《2019-2020学年数学人教A版选修2-1检测：2.2.2.1椭圆的简单几何性质》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年数学人教A版选修2-1检测：2.2.2.1椭圆的简单几何性质（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2 2 2 椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质 第一课时第一课时 椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质 填一填 椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上 标准方程 1 a b 0 x2 a2 y2 b2 1 a b 0 y2 a2 x2 b2 图形 对称性对称轴坐标轴 对称中心原点 范围 x a a y b b x b b y a a 顶点 a 0 0 b b 0 0 a 轴长短轴 B1B2 2b 长轴 A1A2 2a 焦点F1 c 0 F2 c 0 F1 0 c F2 0 c 焦距 F1F2 2c 离心率 e 0 eb 0 的长轴长等于 a x2 a2 y2 b2
2、2 椭圆的离心率 e 越小 椭圆越圆 3 经过点 P 3 0 Q 0 2 的椭圆的标准方程为 1 y2 9 x2 4 4 椭圆 1 的离心率 e x2 4 y2 9 5 2 5 椭圆 x2 9y2 36 的短轴的端点为 2 0 2 0 6 椭圆以两条坐标轴为对称轴 一个顶点是 0 13 另一个顶点是 10 0 则焦点坐标 为 0 69 7 曲线 4x2 12 3y2的图象关于 x 轴 y 轴 原点 直线 y x 均对称 想一想 1 由椭圆的几何性质可知 要确定椭圆的标准方程需要确定什么 首先要确定焦点位置 其次需要确定 a b 的值 2 椭圆的离心率对椭圆的形状有哪些影响 1 e 越接近 1
3、c 就越接近 a 从而 b 就越小 椭圆就越扁 2 e 越接近于 0 c 就越接近于 0 从而 b 就越大 椭圆就越圆 3 求椭圆离心率及范围的两种方法是什么 1 直接法 若已知 a c 可直接利用 e 求解 若已知 a b 或 b c 可借助于 c a a2 b2 c2求出 c 或 a 再代入公式 e 求解 c a 2 方程法 若 a c 的值不可求 则可根据条件建立 a b c 的关系式 借助于 a2 b2 c2 转化为关于 a c 的齐次方程或不等式 再将方程或不等式两边同除以 a 的最高 次幂 得到关于 e 的方程或不等式 即可求得 e 的值或范围 思考感悟 练一练 1 椭圆 25x2
4、 9y2 1 的范围为 A x 5 y 3 B x y 1 5 1 3 C x 3 y 5 D x y 1 3 1 5 答案 B 2 椭圆 1 的离心率是 x2 9 y2 4 A B 13 3 5 3 C D 2 3 5 9 答案 B 3 椭圆 x2 4y2 1 的离心率为 A B 3 2 3 4 C D 2 2 2 3 答案 A 4 与椭圆 1 有相同离心率的椭圆方程是 x2 9 y2 4 A 1 B 1 y2 9 x2 4 x2 36 y2 25 C 1 D 1 y2 36 x2 25 x2 36 y2 11 答案 A 知识点一由椭圆方程研究椭圆的几何性质 1 椭圆 25x2 9y2 22
5、5 的长轴长 短轴长 离心率依次是 A 5 3 0 8 B 10 6 0 8 C 5 3 0 6 D 10 6 0 6 解析 把椭圆的方程写成标准方程为 1 知 x2 9 y2 25 a 5 b 3 c 4 2a 10 2b 6 0 8 c a 答案 B 2 已知椭圆 C1 1 设椭圆 C2与椭圆 C1的长轴长 短轴长分别相等 且椭 x2 100 y2 64 圆 C2的焦点在 y 轴上 1 求椭圆 C1的长半轴长 短半轴长 焦点坐标及离心率 2 写出椭圆 C2的方程 并研究其性质 解析 1 由椭圆 C1 1 可得其长半轴长为 10 短半轴长为 8 焦点坐标 6 0 x2 100 y2 64 6
6、 0 离心率 e 3 5 2 椭圆 C2 1 y2 100 x2 64 性质 范围 8 x 8 10 y 10 对称性 关于 x 轴 y 轴 原点对称 顶点 0 10 0 10 8 0 8 0 焦点 0 6 0 6 离心率 e 3 5 知识点二由椭圆的几何性质求椭圆的标准方程 3 若椭圆的对称轴为坐标轴 且长轴长为 10 有一个焦点坐标是 3 0 则此椭圆的标准 方程为 解析 据题意 a 5 c 3 故 b 4 又焦点在 x 轴上 所以椭圆的标准方程 a2 c2 为 1 x2 25 y2 16 答案 1 x2 25 y2 16 4 已知椭圆的中心在坐标原点 焦点在 x 轴上 若长轴长为 18
7、两个焦点恰好将长轴 三等分 则该椭圆的标准方程是 解析 由 2a 18 得 a 9 又因为 2c 6 所以 c 3 18 3 所以 b2 a2 c2 81 9 72 所以所求椭圆的标准方程为 1 x2 81 y2 72 答案 1 x2 81 y2 72 知识点三椭圆的离心率问题 5 已知椭圆的长轴长是短轴长的倍 则该椭圆的离心率等于 2 A B 1 2 2 2 C D 3 2 3 3 解析 2a 2b a b c b 22a2 b2 e 故选 B c a b 2b 2 2 答案 B 6 设椭圆 C 1 a b 0 的左 右焦点分别为 F1 F2 P 是 C 上的点 x2 a2 y2 b2 PF
8、2 F1F2 PF1F2 30 则 C 的离心率为 A B 3 6 1 3 C D 1 2 3 3 解析 解法一 由题意可设 PF2 m 结合条件可知 PF1 2m F1F2 m 故离心率 3 e c a 2c 2a F1F2 PF1 PF2 3m 2m m 3 3 解法二 由 PF2 F1F2可知 P 点的横坐标为 c 将 x c 代入椭圆方程可解得 y 所 b2 a 以 PF2 又由 PF1F2 30 可得 F1F2 PF2 故 2c 变形可得 a2 c2 b2 a33 b2 a3 2ac 等式两边同除以 a2 得 1 e2 2e 解得 e 或 e 舍去 3 3 33 答案 D 综合应用
9、7 已知 F1 F2是椭圆的两个焦点 满足 0 的点 M 总在椭圆内部 则椭圆离心 MF1 MF2 率的取值范围是 A 0 1 B 0 1 2 C D 0 2 2 2 2 1 解析 设椭圆方程为 1 a b 0 因为 0 所以 MF1 MF2 所以点 x2 a2 y2 b2 MF1 MF2 M 的轨迹是以 O 为圆心 半径为 c 的圆 由点 M 总在椭圆内部 得 c b 所以 c2 b2 a2 c2 所以 2c2 a2 所以 e2 所以 0 eb 0 的两个焦点分别为 F1 F2 若椭圆上存在一点 P 使得 x2 a2 y2 b2 F1PF2 求椭圆离心率的取值范围 3 解析 在 F1PF2中
10、 F1PF2 3 由余弦定理 可得 F1F2 2 PF1 2 PF2 2 2 PF1 PF2 cos PF1 PF2 2 3 PF1 PF2 3 由于 PF1 PF2 2a 所以 4c2 4a2 3 PF1 PF2 结合基本不等式 可得 4a2 4c2 3 PF1 PF2 3 2 3a2 当且仅当 PF1 PF2 a 时等号成立 即 PF1 PF2 2 a2 4c2 可得 e 1 2 又 e0 的离心率 e 则 m 的值是 x2 5 y2 m 10 5 A 3 B 3 或 25 3 C D 或 1515 5 15 3 解析 若 5 m e m 3 若 m 5 e m 所以 m 3 5 m 5
11、10 5 m 5 m 10 5 25 3 或 m 25 3 答案 B 6 已知直线 2x y 2 0 经过椭圆 1 a 0 b 0 的上顶点与右焦点 则椭圆的 x2 a2 y2 b2 方程为 A 1 B y2 1 x2 5 y2 4 x2 4 C 1 D 1 x2 9 y2 4 x2 6 y2 4 解析 直线 2x y 2 0 与坐标轴的交点坐标为 1 0 0 2 由题意得 c 1 b 2 所以 a b2 c25 所以椭圆的方程为 1 故选 A x2 5 y2 4 答案 A 7 已知椭圆 1 a b 0 的左焦点为 F 右顶点为 A 点 B 在椭圆上 且 BF x 轴 x2 a2 y2 b2
12、直线 AB 交 y 轴于点 P 若 2 则椭圆的离心率是 AP PB A B 3 2 2 2 C D 1 3 1 2 解析 2 2 AP PB AP PB 又 PO BF PA AB AO AF 2 3 即 e a a c 2 3 c a 1 2 答案 D 8 若点 O 和点 F 分别为椭圆 1 的中心和左焦点 点 P 为椭圆上的任意一点 x2 4 y2 3 则 的最大值为 OP FP A 2 B 3 C 6 D 8 解析 由题意得 F 1 0 设点 P x0 y0 则 y 3 2 x0 2 2 0 1 x2 0 4 因为 x0 y0 x0 1 y0 OP FP 所以 x0 x0 1 y x
13、x0 y OP FP 2 02 02 0 x x0 3 x0 2 2 2 2 0 1 x2 0 4 1 4 所以当 x0 2 时 取得最大值 6 故选 C OP FP 答案 C 二 填空题 9 已知椭圆以两条坐标轴为对称轴 一个顶点是 0 13 另一个顶点是 10 0 则焦点 坐标为 解析 由题意知椭圆焦点在 y 轴上 且 a 13 b 10 则 c 故焦点坐 a2 b269 标为 0 69 答案 0 69 10 已知点 m n 在椭圆 8x2 3y2 24 上 则 2m 4 的取值范围是 解析 因为点 m n 在椭圆 8x2 3y2 24 上 即在椭圆 1 上 所以点 m n 满足 x2 3
14、 y2 8 椭圆的范围 x y 2 因此 m 即 m 所以 2m 4 4 2 4 2 323333 3 答案 4 2 4 2 33 11 若点 O 和点 F 分别为椭圆 y2 1 的中心和左焦点 点 P 为椭圆上的任意一点 x2 2 则 OP 2 PF 2的最小值为 解析 设 P x0 y0 而 F 1 0 OP 2 PF 2 x y x0 1 2 y 又 2 02 02 0 y 1 OP 2 PF 2 x 2x0 3 x0 1 2 2 2 OP 2 PF 2的最小值为 2 2 0 x2 0 22 0 答案 2 12 已知椭圆的短半轴长为 1 离心率 e 满足 0 e 则长轴长的取值范围是 3
15、 2 解析 由 e2 1 得 0 1 c2 a2 a2 b2 a2 1 a2 1 a2 3 4 即 1 所以 1 1 a2 1 4 1 4 1 a2 所以 1 a2 4 解得 1 a 2 即 20 的长轴长 短轴长 焦点坐标 顶点坐标和离心率 解析 椭圆的方程 m2x2 4m2y2 1 m 0 可转化为 1 x2 1 m2 y2 1 4m2 因为 m2 1 m2 1 4m2 所以椭圆的焦点在 x 轴上 并且长半轴长 a 短半轴长 b 半焦距长 c 1 m 1 2m 3 2m 所以椭圆的长轴长 2a 短轴长 2b 2 m 1 m 焦点坐标为 3 2m 0 3 2m 0 顶点坐标为 1 m 0 1
16、 m 0 0 1 2m 0 1 2m 离心率 e c a 3 2m 1 m 3 2 14 分别求适合下列条件的椭圆的标准方程 1 离心率是 长轴长是 6 2 3 2 在 x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直 且焦距为 6 解析 1 设椭圆的标准方程为 1 a b 0 或 1 a b 0 x2 a2 y2 b2 y2 a2 x2 b2 由已知得 2a 6 e c a 2 3 a 3 c 2 b2 a2 c2 9 4 5 椭圆的标准方程为 1 或 1 x2 9 y2 5 x2 5 y2 9 2 设椭圆的标准方程为 1 a b 0 x2 a2 y2 b2 如图所示 A1FA2为等腰直角三角形 OF 为斜边 A1A2上的中线 高 且 OF c A1A2 2b c b 3 a2 b2 c2 18 故所求椭圆的标准方程为 1 x2 18 y2 9 能力提升 15 已知椭圆 E 的中心为坐标原点 O 两个焦点分别为 A 1 0 B 1 0 一个顶点为 H 2 0 1 求椭圆 E 的标准方程 2 对于 x 轴上的点 P t 0 椭圆 E 上存在点 M 使得 MP MH 求实数 t 的取值范围
