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1、 2017 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一 选择题 1 8 小题 每小题4 分 共 32 分 下列每题给出的四个选项中 只有一个选项是符合题目要求的 1 若函数 1cos 0 0 x x f x ax b x 在 x 0 连续 则 A 1 2 ab B 1 2 ab C 0ab D 2ab 2 设二阶可到函数 f x满足 1 1 1 0 1fff且 0fx 则 A 1 1 0f x dx B 1 2 0f x dx C 01 10 f x dxf x dx D 11 10 f x dxf x dx 3 设数列 n x收敛 则 A 当limsin0 n n x时 lim0 n n x
2、 B 当lim 0 nnn n xxx时 则lim0 n n x C 当 2 lim 0 n n n xx lim0 n D 当lim sin 0 nn n xx时 lim0 n n x 4 微分方程 2 48 1cos2 x yyyex的特解可设为 k y A 22 cos2sin 2 xx AeeBxCx B 22 cos2sin 2 xx AxeeBxCx C 22 cos2sin 2 xx AexeBxCx D 22 cos2sin 2 xx AxexeBxCx 5 设 yxf具有一阶偏导数 且在任意的 x y 都有 0 0 x yxf x yxf 则 A 0 0 1 1 ff B 0
3、 0 1 1 ff C 0 1 1 0 ff D 0 1 1 0 ff 6 甲 乙两人赛跑 计时开始时 甲在乙前方10 单位 m 处 图中 实线表示甲的速度曲线 1 vvt 单位 m s 虚线表示乙的速度曲线 2vvt 三块阴影部分面积的数值依次为10 20 3 计时开始后乙追上甲的时刻记为 0 t 单 位 s 则 A 0 10t B 0 1520t C 0 25t D 0 25t 7 设A为三阶矩阵 123 P为可逆矩阵 使得 1 000 010 002 PAP 则 123 A A 12 B 23 2 C 23 D 12 2 8 已知矩阵 200 021 001 A 210 020 001
4、B 100 020 000 C 则 A A 与 C相似 B与 C相似 B A 与 C相似 B与 C不相似 C A 与 C不相似 B与 C相似 D A 与 C不相似 B与 C不相似 二 填空题 9 14 题 每小题4 分 共 24 分 9 曲线 x xy 2 arcsin1的斜渐近线方程为 10 设函数 yy x由参数方程 sin t xte yt 确定 则 2 02t d y dx 11 2 0 ln 1 1 x dx x 12 设函数 fx y具有一阶连续偏导数 且 1 0 00 yy dfx yye dxxy e dy f 则 fx y 13 11 0 tan y x dydx x 14
5、设矩阵 412 12 311 Aa的一个特征向量为 1 1 2 则a 三 解答题 15 23 小题 共94 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 本题满分10 分 求 0 3 0 lim x t x xte dt x 16 本题满分10 分 设函数 fu v具有 2 阶连续偏导数 y x fecosx 求 0 dy d x x 2 2 0 d y d x x 17 本题满分10 分 求 2 1 limln1 n n k kk nn 18 本题满分10 分 已知函数 xy由方程0233 33 yxyx确定 求 xy的极值 19 本题满分10 分 设函数 fx在0 1上具有 2 阶导数
6、 0 1 0 lim0 x f x f x 证明 1 方程 0fx在区间 0 1 内至少存在一个实根 2 方程 2 xfxfxf在区间 0 1 内至少存在两个不同的实根 20 本题满分11 分 已知平面区域 22 2Dx yxyy 计算二重积分 2 1 D xdxdy 21 本题满分11 分 设 y x是区间 3 0 2 内的可导函数 且 1 0y 点P是曲线 Lyy x上的任意一点 L在点P处的切线 与y轴相交于点 0 P Y 法线与x轴相交于点 0 P X 若 pP XY 求L上点的坐标 x y满足的方程 22 本题满分11 分 三阶行列式 123 A有 3 个不同的特征值 且 312 2 1 证明 2r A 2 如果 123求方程组 Axb的通解 23 本题满分11 分 设二次型 13 222 1232121323 2282f x x xxxaxx xx xx x在正交变换xQy下的标准型为 22 1122 yy 求a的值及一个正交矩阵Q
