《2019-2020学年高中数学第三章函数的应用3.1.2用二分法求方程的近似解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年高中数学第三章函数的应用3.1.2用二分法求方程的近似解（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3 1 2用二分法求方程的近似解 目标导航 新知导学 素养养成 1 二分法的定义对于在区间 a b 上且的函数y f x 通过不断地把函数f x 的零点所在的区间 使区间的两个端点逐步逼近 进而得到零点近似值的方法叫做二分法 连续不断 f a f b 0 一分为二 零点 思考 若函数y f x 在定义域内有零点 该零点是否一定能用二分法求解 答案 二分法只适用于函数的变号零点 即函数在零点两侧符号相反 因此函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解 如f x x 1 2的零点就不能用二分法求解 2 二分法的步骤给定精确度 用二分法求函数f x 零点近似值的步骤如下 1 确定区间 a b 验证 给
2、定精确度 2 求区间 a b 的中点c 3 计算f c 若f c 0 则c就是函数的零点 若f a f c 0 则令b c 此时零点x0 若f c f b 0 则令a c 此时零点x0 4 判断是否达到精确度 即若 则得到零点近似值a 或b 否则重复 2 4 f a f b 0 a c c b a b 名师点津 1 变号零点与不变号零点若曲线通过零点时变号 这样的零点叫做变号零点 图 1 中 x0 x1 x2都是变号零点 若曲线通过零点时不变号 这样的零点叫做不变号零点 如图 2 中 二次函数y x2有一个不变号零点 或叫二重零点 2 精确度 与 精确到 精确度 近似数的误差不超过某个数 就说
3、它的精确度是多少 即设x为准确值 x 为x的一个近似值 若 x x 则x 是精确度为 的x的一个近似值 精确度简称精度 用二分法求方程的近似解时 只要根的存在区间 a b 满足 a b 两端点或区间内的任意一个数均可作为方程的近似解 精确到 按四舍五入的原则得到准确值x的前几位近似值x x 的最后一位有效数字在某一数位 就说精确到某一数位 如 3 1415926 若取3位有效数字 则x 3 14 精确到0 01 即百分位 若取5位有效数字 则x 3 1416 精确到0 0001 即万分位 课堂探究 素养提升 题型一二分法概念的理解 例1 1 下列函数图象与x轴均有交点 其中不能用二分法求函数零
4、点近似值的是 解析 1 能用二分法求函数零点的函数 在零点的左右两侧的函数值符号相反 图象要穿过x轴 B图象不穿过x轴 故选B 解析 2 因为第一次所取的区间是 2 4 所以第二次所取的区间可能是 2 1 1 4 第三次所取的区间可能为 2 0 5 0 5 1 1 2 5 2 5 4 故选D 2 在用二分法求函数f x 零点近似值时 第一次取的区间是 2 4 则第三次所取的区间可能是 A 1 4 B 2 1 C 2 2 5 D 0 5 1 方法技巧 1 用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用 即条件f a f b 0是必不可少的 对函数的不变号零点不适用 2 使用二分法确定零点
5、所在区间的原则是取与区间端点的值异号的区间中点 即时训练1 1 1 2019 湖南岳阳一中阶段检测 用二分法求如图所示的图象所表示的函数f x 的零点时 不可能求出的零点是 A x1 B x2 C x3 D x4 解析 1 观察题中图象可知 x3附近两边的函数值都为负值 所以x3不能用二分法求得 故选C 答案 1 C 2 某同学在借助计算器求 方程lgx 2 x的近似解 精确度0 1 时 设f x lgx x 2 算得f 1 0 在以下过程中 使用 二分法 又取了4个x的值 计算了其函数值的正负 并得出判断 方程的近似解为x 1 8 那么他所取的x的4个值中最后一个值是 答案 2 1 8125
6、 备用例1 1 若函数f x x2 4x t存在零点 但不能用二分法求解 则t 2 已知函数f x x3 2x 5 f 2 5 0 用二分法求方程x3 2x 5 0在区间 2 3 内的实根 取区间中点为x0 2 5 那么下一个有根的区间是 解析 1 由题意知函数f x x2 4x t与x轴只有一个交点 故 16 4t 0 则t 4 2 因为f 2 23 2 2 5 10 f 3 33 2 3 5 16 0 所以f 2 f 2 5 0 所以方程x3 2x 5 0在 2 2 5 内有实根 答案 1 4 2 2 2 5 题型二二分法的步骤 例2 用二分法求方程f x 0在 0 4 上的近似解时 最多
7、经过次计算精确度可以达到0 001 答案 12 方法技巧 即时训练2 1 若用二分法求函数f x 在 a b 内的唯一零点时 精确度为0 001 则结束计算的条件是 题型三用二分法求方程的近似解 例3 用二分法求方程x3 x 1 0在区间 1 1 5 内的一个近似解 精确度0 1 提示 1 53 3 375 1 253 1 953 1 3753 2 6 1 31253 2 261 解 设f x x3 x 1 因为f 1 1 1 1 10 所以f x 在区间 1 1 5 上存在零点 取区间 1 1 5 作为初始区间 用二分法逐次计算列表如下 因为 1 375 1 3125 0 0625 0 1
8、故函数f x x3 x 1在 1 1 5 内的一个近似零点为1 375 即方程x3 x 1 0在 1 1 5 内的一个近似解为1 375 方法技巧 使用二分法求方程的近似解应转化为求其相应函数的近似零点 当区间两个端点在满足精确度条件下的近似值相等时 所得区间两个端点的近似值便为所求方程的根 或函数零点 即时训练3 1 利用二分法求方程lnx 3 x的根 精确度为0 1 以下数据可供参考 ln2 5 0 9163 ln2 25 0 8109 ln2 125 0 7538 ln2 75 1 0116 ln2 1875 0 7828 ln2 21875 0 7969 ln2 47125 0 904
9、7 解 令f x lnx x 3 因为f 2 ln2 10 所以取 2 3 作为函数零点计算的初始区间 用二分法逐次计算 列表如下 因为 2 1875 2 25 0 0625 0 1 故函数f x lnx x 3在 2 3 内的一个近似零点为2 25 所以方程lnx 3 x在 2 3 内的一个近似根为2 25 学霸经验分享区 1 使用 二分法 时应注意以下两点 选好计算的初始区间 保证所选区间既要符合条件 又要使其长度最短 计算时要根据给定的精确度 检验计算所得的区间是否满足这一条件 1 用二分法求函数f x 2x 3的零点时 初始区间可选为 A 1 0 B 0 1 C 2 3 D 1 2 课堂达标 D 解析 由f 0 1 3 2 f 1 1 f 2 1知选D 2 通过下列函数的图象 判断不能用 二分法 求其零点的是 A B C D C 解析 能用二分法求零点的函数必须在给定区间 a b 上连续不断 并且有f a f b 0 由图象可得 只有 能满足此条件 故不能用 二分法 求其零点的是 故选C D 4 用 二分法 可求近似解 对于精确度 说法正确的是 A 越大 零点的精确度越高 B 越大 零点的精确度越低 C 重复计算次数就是 D 重复计算次数与 无关 B 答案 f x x5 2
