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1、累积和控制图 概述CUSUM控制图的设计思想就是对数据的信息加以积累 CUSUM控制图分别可用于计量性数据 正态分布 不合格品数 泊松分布变量 不合格品率 二项分布变量 CUSUM控制图的理论基础是序贯分析原理中的序贯概率比检验 这是一种基本的序贯检验法 该控制图通过对信息的累积 将过程的小偏移累加起来 达到放大的效果 提高检测过程小偏移的灵敏度 对于不同的累积和控制图 有一个基本的共同点即 首先提出原假设和备择假设 其次对假设进行检验并做出结论 在实际应用中 用累积的统计值构建的控制图其敏感性和检出效果要明显强于凭单个样本值构建的控制图 原因在于该图是通过对样本均值 样本波动 极差等质量特性
2、值的累积和建立的 它也可以对属性值进行累积 序贯概率比检验 序贯概率比检验是每次只从需检测的一批产品中抽检一个样本的产品 然后根据过去抽检的各样本的测试结果 比较在两种不同假设时出现上述序贯测试结果的概率 以这两种概率的比值 统计上称为对的似然比 作为判断的依据 1 如果概率比远大于1 说明成立的可能性大 2 如果概率比远小于1 说明成立的可能性大 3 如果两种假设下的概率相差不大 则继续抽检下一个样本 序贯概率比检验 命题1 若 则接受 若则接受 若接续抽检下一个样本 A wald对此有详细的论述 并证明在使用时可近似取 当为真时接受的概率近似等于 其中为第一类错误概率 当为真时接受的概率近
3、似等于 其中为第二类错误概率 传统的CUMSUM本节主要讲述在假设样本数据服从正态分布的前提下 基于过程均值的单侧检验和双侧检验的CUMSUM的构造步骤与方法 1 单侧检验和双侧检验的CUMSUM 单侧检验仅检验均值的上偏或下偏 一般的CUMSUM的双侧检验同时检验均值的上偏和下偏 建立在假设检验的理论基础之上 分别作出原假设和备择假设 对连续的似然比率进行检验步骤如下 原假设 H0 0备择假设 H1 1 1 0 是样本均值 类错误的概率分别设为 和 当 1 序贯概率比 1 2 时 不能作出接受或拒绝H0和H1的判断 公式2可用来对呈上升趋势的均值构造一个单侧检验控制图 假如我们有一组按时间顺
4、序测得的独立样本数据即 X1X2 Xt 且服从正态分组且样本方差已知为 均值未知 序贯概率比用如下公式计算 3 现对其进行检验 则 1 1 0 4 St是对两个均值平均数的样本差的累积和 如图1所示 上下控制分别根据方程 3 确定 按抽样程序 在抽到第6个样本点时 停止抽样并接受H0 0 因为样本差的累积和超出了下控制线 同样在第18个样本点 接受 H1 1因为此时样本点超出上控制线 图1连续抽样的累积和控制图 St 在单侧检验控制图中 可接受上限常常定为控制图上控制限 而下控制限由于无实际意义 一般不预研究 所以图1中虽然第六个点已超出下控制限也就无须采取补救措施 而第18个样本点则相反 总
5、之 单边控制图主要研究均值上偏移的趋势 若需要同时对大于和小于 O的两种情况加以研究时 我们可以借助一对单侧检验控制图 分别对向上和向下的变动进行研究 目标均值分别记为 1 O和 2 O 对应的发生第二类错误的风险概率分别为 1和 2 发生第一类错误的风险概率为2 将公式 3 与 4 合并 则得出上下控制线为 5 6 公式 5 和 6 是样本数t的线性函数 结果见图2 a 一般情况下无论 1和 2取何值 CUMSUM都可用于对过程进行双边检验 图2 显示了向上和向下两种变动 常见的CUMSUM的V型模板见图2 b 累积和是样本与过程目标均值 O偏差的累积和 上下控制限分别为两条向上和向下倾斜的
6、斜线 对应不同假设即 Ho O H O 1 H2 O 2 形成三个确定区域 而阴影部分则是待定区域 当样本累积和落入三个确定区域的任一区域时则停止取样 a 双侧检验的累积和控制图 b 连续取样区间 图2双侧检验的累积和控制图的不同序贯概率比的可接受区间 CUMSUM的V型摸板当均值向上和向下波动的幅度相同时 常常用一个V型摸板对称的两臂做为上下控制限来分析累积和图 仅仅观测一下近期数据而非全部就可以从累积和的变动中对非随机模式做出判断 由图2 a 得出图3 转动V型摸板 使其下控制限平行于X轴 中心o作为最近数据的始点 横轴代表时间 以此判断何时的数据落到两臂上 当一个或数个点被任一臂覆盖时
7、表明过程均值已发生波动 当一个或数个点落被下臂覆盖时 则表明过程均值向上波动 被上臂覆盖 表明过程均值向下波动 累积和 超出控制的信号 图3累积和控制图的V型模板 图3描述了一个典型的CUMSUM的具体运用 图中清晰地显示了第t时刻样本点的具体位置 在3 7期间 均值明显向上移动 所以累积控制图的优势就是借助该图能够对过程均值发生变动的时间做出较准确的判断 由 1 2 分别计算出 前置距离d 即 模板的顶点V到基点0的水平距离 角度 即模板两边线UV与LV之间夹角的一半 构造出V型模板图 样本均值的传统CUMSUM前述的CUMSUM是个体计量值控制图 而对于样本规模为n 均值分别为 的独立样本
8、 构造CUMSUM的步骤为 计算上下控制限 7 8 其中 1 1 0 2 2 0 Cusum统计量为 St Xi 0 V型模板的前置距离d和角 的计算公式如下 样本极差的传统CUMSUM利用样本累积和统计值对过程变动进行控制类似于对连续的似然比率进行检验 实际应用中 用样本极差考查I 类错误概率分别为a和时 标准差 X从 0到 1发生的位移 由此得出单侧检验的控制上限计算公式 9 样本累积统计量为 其中 Ri为第i个样本极差 0 X为原假设 为由样本规模决定的常数 阐释CUMSUM由于构成CUMSUM的样本数据之间相互依赖 所以要研究处于控制限线内数据间的非随机因素引起的波动就存在一定的难度
9、也就无法利用分析休哈特均值控制图的原则和方法分析CUSUM 原因在于图中样本点是对历史数据的累积 有些点就会远离中心线 再根据具体落点位置解释图形也就失去了意义 如果一系列点随机地排列在与中心线平行的某一位置 那么出现这种情况的原因很可能是中心线定位有问题 一般地 当图中出现几个样本点连续呈上升或下降趋势时则表明过程有可能产生了波动 另一种发生波动的信号是图中连续的样本点成线性趋势向下倾斜 图4 b 给出了一天中每个样本点与平均9个样本均值之差的累积 图中显示 至少出现三次上偏和一次下偏趋势 而图 a 休哈特图 则无法显示该信息 由此可以看出 在检测过程中的微小波动方面 CUMSUM的检出功效
10、明显高于休哈特控制图 10 20 0 4 a X单值图 30 每天变化数 样本数 天 20 40 0 60 80 UCLX 21 00 9 50 LCLX 0 00 返回 40 0 20 80 20 4 b 累积和图 m 9 20 40 0 60 60 累积和 样本数 天 80 1 2 3 4 有些时候 由于计算累积和方法的差别 CUSUM也会提供错误信号 例如参数值m 目标均值的选择等都可能造成控制图错发信号 图5 c d 是利用不同的参照值对同一批数据构造出的CUSUM 但对过程波动显示出的统计信号却明显不同 20 20 0 60 40 5 d 累积和图 m 9 5 20 40 0 60 40 累积和 样本数 天 80
