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1、解答必刷卷(三)数列考查范围:第28讲第32讲题组一真题集训1.2018全国卷等比数列an中,a1=1,a5=4a3.(1)求an的通项公式;(2)记Sn为an的前n项和,若Sm=63,求m.2.2017全国卷设数列an满足a1+3a2+(2n-1)an=2n.(1)求an的通项公式;(2)求数列an2n+1的前n项和.3.2018天津卷设an是等差数列,其前n项和为Sn(nN*);bn是等比数列,公比大于0,其前n项和为Tn(nN*).已知b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6.(1)求Sn和Tn;(2)若Sn+(T1+T2+Tn)=an+4bn,求正整数n的值.题组
2、二模拟强化4.2018重庆八中月考已知数列an满足a1=1,an-an-1=2n-1(n2,nN*).(1)求数列an的通项公式;(2)设数列bn=log2(an+1),求数列1bnbn+1的前n项和Sn.5.2018长春二模已知数列an的通项公式为an=2n-11.(1)求证:数列an是等差数列;(2)令bn=|an|,求数列bn的前10项和S10.6.2018吉林梅河口五中月考在数列an中,a1=1,an+1=13an+n,n为奇数,an-3n,n为偶数.(1)证明:数列a2n-32是等比数列;(2)若Sn是数列an的前n项和,求S2n.7.2018江西九校二联已知数列an为等差数列,且a
3、2+a3=8,a5=3a2.(1)求数列an的通项公式;(2)记bn=2anan+1,设bn的前n项和为Sn,求使得Sn20172018的最小的正整数n.解答必刷卷(三)1.解:(1)设an的公比为q,由题设得an=qn-1.由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去)或q=-2或q=2.故an=(-2)n-1或an=2n-1.(2)若an=(-2)n-1,则Sn=1-(-2)n3.由Sm=63得(-2)m=-188,此方程没有正整数解.若an=2n-1,则Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6.综上,m=6.2.解:(1)因为a1+3a2+(2n-1)an=2n,故当n2时,a1+
4、3a2+(2n-3)an-1=2(n-1).两式相减得(2n-1)an=2,所以an=22n-1(n2).又由题设可得a1=2,从而an的通项公式为an=22n-1.(2)记an2n+1的前n项和为Sn,由(1)知an2n+1=2(2n+1)(2n-1)=12n-1-12n+1,则Sn=11-13+13-15+12n-1-12n+1=2n2n+1.3.解:(1)设等比数列bn的公比为q.由b1=1,b3=b2+2,可得q2-q-2=0.因为q0,所以可得q=2,故bn=2n-1.所以Tn=1-2n1-2=2n-1.设等差数列an的公差为d.由b4=a3+a5,可得a1+3d=4.由b5=a4+
5、2a6,可得3a1+13d=16,从而a1=1,d=1,故an=n,所以Sn=n(n+1)2.(2)由(1),有T1+T2+Tn=(21+22+2n)-n=2(1-2n)1-2-n=2n+1-n-2.由Sn+(T1+T2+Tn)=an+4bn,可得n(n+1)2+2n+1-n-2=n+2n+1,整理得n2-3n-4=0,解得n=-1(舍)或n=4.所以,n的值为4.4.解:(1)an-an-1=2n-1(n2,nN*),an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+(a2-a1)+a1,即an=2n-1+2n-2+2n-3+22+21+1,则an=1(1-2n)1-
6、2=2n-1.(2)bn=log2(an+1)=n,则1bnbn+1=1n(n+1)=1n-1n+1,Sn=11-12+12-13+13-14+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1.5.解:(1)证明:an=2n-11,an+1-an=2(n+1)-11-2n+11=2(nN*),数列an为等差数列.(2)由(1)得bn=|an|=|2n-11|,当n5时,bn=|2n-11|=11-2n,当n6时,bn=|2n-11|=2n-11.S10=55-2(1+2+3+4+5)+2(6+7+8+9+10)-55=50.6.解:(1)证明:设bn=a2n-32,则b1=a2-32=13a1+1-32
7、=-16,因为bn+1bn=a2(n+1)-32a2n-32=13a2n+1+(2n+1)-32a2n-32=13(a2n-6n)+(2n+1)-32a2n-32=13a2n-12a2n-32=13,所以数列a2n-32是以-16为首项,13为公比的等比数列.(2)由(1)得bn=a2n-32=-1613n-1=-1213n,即a2n=-1213n+32,由a2n=13a2n-1+(2n-1),得a2n-1=3a2n-3(2n-1)=-1213n-1-6n+152,所以a2n-1+a2n=-1213n-1+13n-6n+9=-213n-6n+9,故S2n=(a1+a2)+(a3+a4)+(a2n-1+a2n)=-213+132+13n-6(1+2+n)+9n=-2131-13n1-13-6n(n+1)2+9n=13n-1-3n2+6n=13n-3(n-1)2+2.7.解:(1)设等差数列an的公差为d,依题意有2a1+3d=8,a1+4d=3a1+3d,解得a1=1,d=2,从而数列an的通项公式为an=2n-1,nN*.(2)因为bn=2anan+1=12n-1-12n+1,所以Sn=11-13+13-15+12n-1-12n+1=1-12n+1.令1-12n+120172018,解得n1008.5,故使得Sn20172018的最小正整数为1009.资
