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1、多元函数全微分课件资料讲解 8.3全微分),(),(y x f y x x f?x y x fx?),(),(),(y x f y y x f?y y x fy?),(对二元函数对x和对y的的偏微分对二元函数对x和对y的的偏改变量由一元函数微分学中改变量与微分的关系:.)()()(dx x f dy x f x x f y?得得如果函数),(y x f z?在点),(y x的某邻域内有定义，并设),(y y x x P?为这邻域内差的任意一点，则称这两点的函数值之差),(),(y x f y y x x f?为函数在点P对应于自变量改变量y x?,的的全）改变量（全增量），记为z?全改变量的概
2、念即即z?=),(),(y x f y y x x f?0x0yx?y?y x?y x y x x yy x y y x xy x f y y x x f zy xxy y x f zy x?000000000000)(),(),(),(.),(,的改变量为矩形面积在点则面积为例如设矩形边长000000),(,),(x y x f y y x fy x?线性主要部分)()(22y x o?8.3.1全微分的定义可表示为的全改变量在点如果函数),(),(),(),(000000y x f y y x x f zy x y x f z?)(?o y B x A z?,有关而仅与不依赖于其中y xy
3、 x BA?即为记为,dzy B x Adzy x?),(00oxyx?y?),(),(,),(),(0000y x y x f zy B x A y x y x f z在点称为函数可微分在点则称函数?.全微分22)()(y x?如果函数),(y x f z?在点),(00y x分可微分,则则续函数在该点连续.证事实上),(?o yB x A z?,0),(),(lim lim0000000?y x f y y x x f zyx?即),(lim0000y y x x fyx?),(00y x f?故函数),(y x f z?在点),(00y x续处连续.1定理?22y x?.0,0,0,0)
4、(lim lim00?y xo yBxAz?8.3.2全微分存在的必要条件和充分条件y y x f x y x fdzy x fy x f y x f zy x y x f zy xy xyx?),(),(),(),(),(,), (20000),(00000000?存在，且的两个偏导数则函数）可微分，在点（如果函数定理),(),(0000y x f By x f Ao yBxAzy x?，）即可微分定义中?证如果函数),(y x f z?在点),(00y xP分可微分,P的某个邻域总成立,?220000),(),(),(y xoyBxAy x f y y x x fz?当0?y时，上式仍成立
5、，此时|x?,),(),(0000y x f y x xf?|),(|xoxA?Axy xf y x x fx?),(),(lim00000),(00y xf Ax?同理可得).,(00y xf By?y=f(x)在某点处可导可微z=f(x,y)在某点处可偏导可微分例如，.000),(222222?y xy xy xxyy xf在点)0,0(处有0)0,0()0,0(?y xff)0,0()0,0(y f xf zy x?,)()(22y xy x?则则2222)()()()(y xy x y xy x?),()0,0()0,0(?oyf xfzy x?函数在点)0,0(处不可微.当0?时，上
6、式极限不存在，说明它不能随着0?于而趋于0。 说明多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在，证),(),(0000y xf y y x xfz?),(),(0000y y xf y y xxf?),(),(0000y xf y y xf?.),(,),(),(),(),(30000可微分在点则函数连续在点的偏导数如果函数定理y xf y x y x fy xf y xf zyx?在在两个方括号内，应用拉格朗日中值定理),(),(0000y y xf yy xxf?x yy xx fx?),(010?)10(1?xx y x fx?100),(?（依偏导数的连续性）且当0,0?y x时，01?
7、.同理),(),(0000y xf yy xf?,),(200yyy x fy?),(),(lim000000y xf yy xxfxxyx?100010),(),(?y xf yy xxfxx且当0,0?y x时，02?.（无穷小）xx y xfx?100),(?yyy x fy?200),(?z?212121?y x y x?,00?故函数),(y xfz?在点),(00y x处可微?22y x?.0,0,0?y x?全微分记为记注习惯上记,dy ydx x?yy xf x y xfdzy x?),(),(上的全微分记为在区域上可微，函数在区域则称函数）都可微，上每一点（在定义域如果函数D
8、 fD fy x Dy xfz,),(?dy y xfdx y xfdzy xy x),(), (0000),(00?.dyyzdxxzdz?或或.dyyzdxxzdz?全微分的定义可推广到三元函数:.),(dzzudyyudxxudu z y xf u?通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理叠加原理也适用于n元函数的情况:n xxxndx fdx fdx fdu xxxf un?212121),(例例11计算函数xye z?在点)1,2(分处的全微分.解解,xyyexz?,xyxeyz?,2)1,2(exz?,22)1,2(eyz?.222dy
9、edx edz?所求全微分例例22求函数)2cos(y xy z?，当4?x，?y，4?dx，?dy分时的全微分.解解),2sin(y xyxz?),2sin (2)2cos(y xyy xyz?dyyzdxxzdz),4(),4(),4(?).74(82?例例33计算函数yzeyx u?2sin分的全微分.解解,1?xu,2cos21yzzeyyu?,yzyezu?所求全微分.)2cos21(dz yedy zeydxduyz yz?例44试证函数?)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin),(22y xy xy xxyy xf在点)0,0( (1)连续; (2)偏导数存在; (3)偏
10、导数在点)0,0(续不连续; (4)f在点)0,0(微可微.路思路分按有关定义讨论；对于偏导数需分)0,0(),(?y x，)0,0(),(?y x论讨论.证证则则22)0,0(),(1sin limy xxyy x?0?),0,0(f?故函数在点),0(连续,?)0,0(xfxf xfx?)0,0()0,(lim0,000lim0?xx同理.0)0,0(?yf?0211sin0,0,2222?y xy xxyy xxy (1) (2)当),0(),(?y x时，?),(y xfx,1cos)(1sin22322222y xyxyxy xy?当点),(yxP沿直线xy?趋于)0,0(时时,),
11、(lim)0,0(),(yxfxx x?,|21cos|22|21sin lim330?x xxxxx不存在. (3)所以),(yxfx?在)0,0(不连续.同理可证),(yx fy?在)0,0(不连续.)0,0(),(f yxff?22)()(1siny xyx?)()(22yxo?故),(yxf在点)0,0(可微.0)0,0(?df (4)多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导8.3.3全微分在近似计算中的应用都较小时，有近似等式连续，且个偏导数的两在点当二元函数yxyxf yxfyxPyxfzy x?,),(),(),(),(00.),(),(0000yyxfx
12、yxfdz zyx?也可写成).)(,()(,(),(),(00000000yyyxfxxyxfyxfyxfyx?),(),(0000yxfyyxxfz?yyxfxyxfyxfy yxxfyx?),(),(),(),(00000000?00,yyyxxx?令.cm,4cm,20cm,1.0值求容器外壳体积的近似半径为内内高为外壳厚度均为容器，容器的例有一无盖的圆柱形解设圆柱形容器的半径为r,高为h，h rV2?外壳体积可看作容器体积V在r=4,h=20时，.1.0分近似计算时的全增量，可用全微?h r连续，2,2rhVrhrV?h rr rhhhVrrVdV V?22?)cm(6.171.04
13、1.204232?则圆锥体的体积为例例4.)99.1()02.2(322的近似值计算?.01.002.0)2,2(),()99.1()02.2(,),(:322322时的函数值、处、自变量有增量在点函数可看作则设解?yx yxfyxyxf,0) (32),(,) (32),(2232223222上处处连续在?y xy xyyxfy xxyxfyx?,31)2,2(,31) (32)2,2()2,2(3222?y xfyxxf)01.0()2,2(02.0)2,2()2,2()99.1,02.2(?y xff ff0033.201.03102.0312?.0033.2)99.1()02.2(322?即例例55计算02.2)04.1(值的近似值.解解.),(yx yxf?设函数.02.0,04.0,2,1?yxyx取,1)2,1(?f
