《高三数学备考冲刺140分问题33求圆锥曲线离心率或离心率范围（含解析）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学备考冲刺140分问题33求圆锥曲线离心率或离心率范围（含解析）（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、问题33求圆锥曲线离心率或离心率范围一、考情分析离心率的范围问题是高考的热点问题,各种题型均有涉及,因联系的知识点较多,且处理的思路和方法比较灵活,关键在于如何找到不等关系式,从而得到关于离心率的不等式,进而求其范围.很多同学掌握起来比较困难,本文就解决本类问题常用的处理方法和技巧加以归纳.二、经验分享离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有
2、关椭圆的离心率问题难点的根本方法2.要解决双曲线中有关求离心率或求离心率范围的问题，应找好题中的等量关系或不等关系，构造出关于a，c的齐次式，进而求解.(2)要注意对题目中隐含条件的挖掘，如对双曲线上点的几何特征2c的运用三、知识拓展1.在求椭圆离心率范围时常用的不等关系：，（P为椭圆上一点） 2.在双曲线中，四、题型分析(一) 借助平面几何图形中的不等关系 根据平面图形的关系,如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系,然后将这些量结合曲线的几何性质用进行表示,进而得到不等式,从而确定离心率的范围.【例1】已知两定点和,动点在直线上移动,椭圆以为焦点
3、且经过点,则椭圆的离心率的最大值为（ ）A B C. D【答案】A【解析】关于直线的对称点为,连接交直线于点,则椭圆的长轴长的最小值为,所以椭圆的离心率的最大值为,故选A.【点评】求解本题的关键是利用对称性求距离的最小值【小试牛刀】已知椭圆与圆,若在椭圆上存在点P,使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直,则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A B C D【答案】C【解析】椭圆上长轴端点向圆外两条切线PA,PB,则两切线形成的角最小,若椭圆上存在点P令切线互相垂直,则只需,即,解得,即,而,即. (二) 借助题目中给出的不等信息根据试题本身给出的不等条件,如已知某些量的范围,存在点或直线使方程成立,的
4、范围等,进一步得到离心率的不等关系式,从而求解.【例2】 已知椭圆上一点关于原点的对称点为为其右焦点,若设且则椭圆离心率的取值范围是.【答案】【解析】左焦点为.连结可得四边形是矩形,所以.所以又所以. .又因为,.所以.即.因为所以.所以.故填.【点评】本题的关键是利用椭圆的定义建立等量关系式,然后借助已知条件利用三角函数的图象求解离心率的范围.【小试牛刀】【百校联盟2018届TOP202018届高三三月联考】已知平行四边形内接于椭圆，且， 斜率之积的范围为，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意， 关于原点对称，设， ， ，故选A. (三) 借助函数的
5、值域求解范围根据题设条件,如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式,通过确定函数的定义域后,利用函数求值域的方法求解离心率的范围.【例3】已知椭圆与双曲线有相同的焦点,则椭圆的离心率的取值范围为（ ）A B C D【答案】A【解析】椭圆,双曲线, 由条件有,则,由,有,即,而,.【点评】本题根据题设“相同的焦点”建立等量关系,得到函数关系式,进而根据m的范围,借助反比例函数求解离心率的范围.【小试牛刀】已知二次曲线,则当时,该曲线的离心率的取值范围是（ ）A B C D【答案】C【解析】由当时,二次曲线为双曲线,双曲线即为,且,则,即有,故选C. (四) 根据椭圆或双曲
6、线自身的性质求范围在求离心率的范围时有时常用椭圆或双曲线自身的性质,如椭圆中,P是椭圆上任意一点,则等.【例4】设为椭圆的左、右焦点,且,若椭圆上存在点使得,则椭圆的离心率的最小值为（ ）A B C D【答案】D【解析】设,由圆锥曲线的共同特征可得,所以,即,所以,又,解得,所以离心率的最小值为,故选D【点评】为椭圆上的一点是本题的关键条件,根据圆锥曲线的共同特征把转化成基本量,与的关系式,结合椭圆的范围,即可得到的不等式,从而求出其最小值【小试牛刀】【天津市南开区2019届高三上数学期末】已知双曲线的左、右焦点分别为、，点M在双曲线的左支上，且，则此双曲线离心率的最大值为ABC2D【答案】A
7、【分析】先由双曲线的定义得到，再由点M在双曲线左支上，即可得出结果.【解析】由双曲线的定义可得，根据点M在双曲线的左支上，可得，双曲线离心率的最大值为，故选A四、迁移运用1【湖南省怀化市2019届高三3月第一次模拟】两正数的等差中项为，等比中项为，且，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】D【解析】因为两正数的等差中项为，等比中项为，所以，解得或，因为，所以，所以.故选D2【江西省上饶市重点中学2019届高三六校第一次联考】设双曲线的右焦点为，过且斜率为1的直线与的右支相交不同的两点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A B C D【答案】A【解析】要使直线与双曲线的右支相交不同的两点，需使
8、双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线即 ，所以 ，所以 ，故选A3【江西省高安中学2019届高三上学期期中】如图，点在以为焦点的双曲线上，过作轴的垂线，垂足为，若四边形为菱形，则该双曲线的离心率为（ ）A B2 C D【答案】C【解析】解：由题意得：四边形的边长为2c, 连接,由对称性可知, |=|=2c,则三角形为等边三角形.过点P作PHx轴于点H, 则=60，|=2c,在直角三角形中, |=, |=,则P(2c,), 连接, 则|=.由双曲线的定义知,2a=|-|=-2c=,所以双曲线的离心率为e=，故选C.4【宁夏银川一中2019届高三第一次模拟】双曲线和直线，若过的左焦点和点的直线与
9、平行，则双曲线的离心率为 （ ）A B C D【答案】A【解析】过的左焦点和点的直线可写为：，即与平行 又本题正确选项：5【辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三第五次模拟】如图，是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线交于两点，若，则双曲线的离心率为（ ）A B C D【答案】A【解析】设，则，根据双曲线的定义，得，即，解之得：；因为，所以三角形是以为直角的直角三角形，所以，因此；在三角形中，可得，因此，该双曲线的离心率为.故选A6【广东省韶关市2019届高三1月调研】设点为双曲线和圆的一个交点，若，其中为双曲线的两焦点，则双曲线的离心率为（ ）A2 B C D【答案】B【解析】圆是以原点为圆
10、心，以为半径的圆，则，从而有，|M|c，c，由双曲线的定义得，得离心率为，故选：B.7【广东省华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考】设，分别是椭圆的左、右焦点，若在直线其中上存在点P，使线段的垂直平分线经过点，则椭圆离心率的取值范围是A B C D【答案】C【解析】由题意得 ，设点，则由中点公式可得线段的中点，线段的斜率与的斜率之积等于，即，或舍去，又椭圆的离心率 ，故，故选：C8【陕西省西安市西北工业大学附属中学2019届第一次适应性训练】设，是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若，且的最小内角为，则C的离心率为A B C D【答案】C【解析】解：因为、是双曲线的两个焦点，是双曲
11、线上一点，且满足，不妨设是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知所以，,为最小边,的最小内角，根据余弦定理，即，所以故选：C9【北京市丰台区2019届高三上学期期末】已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且椭圆截抛物线的准线所得线段长为6，那么该椭圆的离心率为A2 B C D【答案】D【解析】易知抛物线的焦点（2，0），准线x=-2，即椭圆的c=2，因为抛物线的准线恰好过椭圆的焦点，即相交的线段为椭圆的通径；即通径为 ，又因为c=2解得a=4所以离心率故选D.10【四川省绵阳市2019上学期期末】若双曲线与双曲线有公共点，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A B C D【答案】C【解析】由得的渐
12、近线方程为，由得的渐近线方程为，因为双曲线与双曲线有公共点，所以只需，即，即，即，解得.故选C11【河北省武邑中学2019届高三下学期第一次质检】已知直线与双曲线的斜率为正的渐近线交于点，曲线的左、右焦点分别为，若，则双曲线的离心率为（ ）A4或BCD【答案】D【解析】由渐近线方程与直线求出点A的坐标为,过A点作轴于点B，则由已知可得当时，则故舍去，综上故选D12【贵州省贵阳市普通中学2019届高三年级第一学期期末】已知点F是双曲线的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若是钝角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是ABCD【答案】D【解析】双曲线关于
13、x轴对称，且直线AB垂直x轴，是钝角三角形，是钝角，即有，为左焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，即，由，可得，解得或，舍去，则双曲线的离心率的范围是故选：D13【山东省临沂市2019届高三2月教学质量检测】点A、B分别为椭圆的左、右顶点，F为右焦点，C为短轴上不同于原点O的一点，D为OC的中点，直线AD与BC交于点M，且MFAB，则该椭圆的离心率为A B C D【答案】B【解析】由题意如图：MFAB，且OCAB，MFOC，同理MFOD，得到：=,2（ac）c+a，a3c，e故选：B14【吉林省长春市2019届高三质量监测（二)】已知双曲线的左、右焦点分别为，过且与渐近线垂直的直线分别与该渐近线和轴相交于，两点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（ ）A B C2 D【答案】B【解析】由题意，取双曲线的一条渐近线，即，则过右焦点与渐近线垂直的直线方程为，即，又由焦点到渐近线的距离为，又由，所以，即，又由原点到的距离为，在直角中，由射影定理得，即，又由，整理得，所以，故选B.15【2019年四川省达州市一诊】已知椭圆的左右焦点分别为、，抛物线与椭圆C在第一象限的交点为P，若，则椭圆C的离心率为A B或C D或
