《数学新攻略江苏专用大一轮课件：第三章 4-第四节 导数的综合问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学新攻略江苏专用大一轮课件：第三章 4-第四节 导数的综合问题（52页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引 第四节 导数的综合问题 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引总纲目录 解决优化问题的基本思路 教 材 研 读 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引总纲目录 考点一 导数在实际问题中的应用 考点二 导数在不等式中的应用 考 点 突 破 考点三 导数在函数零点问题中的应用 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引教材研读 解决优化问题的基本思路 优化问题 建立数学模型 用导数解决 数学问题 优化问题答案 教材研读 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引教材研读 1 函数f x x3 ax2 1在 4 4 上单调递增 则实数a的取值范围是 答案 a 0 解析
2、 由题意知f x 3x2 2ax 0在 4 4 上恒成立 当0 x 4时 a 恒成立 所以a x 4 4 所以a 0 当x 0时 a R 当 4 x0 其中e是自然对数的底数 若函 数y f x 与y f f x 有相同的值域 则实数a的最大值为 答案 2 解析 f x ex ax a 1 a 0 当x 1时 f x 1时 f x 0 f x 单调递增 又x f x f 1 所以y f x 的值域是 则函数y f f x 的值域为 则f x 的范围包含 1 即 1 所以 1 即a 2 则实数a的最大值为2 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 考点一 导数在实际问题中的应用 典例1
3、2018苏锡常镇四市高三教学情况调研 二 图 是一斜拉桥的 航拍图 为了分析大桥的承重情况 某研究小组将其抽象成图 所示的 数学模型 索塔AB CD均与桥面AC垂直 通过测量知两索塔的高度均为 60 m 桥面AC上一点P到索塔AB CD的距离之比为21 4 且 BPD 135 1 求两索塔之间的桥面AC的长度 2 研究表明索塔对桥面上某处的 承重强度 与多种因素有关 可简 考点突破 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 单抽象为某索塔对桥面上某处的 承重强度 与索塔的高度成正比 比例系数为正数a 且与该处到索塔的距离的平方成反比 比例系数为 正数b 问两索塔对桥面何处的 承重强度 之
4、和最小 并求出最小值 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 解析 1 设AP 21t m PC 4t m t 0 记 APB CPD 则tan tan 由tan tan 45 1 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 化简得7t2 125t 300 0 解得t 20或t 舍去 所以AC AP PC 25 20 500 m 答 两索塔之间的桥面AC的长度为500 m 2 设AP x m 点P处的 承重强度 之和为L x 则L x 60 且x 0 500 即L x 60ab x 0 500 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 记l x x 0 500 则l x 令l
5、 x 0 解得x 250 当x 0 250 时 l x 0 l x 单调递增 所以x 250时 l x 取得最小值 L x 也取得最小值 为 答 两索塔对桥面AC中点处的 承重强度 之和最小 且最小值为 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 方法技巧 生活中常遇到求利润最大 用料最省 效率最高 距离最短等一些实 际问题 这些问题通常称为优化问题 导数在解决这一类问题中有着重 要的作用 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 1 1 2019江苏苏锡常镇四市高三模拟 某单位将举办庆典活动 要在广 场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC 如
6、图 设计要求彩门的面积 为S 单位 m2 高为h 单位 m S h为常数 彩门的下底BC固定在广场地 面上 上底和两腰由不锈钢支架构成 设腰和下底的夹角为 不锈钢支架 的长度和记为l 1 请将l表示成关于 的函数l f 2 问当 为何值时l最小 并求最小值 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 解析 1 过D作DH BC于点H 则 DCB DH h 设AD x 单位 m 则DC CH BC x 因为S h 所以x 所以l f 2DC AD h 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 2 f h h 令f h 0 得 f 0 f 极小值 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考
7、点突破 所以lmin f h 答 1 l表示成关于 的函数为l f h 2 当 时 l有最小值 为 h 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 典例2 设函数f x ln x x 1 1 讨论f x 的单调性 2 证明 当x 1 时 1 1 证明 当x 0 1 时 1 c 1 x cx 考点二 导数在不等式中的应用 角度一 证明不等式 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 解析 1 由题设知 f x 的定义域为 0 f x 1 令f x 0 解得x 1 当0 x0 f x 单调递增 当x 1时 f x 0 f x 单调递减 2 证明 由 1 知f x 在x 1处取得最大值 最
8、大值为f 1 0 所以当x 1时 ln x x 1 故当x 1 时 ln x x 1 ln 1 即1 1 设g x 1 c 1 x cx 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 则g x c 1 cxln c 令g x 0 解得x0 当x0 g x 单调递增 当x x0时 g x 0 g x 单调递减 由 2 知1 c 故0 x0 1 又g 0 g 1 0 故当0 x0 所以当x 0 1 时 1 c 1 x cx 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 方法技巧 利用导数证明不等式成立问题的常用方法 1 直接将不等式转化成某个函数的最值问题 若证明f x g x x a b 则
9、可以构造函数F x f x g x 若F x 0 则F x 在 a b 上是减函数 同时 若F a 0 则由减函数的定义可知 x a b 时 有F x 0 即证明了f x 0 得x 令g x 0 得0 x0得x 即m x xln x在 上是增函数 可知h x 在区间 上是减函数 又h 1 0 所以当1 x 2时 h x 0 当 x0 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 即函数h x x x2ln x在区间 上单调递增 在区间 1 2 上单调递减 所以h x max h 1 1 所以a 1 即实数a的取值范围是 1 规律总结 已知不等式在某一区间上恒成立或有解 求参数的取值范围时 一
10、般将 问题转化为求函数的最值 先构造函数 再利用导数研究函数的单调 性 极值和最值 但常常需要对参数进行分类讨论 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 2 1 已知函数f x aln x 曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程 为y 2 1 求a b的值 2 当x 0且x 1时 求证 f x 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 解析 1 函数f x aln x 的导数为f x 由曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程为y 2 可得f 1 2b 2 f 1 a b 0 解得a b 1 2 证明 当x 1时 f x 即为ln x 1 ln x 即x 2ln x
11、 0 当0 x 即为x 2ln x1时 g x g 1 0 即有f x 当0 x 1时 g x 综上可得 当x 0且x 1时 f x 都成立 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 2 2 2019江苏五校高三模拟 已知函数f x ex 1 x ax2 1 当a 0时 求证 f x 0 2 当x 0时 若不等式f x 0恒成立 求实数a的取值范围 解析 1 证明 当a 0时 f x ex 1 x f x ex 1 当x 0 时 f x 0 故f x 在 0 上单调递减 在 0 上单调递增 故f x min f 0 0 f x 0 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 2 f
12、x ex 1 2ax 令h x ex 1 2ax 则h x ex 2a 令h 0 0 得2a 1 当2a 1 即a 时 在 0 上 h x 0 h x 单调递增 h x h 0 即f x f 0 0 f x 在 0 上为增函数 f x f 0 0 当a 时 满足条件 当2a 1 即a 时 令h x 0 解得x ln 2a 在 0 ln 2a 上 h x 0 h x 单调递 减 当x 0 ln 2a 时 有h x h 0 0 即f x f 0 0 f x 在区间 0 ln 2a 上为减函数 f x 0 上的最小值 2 若函数y f x 与y g x 的图象恰有一个公共点 求实数a的值 3 若函数
13、y f x g x 有两个不同的极值点x1 x2 x1ln 2 求实数 a的取值范围 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 解析 1 f x ln x 1 令f x 0 得x 当0 t0 则h x 1 x 2 x 1 易知h x 在 0 1 上单调递减 在 1 上单调递增 所以a h x min h 1 3 3 由题意得 y f x g x xln x x2 ax 2 则其导函数为y ln x 2x 1 a 由题意知y ln x 2x 1 a 0有两个不同的实根x1 x2 x1 x2 等价于a ln x 2x 1有两个不同的实根x1 x2 且x10 的图象有两个不同的交点 G x 2
14、 易知G x 在 上单调递减 在 上单调递增 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 画出函数G x 的大致图象 如图 由图象易知 当a G x min G ln 2时 x1 x2存在 且x2 x1的值随着a的增大而增大 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 而当x2 x1 ln 2时 有 两式相减可得ln 2 x2 x1 2ln 2 得x2 4x1 代入上述方程可解得x1 则x2 ln 2 此时实数a ln 2 ln 1 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 所以实数a的取值范围为a ln 2 ln 1 方法技巧 利用导数研究函数零点或方程根的方法 1 通过最值
15、极值 判断零点个数 借助导数研究函数的单调性 极值 后 通过极值的正负 函数的单调性判断函数图象的走势 从而判断零 点个数 2 数形结合法求解零点 对于方程解的个数或函数的零点个数问题 可 利用函数的值域或最值 结合函数的单调性 画出函数的大致图象 利用 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 数形结合思想求解 3 构造函数法研究函数零点 根据条件构造某个函数 利用导数确定函 数的单调区间 极值点 由极值 区间端点的函数值的正负确定函数的 零点个数 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 角度二 已知函数的零点个数 求参数的取值范围 典例5 已知f x ax2 a R g x
16、2ln x 1 讨论函数F x f x g x 的单调性 2 若方程f x g x 在区间 e 上有两个不相等的实根 求a的取值范 围 解析 1 F x ax2 2ln x 其定义域为 0 所以F x 2ax x 0 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 当a 0时 由ax2 1 0 得x 由ax2 1 0 得0 x0时 F x 在区间 上单调递增 在区间 上单调递减 当a 0时 F x 0 恒成立 故当a 0时 F x 在 0 上单调递减 2 由题意得a 在区间 e 上有两个不相等的实根 令 x x e 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 则 x 易知 x 在 上为增函数 在 e 上为减函 数 则 x max 而 e 由 e 0 所以 e 所以 x min e 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 由图可知当 x a有两个不相等的实根时 需 a 即f x g x 在 e 上有两个不相等的实根时a的取值范围是 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 规律总结 已知方程有解求参数的取值范围 可利用分离参数法转化为求函数的值 域问题 也可转化为求函数
