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1、函数的单调性与导数 习题课 1 在利用导导数讨论讨论 函数的单调单调 区间时间时 首先 要确定函数的定义义域 解决问题问题 的过过程中 只 能在定义义域内通过讨论导过讨论导 数的符号 来判断函 数的单调单调 区间间 2 在对对函数划分单调单调 区间时间时 除了必须须确定 使导导数等于零的点外 还还要注意定义义区间间内的 不连续连续 点或不可导导点 3 注意在某一区间间内f x 0 或f x 0时 y 0 函数在R上单调递增 2 当a 0时 y 0 函数在R上单调递减 3 当a 0时 y 0 函数在R上不具备单调性 点评 判断函数单调单调 性的方法有两种 1 利用函数单调单调 性的定义义 在定义
2、义域内任取x1 x2 且 x11 求证 x ln 1 x 点评 此类题的解题步骤一般是 首先构造函数 然后再采用求导的方法证明 利用函数的单调性证 明不等式也是证明不等式常用的方法 已知 x 0 求证证 x sinx 证明 设f x x sinx x 0 f x 1 cosx 0对x 0 恒成立 函数f x x sinx在 0 上是单调增函 数 又f 0 0 f x 0对x 0 恒成立 即 x sinx x 0 例5 f x 是f x 的导导函数 f x 的图图象如图图 所示 则则f x 的图图象可能是 答案 D 解析 由图可知 当b x a时 f x 0 故 在 a b 上 f x 为增函数
3、 且又由图知 f x 在区间 a b 上先增大后减小 即曲 线上每一点处切线的斜率先增大再减小 故选D 如图图所示 单单位圆圆中弧AB的长为长为 x f x 表示弧 AB与弦AB所围围成的弓形面积积的2倍 则则函数y f x 的图图象是 答案 D 三 解答题 已知函数f x x3 ax 1 1 若f x 在实数集R上单调递增 求实数a的取 值范围 2 是否存在实数a 使f x 在 1 1 上单调递减 若存在 求出a的取值范围 若不存在 说 明理由 3 证明f x x3 ax 1的图象不可能总在直线y a的上方 解析 1 由已知f x 3x2 a f x 在 上是单调递增函数 f x 3x2 a 0在 上恒成立 即a 3x2对x R恒成立 3x2 0 只需a 0 又a 0时 f x 3x2 0 f x x3 1在R上是增函 数 a 0 2 由f x 3x2 a 0在 1 1 上恒成立 得a 3x2 在x 1 1 恒成立 1 x 1 3x2 3 只需a 3 当a 3时 f x 3 x2 1 在x 1 1 上 f x 0 即f x 在 1 1 上为减函数 a 3 故存在实数a 3 使f x 在 1 1 上单调递减 3 证明 f 1 a 2 a f x 的图象不可能总在直线y a的上方 例3 方程根的问题 求证 方程 只有一个根
