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1、高三第一学期承智班班第2次考试数学试题一、选择题1已知满足,则的取值范围是 ( )A. B. C. D. 2定义在上的函数满足,当时, ,则下列不等式一定成立的是( )A. B. C. D. 3若函数恰有4个零点,则的取值范围为( )A. B. C. D. 4如图,在中, , ,等边三个顶点分别在的三边上运动,则面积的最小值为( )A. B. C. D. 5函数,则函数的零点个数为( )A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个6已知坐标平面上的凸四边形满足,那么的取值范围是( )A. B. C. D. 7以方程的两根为三角形两边之长,第三边长为,则实数的取值范围是( )A. B. 或 C
2、. D. 8的值域为,则的取值范围是( )A. B. C. D. 9已知函数,则方程的根的个数不可能为( )A. 6 B. 5 C. 4 D. 310设是椭圆长轴的两个端点,若上存在点满足,则的取值范围是( )11已知函数为增函数,则的取值范围是( ) 12定义为个正数的“均倒数”,若已知数列的前项的“均倒数”为,又,则( )A. B. C. D. 二、填空题13已知函数是定义在上的偶函数,对于,都有成立,当且时,都有给出下列四个命题:直线是函数的图象的一条对称轴;函数在上为减函数;函数在上有四个零点.其中所有正确命题的序号为_.14已知函数且函数在处有极值10,则实数的值为_.15若函数满足
3、且;函数,则的零点有_个16已知抛物线焦点为,直线过焦点且与抛物线交于两点, 为抛物线准线上一点且,连接交轴于点,过作于点,若,则_三、解答题17(1)若函数的图象在处的切线垂直于直线,求实数的值及直线的方程;(2)求函数的单调区间;(3)若,求证: .18在直角坐标系中, 已知定圆,动圆过点且与圆相切,记动圆圆心的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;(2)设是曲线上两点,点关于轴的对称点为 (异于点),若直线分别交轴于点,证明: 为定值.19已知圆,定点为圆上一动点,线段的垂直平分线交线段于点,设点的轨迹为曲线;()求曲线的方程;()若经过的直线交曲线于不同的两点,(点在点, 之间),且满足,求
4、直线的方程.20已知函数, .(1)若对任意的,均有,求的取值范围;(2)若对任意的,均有,求的取值范围.参考答案DCBDD CDDDA11A12C1314-111581617(1) , ;(2)当时, 的单调递增区间是;当时, 的单调递增区间是,单调递减区间是;(3)证明见解析.(1)(),定义域为,函数的图象在处的切线的斜率切线垂直于直线, ,切点为切线的方程为,即.(2)由(1)知: , 当时, ,此时的单调递增区间是;当时, 若,则;若,则此时的单调递增区间是,单调递减区间是综上所述:当时, 的单调递增区间是;当时, 的单调递增区间是,单调递减区间是.(3)由(2)知:当时, 在上单调
5、递减时, 时, ,即.18(1);(2)详见解析.解:(1)因为点在内,所以圆内切于圆,则,由椭圆定义知,圆心的轨迹为椭圆,且,则,所以动圆圆心的轨迹方程为.(2)设,则,由题意知.则,直线方程为,令,得,同理,于是,又和在椭圆上,故,则.所以.19()()()设点的坐标为,是线段的垂直平分线, ,又点在上,圆,半径是点的轨迹是以为焦点的椭圆,设其方程为,则曲线方程: ()设当直线斜率存在时,设直线的斜率为则直线的方程为: ,整理得: ,由,解得: -又,由,得,结合得,即,解得直线的方程为: ,当直线斜率不存在时,直线的方程为与矛盾.直线的方程为: 20(1) (2) .,由,得.,当时,要使恒成立,只需,解得.当时,要使恒成立,只需,矛盾.综上的取值范围是. (2),要使恒成立,只需,则,因为,所以只需恒成立,则所求的的取值范围为.