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1、1 立体几何知识点 一 空间几何体 1 多面体 由若干个多边形围成的几何体 叫做多面体 围成多面体的各个多边形叫做多面 体的面 相邻两个面的公共边叫做多面体的棱 棱与棱的公共点叫做多面体的顶 点 2 棱柱 有两个面互相平行 其余各面都是四边形 并且每相邻两个四边形的公共边都平行 由这些面所围成的多面体叫做棱柱 两个互相平行的面叫做底面 其余各面叫做侧 面 3 棱锥 有一个面是多边形 其余各面都是有一个公共顶点的三角形 由这些面所围成的多 面体叫做棱锥 底面是正多边形 且各侧面是全等的等腰三角形的棱锥叫做正棱锥 正棱锥的性质 各侧棱相等 各侧面都是全等的等腰三角形 顶点在底面上的射影是底面正 多
2、边形的中心 4 棱台 用一个平行于底面的平面去截棱锥 底面与截面之间的部分叫做棱台 由正棱锥截 得 的棱台叫做正棱台 正棱台的性质 各侧棱相等 各侧面都是全等的等腰梯形 正棱台的两底面以及平行于底面 的截面是相似的正多边形 5 旋转体 由一个平面图形绕一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫旋转体 这条定直线叫 做旋转体的轴 6 圆柱 圆锥 圆台 分别以矩形的一边 直角三角形的直角边 直角梯形垂直于底边的腰 所在的直线为旋转轴 其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱 圆锥 圆 台 圆柱 圆锥 圆台的性质 平行于底面的截面都是圆 过轴的截面 轴截面 分别是全等的 矩形 等腰三角形 等腰梯形
3、 注 在处理圆锥 圆台的侧面展开图问题时 经 常用到弧长公式Rl 7 球 以半圆的直径为旋转轴 旋转一周所成的曲面叫做球面 球面所围成的几何体叫做球体 简称球 8 简单空间图形的三视图 一个投影面水平放置 叫做水平投影面 投影到这个平面内的图 形叫做俯视图 一个投影面放置在正前方 这个投影面叫做直立投影面 投影到这个平面内 2 的图形叫做主视图 正视图 和直立 水平两个投影面都垂直的投影面叫做侧立投影面 通 常把这个平面放在直立投影面的右面 投影到这个平面内的图形叫做左视图 侧视图 三视 图的主视图 俯视图 左视图分别是从物体的正前方 正上方 正左方看到的物体轮廓线的 正投影围成的平面图形 1
4、 三视图画法规则 高平齐 主视图与左视图的高要保持平齐 长对正 主视图与俯视图的长应对正 宽相等 俯视图与左视图的宽度应相等 2 空间几何体三视图 正视图 从前向后的正投影 侧视图 从左向右的正投影 俯视图 从上向下正投影 例题 1 某四棱锥底面为直角梯形 一条侧棱与底面垂直 四棱锥的三视图如右图所示 则其体积为 例题 2 右图是底面为正方形的四棱锥 其中棱 PA垂直于底面 它的三视图正确的是 来源 学 科 网 Z X X K 来源 学 科 网 3 空间几何体的直观图 斜二测画法特点 斜二测坐标系的y轴与x轴正方向成 45角 原来与 x 轴平行的线段仍然与x 平行 长度 不变 原来与 y 轴平
5、行的线段仍然与y 平行 长度为原来的一半 常用结论 平面图形面积与其斜二侧直观图面积之比为22 1 例 如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45 腰和上底均为1的等 腰梯形 那么原平面图形的面积是 正视侧视 俯视 1 1 1 2 DC B A 主视 图 俯视图 左视 图 俯视 图 主视 图 左视图 左视 图 主视图 俯视图 左视图 俯视图 主视 图 正前方 P D C B A 3 A 2 2 B 2 21 C 2 2 2 D 2 1 9 特殊几何体表面积公式 c 为底面周长 h 为高 h 为斜高 l 为母线 chS直棱柱侧面积rhS2 圆柱侧 2 1 chS正棱锥侧面积rlS圆
6、锥侧面积 2 1 21 hccS正棱台侧面积lRrS 圆台侧面积lrrS2圆柱表lrrS圆锥表 22 RRlrlrS圆台表S球面 2 4 R 10 柱体 锥体 台体和球的体积公式 VSh 柱 2 VShr h 圆柱 1 3 VSh 锥 hrV 2 3 1 圆锥 1 3 VSS SS h 台 22 11 33 VSSSS hrrRRh 圆台 V球 3 4 3 R 例题3 已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形 正视图 或称主视图 是 一个底边长为 8 高为 4的等腰三角形 侧视图 或称左视图 是一个底边长 为6 高为 4的等腰三角形 例 4 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4 体积为 16
7、 则这个球的表面积是 A 16 B 20C 24 D 32 例 5 半径为 R的半圆卷成一个圆锥 则它的体积为 练习 1 已知一个几何体的三视图及其大小如图1 这个几何体的体积 A B C D 2 右图是一个几何体的三视图 根据图中数据 可得该几 何体的表面积是 3 某几何体的三视图如图所示 其俯视图是由一个半圆 与其直径组成的图形 则此几何体的体积是 A B C D V 12161864 20 3 6 10 3 16 3 侧 左 视图 4 2 1 俯视图 2 正 主 视图 第 3 题图 2 4 侧 左 视图 正 主 视图 俯视图 4 4 4 一个几何体的三视图是三个边长为1 的正方形和对角线
8、 如图所示 则此几何体的体积为 A B C D 1 5 一个空间几何体的三视图如图所示 根据图标出的尺寸 可得这个几 何体的体积为 A 4 B 8 C 12 D 24 6 若一个底面为正三角形 侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所 示 则这个棱柱的体积为 A 12 3B 6 C 27 3D 36 3 二 立体几何点线 面的位置关系 例1 如图 在正四棱柱 1111 ABCDA B C D中 E F分别是 11 ABC B的 1 6 1 3 5 6 俯视图 侧视图 正视图 33 4 平行关系 平面几何知识 线线平行 线面平行面面平行 垂直关系 平面几何知识 线线垂直 线面垂直面面垂直 判定 性质
9、 判定推论 性质 判定 判定 性质 判定 面面垂直定义 1 abab 2 aabb 3 aa 4 aa 5 L L 平行与垂直关系可互相转化 5 中点 则以下结论中不成立的是 A 1 EFBB与垂直B EFBD与垂直 C EF与CD 异面D EF 11 与A C异面 例 2 已知 m n是两条不同直线 是三个不同平面 下列命题中正确的是 A mnmn若则 B 若则 C mm若则 D mnmn若则 练习 1 设直线m与平面相交但不 垂直 则下列说法中正确的是 A 在平面内有且只有一条直线与直线m垂直B 过直线m有且只有一个平面与平面垂 直 C 与直线m垂直的直线不 可能与平面平行 D 与直线m平
10、行的平面不 可能与平面垂直 2 设ab 为两条直线 为两个平面 下列四个命题中 正确的命题是 A 若ab 与所成的角相等 则ab B 若a b 则ab C 若a b ab 则 D 若a b 则ab 3 给出下列四个命题 垂直于同一直线的两条直线互相平行 垂直于同一平面的两个平面互相平行 若直线 12 l l与同一平面所成的角相等 则 12 l l互相平行 若直线 12 l l是异面直线 则与 12 l l都相交的两条直线是异面直线 其中假 命题的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 4 设 为平面 lnm 为直线 则 m的一个充分条件是 A lml B m C m D mnn 5 设 是不同
11、的直线 是不同的平面 有以下四个命题 6 若则 若 则 若 则 若 则 其中真命题的序号是 A B C D 三 线线平行的判断 1 三角形中位线定理 2 构造平行四边形 其对边平行 3 对应线段成比例 两直线平行 4 平行于同一直线的两直线平行 平行的传递性 5 如果一条直线和一个平面平行 经过这条直线的平面和这个平面相交 那么这条直 线和交线平行 线面平行的性质 6 如果两个平行平面同时和第三个平面相交 所得交线平行 面面平行的性质 7 垂直于同一平面的两直线平行 线面垂直的性质 线面平行的判断 1 如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行 那么这条直线和这个平面平行 2 两个平面平行 其
12、中一个平面内的直线必平行于另一个平面 例 1 三角形中位线定理 如图 在正方体 1111 ABCDA B C D中 E是 1 AA的中点 求证 1 AC 平面BDE 证明 连接 AC 交BD于O 连接 EO E为 1AA的中点 O为 AC 的中点 EO为三角形 1 A AC的中位线 1 EOAC 又EO在平面BDE内 1AC在平面BDE外 1 AC平面BDE 例 2 证明是平行四边形 已知正方体 1111 ABCDA BC D O 是底 ABCD对角线的交点 求证 C1O 面 11 AB D 证明 1 连结 11 AC 设 11111 ACB DO 连结 1 AO A E D1 CB1 D C
13、 B A D1 O D BA C1 B1 A1 C 7 1111 ABCDA B C D是正方体 11 A ACC是平行四边形 A1C1 AC 且 11 ACAC 又 1 O O分别是 11 ACAC的中点 O1C1 AO 且 11 O CAO 11 AOC O是平行四边形 111 C OAOAO 面 11 AB D 1 C O面 11 AB D C1O 面 11 AB D 3 面面平行的判断 1 一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面 这两个平面平行 2 垂直于同一条直线的两个平面平行 例 4 如图 在正方体 1111 ABCDA B C D中 E F G 分别是 AB AD 11C
14、D的中点 求证 平面 1 D EF 平面 BDG 证明 E F分别是AB AD的中点 EF BD 又 EF平面 BDG BD平面 BDGEF 平面 BDG 1 D GEB四边形 1 D GBE为平行四边形 1 D E GB 又 1 D E平面 BDG GB平面 BDG1D E 平面 BDG 1 EFD EE 平面 1 D EF 平面 BDG 练习 1 利用三角形中位线 如图 已知四棱锥 PABCD的底面 ABCD是菱形 PA平面 ABCD 点F为 PC 的中点 求证 PA平面BDF 2 构造平行四边形 如图 在三棱柱 111 ABCA B C中 每个 侧面均为正方形 D 为底边 AB的中点 E
15、 为侧棱 1 CC的中点 求证 CD 平面 1 A EB D B C E B1 C1 A A1 A F P D C B 8 3 线面平行的性质 如图 四面体A BCD 被一平面所截 截面EFGH 是一个矩形 求证 CD 平面 EFGH 1 证明 截面EFGH 是一个矩形 EF GH 又 GH 平面 BCD EF 面BCD 而EF面ACD 面 ACD 面 BCD CD EF CD CD 平面 EFGH 4 对应线段成比例 两直线平行 面面平行得到线面平行 如下图 设P为长方形 ABCD 所 在平面外一点 M N分别为 AB PD上的点 且 MB AM NP DN 求证 直线 MN 平面 PBC
16、分析 要证直线MN 平面 PBC 只需证明 MN 平面 PBC内的一条直线或MN所在的某个 平面 平面 PBC 证法一 过 N作 NR DC交 PC于点 R 连结 RB 依题意得 NR NRDC NP DN MB AM MB MBAB MB MBDC NR MB NR DC AB 四边形 MNRB 是平行四边形 MN RB 又 RB平面 PBC 直线 MN 平面 PBC 证法二 过 N作 NQ AD交 PA于点 Q 连结 QM N D C BMA P C A B E H F G D 9 A B C D A B C D E F MB AM NP DN QP AQ QM PB又 NQ AD BC 平面 MQN 平面 PBC 直线 MN 平面 PBC 5 中位线定理 平行四边形 如图 四棱锥 P ABCD 的底面是平行四边形 点 E F 分别 为棱 AB PD的中点 求证 AF 平面 PCE 分析 取 PC的中点 G 连 EG FG 则易证 AEGF 是平行四边形 6 平行的传递性 已知正方体 ABCD A B C D 中 E F 分别是 A B B C 的中点 求证 EF 面 AD C 四
