD A CE B的余弦值 解 1 证明 因为C半圆弧上的一点 所以BC CD BD 在 ABD中 E F分别为AD BD的中点 所以EF AB 1 且EF AB 1 2 于是在 EFC中 EF2 FC2 1 1 2 EC2 所以 EFC为直角三角形 且EF
2、FC 因为AB BD EF AB 所以EF BD 因为EF FC EF BD BD FC F 所以EF 平面BCD 又EF平面CEF 所以平面CEF 平面BCD 2 由已知 BFC 120 以F为坐标原点 分别以垂直于BD 向量 所在方向作 FD FE 为x轴 y轴 z轴的正方向 建立如图所示的空间直角坐标系F xyz 则C E 0 0 1 B 0 1 0 A 0 1 2 3 2 1 2 0 0 1 1 0 1 1 CE 3 2 1 2 1 BE AE 设平面ACE的一个法向量为m m x1 y1 z1 则Error 即Error 取z1 1 得m m 3 3 1 1 设平面BCE的法向量n
3、n x2 y2 z2 则Error 即Error 取z2 1 得n n 1 1 3 所以 cos m m n n m m n n m m n n 1 21 3 5 105 35 又二面角A CE B为锐角 所以二面角A C B的余弦值为 105 35 2 2019 沈阳三模 如图 四棱锥P ABCD中 底面ABCD是边长 为 2 的正方形 侧面PAB 底面ABCD E为PC上的点 且BE 平面APC 1 求证 平面PAD 平面PBC 2 当三棱锥P ABC体积最大时 求二面角B AC P的余弦值 解 1 证明 侧面PAB 底面ABCD 侧面PAB 底面ABCD AB 四边形ABCD为正方形 B
4、C AB BC 平面PAB 又AP平面PAB AP BC BE 平面APC AP平面PAC AP BE BC BE B AP 平面PBC 又AP平面PAD 平面PAD 平面PBC 2 VP ABC VC APB PA PB BC PA PB 1 3 1 2 1 3 求三棱锥P ABC体积的最大值 只需求PA PB的最大值 令PA x PB y 由 1 知 PA PB x2 y2 4 而VP ABC xy 1 3 1 3 x2 y2 2 2 3 当且仅当x y 即PA PB 时 VP ABC的最大值为 22 2 3 如图所示 分别取线段AB CD中点O F 连接OP OF 以点O为坐标原点 以O
5、P OB和OF分别作为x轴 y轴和z轴 建立空间直角坐标系 O xyz 由已知A 0 1 0 C 0 1 2 P 1 0 0 所以 1 1 0 0 2 2 AP AC 令n n x y z 为平面PAC的一个法向量 则Error 设x 1 则y 1 z 1 n n 1 1 1 易知m m 1 0 0 为面ABC的一个法向量 二面角B AC P的平面角为 为锐角 则 cos n n m m n n m m 1 3 3 3 3 如图 ABC是以C为直角的等腰直角三角形 直角边长为 8 AE EC 5 3 DE BC 沿DE将三角形ADE折起 使得点A在平面BCED上的射影是点 C 点M在AC上且M
6、C AC 2 3 1 在BD上确定点N的位置 使得MN 平面ADE 2 在 1 的条件下 求CN与平面ABD所成角的正弦值 解 1 由点A在平面BCED上的射影是点C 可知AC 平面BCED 又BC CE 故建立如图所示的空间直角坐标系 C 0 0 0 A 0 0 4 B 0 8 0 D 3 5 0 E 3 0 0 由MC AC 可知点M的坐标为 2 3 0 0 8 3 设点N的坐标为 x y 0 则由点N在BD上可得 y 8 x 即点N的坐标为 x 8 x 0 则 MN x 8 x 8 3 设平面ADE的法向量为n n1 x y z 则Error 而 0 5 0 3 0 4 DE AE 所以
7、Error 取x 4 则z 3 可得n n1 4 0 3 MN 平面ADE等价于n n1 0 MN 即 4x 0 8 x 3 0 8 3 解得x 2 即点N的坐标为 2 6 0 所以点N为BD的靠近D点的三等分点 2 由 1 可知 2 6 0 CN 设平面ABD的法向量为n n2 p q r 由题意可知Error 而 3 3 0 0 8 4 可得Error 取p 1 则q 1 r 2 DB AB 所以n n2 1 1 2 设CN与平面ABD所成的角为 则 sin n n2 CN n n2 CN 2 15 15 即CN与平面ABD所成角的正弦值为 2 15 15 4 如图 平面ABCD 平面AB
8、E 四边形ABCD是边长为 2 的正方形 AE 1 F为为CE上的点 且BF 平面ACE 1 求证 AE 平面BCE 2 线段AD上是否存在一点M 使平面ABE与平面MCE所成二面角 的余弦值为 若存在 试确定点M的位置 若不存在 请说明理 3 4 由 解 1 证明 BF 平面ACE AE平面ACE BF AE 四边形ABCD是正方形 BC AB 又平面ABCD 平面ABE 平面ABCD 平面ABE AB CB 平面ABE AE平面ABE CB AE BF BC B AE 平面BCE 2 存在 当AM 时 平面ABE与平面MCE所成二面角的余弦值为 3 3 4 AE 平面BCE BE平面BCE
9、 AE BE 在 Rt AEB中 AB 2 AE 1 ABE 30 BAE 60 以A为原点 建立如图所示的空间直角坐标系A xyz 设AM h 则 0 h 2 AE 1 BAE 60 M 0 0 h E B 0 2 0 C 0 2 2 3 2 1 2 0 ME 3 2 1 2 h CE 3 2 3 2 2 设平面MCE的法向量为n n x y z 则Error 即Error 令z 2 得n n 3 3 2 3h h 2 2 易知平面ABE的一个法向量为m m 0 0 1 由题意可知 cos m m n n m m n n m m n n 2 1 3 2 3h 2 h 2 2 4 3 4 解得h 或h 舍 33 故当AM 时 平面ABE与平面MCE所成二面角的余弦值为 3 3 4
