工程力学(静力学与材料力学)-7B-弯曲强度2(应力分析与强度计算)

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1、TSINGHUA UNIVERSITY 范钦珊教育教学工作室 FAN Qin Shan s Education Teaching Studio 范钦珊教育与教学工作室范钦珊教育与教学工作室 工程力学工程力学 静力学与材料力学静力学与材料力学 清华大学清华大学 范钦珊范钦珊 课堂教学软件课堂教学软件 7B 7B 返回总目录 TSINGHUA UNIVERSITY 第第7 7章章 梁的强度梁的强度 2 2 应力分析与强度计算应力分析与强度计算 工程力学工程力学 静力学与材料力学 静力学与材料力学 第二篇第二篇 材料力学材料力学 返回总目录 TSINGHUA UNIVERSITY 应用平衡原理可以确

2、定静定问题中梁弯曲时横截面上应用平衡原理可以确定静定问题中梁弯曲时横截面上 的剪力和弯矩 但剪力和弯矩只是杆件横截面上连续分布的剪力和弯矩 但剪力和弯矩只是杆件横截面上连续分布 内力的简化结果 因此 仅仅确定了剪力和弯矩并不能确内力的简化结果 因此 仅仅确定了剪力和弯矩并不能确 定横截面上各点内力的大小 因为在一般情形下 分布内定横截面上各点内力的大小 因为在一般情形下 分布内 力在各点的数值是不相等的 只有当内力在横截面上的分力在各点的数值是不相等的 只有当内力在横截面上的分 布规律确定之后 才能由内力分量确定杆件横截面上内力布规律确定之后 才能由内力分量确定杆件横截面上内力 在各点的数值

3、在各点的数值 怎样确定横截面上的内力分布规律呢 怎样确定横截面上的内力分布规律呢 第第7 7章章B B 弯曲强度弯曲强度 2 2 应力分析与强度计算应力分析与强度计算 TSINGHUA UNIVERSITY 应力是不可见的 但变形却是可见的 而且二者之间应力是不可见的 但变形却是可见的 而且二者之间 通过材料的物性关系相联系 因此 为了确定内力的分布通过材料的物性关系相联系 因此 为了确定内力的分布 规律 必须分析和研究杆件的变形 必须研究材料受力与规律 必须分析和研究杆件的变形 必须研究材料受力与 变形之间的关系 即必须涉及变形协调与物性关系两个重变形之间的关系 即必须涉及变形协调与物性关系

4、两个重 要方面 二者与平衡原理一起组成分析弹性体内力分布规要方面 二者与平衡原理一起组成分析弹性体内力分布规 律的基本方法律的基本方法 第第7 7章章B B 弯曲强度弯曲强度 2 2 应力分析与强度计算应力分析与强度计算 TSINGHUA UNIVERSITY 弯曲强度计算弯曲强度计算 弯曲剪应力分析弯曲剪应力分析 结论与讨论结论与讨论 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力 第第7 7章章B B 弯曲强度弯曲强度 2 2 应力分析与强度计算应力分析与强度计算 返回总目录 TSINGHUA UNIVERSITY 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力 第第7

5、 7章章B B 弯曲强度弯曲强度 2 2 应力分析与强度计算应力分析与强度计算 TSINGHUA UNIVERSITY 梁弯曲的若干定义与概念梁弯曲的若干定义与概念 纯弯曲时 梁横截面上正应力分析纯弯曲时 梁横截面上正应力分析 弯曲正应力公式的应用与推广弯曲正应力公式的应用与推广 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力 第第7 7章章B B 弯曲强度弯曲强度 2 2 应力分析与强度计算应力分析与强度计算 TSINGHUA UNIVERSITY 梁弯曲的若干定义与概念梁弯曲的若干定义与概念 对称面对称面 梁的横截面具有对称轴 所有相同的对 称轴组成的平面 称为梁的对称面 sym

6、metric plane 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力 第第7 7章章B B 弯曲强度弯曲强度 2 2 应力分析与强度计算应力分析与强度计算 TSINGHUA UNIVERSITY 主轴平面主轴平面 梁的横截面没有对称轴 但是都有通过横梁的横截面没有对称轴 但是都有通过横 截面形心的形心主轴 所有相同的形心主轴组成的平面 称截面形心的形心主轴 所有相同的形心主轴组成的平面 称 为梁的为梁的主轴平面主轴平面 plane plane including including principalprincipal axes axes 由于对称由于对称 轴也是主轴 所以对称面

7、也是主轴平面 反之则不然 轴也是主轴 所以对称面也是主轴平面 反之则不然 梁弯曲的若干定义与概念梁弯曲的若干定义与概念 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力 第第7 7章章B B 弯曲强度弯曲强度 2 2 应力分析与强度计算应力分析与强度计算 TSINGHUA UNIVERSITY 平面弯曲平面弯曲 所有外力 包括力偶 都作用于梁 的同一主轴平面内时 梁的轴线弯曲后将弯曲成平面曲 线 这一曲线位于外力作用平面内 这种弯曲称为平面 弯曲 plane bending 梁弯曲的若干定义与概念梁弯曲的若干定义与概念 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力 第第7

8、7章章B B 弯曲强度弯曲强度 2 2 应力分析与强度计算应力分析与强度计算 TSINGHUA UNIVERSITY 纯弯曲纯弯曲 一般情形下 平面弯曲时 梁的横截面上一 般将有两个内力分量 就是剪力和弯矩 如果梁的横截面上 只有弯矩一个内力分量 这种平面弯曲称为纯弯曲 pure bending 在纯弯曲情形下 由于梁的横截面上只有弯矩 因而便只有垂直于横截面的正应力 梁弯曲的若干定义与概念梁弯曲的若干定义与概念 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力 第第7 7章章B B 弯曲强度弯曲强度 2 2 应力分析与强度计算应力分析与强度计算 TSINGHUA UNIVERSITY

9、 横向弯曲横向弯曲 梁在垂直梁轴线的横向力作用下 其横截 面上将同时产生剪力和弯矩 这时 梁的横截面上不仅有正 应力 还有剪应力 这种弯曲称为横向弯曲 简称横弯曲 transverse bending 梁弯曲的若干定义与概念梁弯曲的若干定义与概念 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力 第第7 7章章B B 弯曲强度弯曲强度 2 2 应力分析与强度计算应力分析与强度计算 TSINGHUA UNIVERSITY 梁弯曲的若干定义与概念梁弯曲的若干定义与概念 梁的中性层与横截面的中性轴梁的中性层与横截面的中性轴 梁弯曲后 一些层 发生伸长变形 另一些则会发生缩短变形 在伸长层与缩

10、 短层的交界处那一层 既不发生伸长变形 也不发生缩短 变形 称为梁的中性层或中性面 neutral surface 中性 层与梁的横截面的交线 称为截面的中性轴 neutral axis 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力 第第7 7章章B B 弯曲强度弯曲强度 2 2 应力分析与强度计算应力分析与强度计算 TSINGHUA UNIVERSITY 分析梁横截面上的正应力 就是要确定梁横截面分析梁横截面上的正应力 就是要确定梁横截面 上各点的正应力与弯矩 横截面的形状和尺寸之间的上各点的正应力与弯矩 横截面的形状和尺寸之间的 关系 由于横截面上的应力是看不见的 而梁的变形关

11、系 由于横截面上的应力是看不见的 而梁的变形 是可见的 应力又和变形有关 因此 可以根据梁的是可见的 应力又和变形有关 因此 可以根据梁的 变形情形推知梁横截面上的正应力分布 变形情形推知梁横截面上的正应力分布 纯弯曲时 梁横截面上正应力分析纯弯曲时 梁横截面上正应力分析 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力 第第7 7章章B B 弯曲强度弯曲强度 2 2 应力分析与强度计算应力分析与强度计算 TSINGHUA UNIVERSITY 应力分布应力分布 应力公式应力公式 变变 形形应变分布应变分布 平面假定平面假定物性关系物性关系 静力方程静力方程 纯弯曲时 梁横截面上正应力

12、分析纯弯曲时 梁横截面上正应力分析 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力 第第7 7章章B B 弯曲强度弯曲强度 2 2 应力分析与强度计算应力分析与强度计算 TSINGHUA UNIVERSITY 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力 第第7 7章章B B 弯曲强度弯曲强度 2 2 应力分析与强度计算应力分析与强度计算 TSINGHUA UNIVERSITY 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力 第第7 7章章B B 弯曲强度弯曲强度 2 2 应力分析与强度计算应力分析与强度计算 TSINGHUA UNIVERSITY 如果用相邻的

13、两个横截 面从梁上截取长度为dx的一 微段 假定梁发生弯曲变形 后 微段的两个横截面仍然 保持平面 但是绕各自的中 性轴转过一角度 这一假定 称为平面假定 plane assumption 应用平面假定确定应变分布应用平面假定确定应变分布 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力 第第7 7章章B B 弯曲强度弯曲强度 2 2 应力分析与强度计算应力分析与强度计算 TSINGHUA UNIVERSITY 应用平面假定确定应变分布应用平面假定确定应变分布 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力 第第7 7章章B B 弯曲强度弯曲强度 2 2 应力分析与强度计算应

14、力分析与强度计算 TSINGHUA UNIVERSITY 在横截面上建立Oyz 坐标系 其中z 轴 与中性轴重合 中性轴的位置尚未确定 y 轴沿横截面高度方向并与加载方向重合 微段上到中性面的距离为y处长度的改 变量 即 式中的负号表示y坐标为正的线段产生压缩 变形 y坐标为负的线段产生伸长变形 应用平面假定确定应变分布应用平面假定确定应变分布 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力 第第7 7章章B B 弯曲强度弯曲强度 2 2 应力分析与强度计算应力分析与强度计算 TSINGHUA UNIVERSITY 将线段的长度改变量除以原长dx 即为 线段的正应变 于是得到 这就是

15、正应变沿横截面高度方向分布的数学 表达式 其中 应用平面假定确定应变分布应用平面假定确定应变分布 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力 第第7 7章章B B 弯曲强度弯曲强度 2 2 应力分析与强度计算应力分析与强度计算 TSINGHUA UNIVERSITY 其中 为中性面弯曲后的曲率半径 也就是 梁的轴线弯曲后的曲率半径 因为 与y坐标 无关 所以在上述二式中 为常数 应用平面假定确定应变分布应用平面假定确定应变分布 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力 第第7 7章章B B 弯曲强度弯曲强度 2 2 应力分析与强度计算应力分析与强度计算 TSING

16、HUA UNIVERSITY 应用弹性范围内的应力 应变关系的胡克定律 得到正应力沿横截面高度分布的数学表达式 式中C为待定的比例常数 即 其中E为材料的弹性模量 是待定的量 应用胡克定律确定横截面上的正应力分布应用胡克定律确定横截面上的正应力分布 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力 第第7 7章章B B 弯曲强度弯曲强度 2 2 应力分析与强度计算应力分析与强度计算 TSINGHUA UNIVERSITY 这表明 横截面上的弯曲正应 力 沿横截面的高度方向从中 性轴为零开始呈线性分布 应用胡克定律确定横截面上的正应力分布应用胡克定律确定横截面上的正应力分布 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力 第第7 7章章B B 弯曲强度弯曲强度 2 2 应力分析与强度计算应力分析与强度计算 TSINGHUA UNIVERSITY 这一表达式虽然给出了横 截面上的应力分布 但仍然不 能用于计算横截面上各点的正 应力 这是因为尚有两个问题 没有解决 一是y坐标是从中 性轴开始计算的 中性轴的位 置还没有确定 二是中性面的 曲率半径 也没有确定 应用胡克定律确