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1、实验小组：高有乾 陆茂斌考试试卷中的单项选择题博弈论导读：作为中国的高中学生，我相信我们已经经历过了无数次的单项选择题考验。那么你是否存在这样的疑问：在随机选择答案的情况下正确率有多大呢？不用担心，我们将为你解决这个问题。1.提出问题：在不知道正确答案的前提下面对一份单项选择题（假设题量足够大）采取两种方案，一种是随机乱写答案，另一种是有规律的写答案。那么这两种方案的适应性谁更强呢？2.术语指示：乱序数码：没有一般规律的答案组合，即每一项答案与前后答案无关联。 有序数码：存在一般性规律，即可以通过前几项的答案得到后面的答案。 混合数码：部分存在一般性规律，部分不存在。样本采集认为是乱序的。 适
2、应性： 在本文中指答题时的解决方案能获得更高的正确率。3.实验过程：我们首先准备了一份50道单项选择题的标准答案，其排序是完全随机的。接着让同学们在不看题目（相当于不会题目）的前提下单独填写50个答案。每个选择题有4个预备答案，其中有且只有一个是正确的。4.样本数据：计划采集样本50个，实际采集样本46个，追加特殊样本4个，总计50个有效样本。其中特殊样本分别是“连续选择A”、“连续选择B”、“连续选择C”与“连续选择D”。5.实验数据：以下是50个样本的分别正确个数：1511151115/15091512081508135014/13091213091310081510/1310111916
3、1614130750/12111319101319141315/1113121213 注意：数据中出现两个作弊样本！作弊样本不纳入下列的计算中。使用乱序数码的样本数（表格的左半侧）：25（有效23个）正确最大值：19个 正确最小值：07个 众数：15个 平均数：12.9个最大概率正确数：15个使用有序数码的样本数（表格的右半侧）：25（有效25个）正确最大值：19个 正确最小值：08个 众数：13个 平均数：12.4个最大概率正确数：13个6.理论分析：因为在这个事件中，每一项选择题都是独立的，不影响其他题目的选正确的概率，因此这个事件属于独立重复试验。我们采用二项分布算法来计算这个事件选对正
4、确答案个数最大值的概率。事件中共有50道互相独立的单项选择题，每一道选择题的正确率是0.25，设选中正确答案的次数为X，用数学语言可以描述为：已知XB（50，0.25），求X最有可能的值。解： P（X = k），k = 0，1，2，49，50.（50 + 1）0.25 k 12.75 k k取最大值为12。即得出结论：在这次事件中，选中12个正确答案的概率为最大！在忽略数据采集与处理过程中可能存在误差的前提下，通过分析理论计算与实际数据，我们得出下列结论：一、当面对完全不会做的单项选择题时（即正确率只有0.25，并且题目的数量必须是足够大），那么无论是有规律的书写答案（例如全部选择同一个选项，
5、或者以ABCD等有规律的组合作为周期做循环。）还是无规律的书写答案（这是最简单的做法，完全随机的填写答案。）都不会使你的正确率提高到很高的程度，这两种做法的正确次数只会在理论正确次数的上下有一小段波动。换言之，即便是有规律地填写答案，它的适应性也没有想象中的那么高。二、在50个样本中出现了2个作弊样本！他们的答案与标准答案完全是一样的。事后了解到，他们无意填写了我们事先准备的标准答案。经过数学概率论的初级计算，在完全随机的情况下完全做对50道题目的几率几乎为零，但是绝对不是零。如果假设样本基数足够大（例如全地球人70亿），那么出现这种情况也不足为奇。但是，面对这么低的几率，不要侥幸你会做到！7
6、.陆茂斌对于这个结论的解释：我认为，信息与不确定性是息息相关的，信息的作用就是消除不确定性。信息是指我们从客观世界获得的现象与本质，而不确定性就是我们对于未知事物的主观意识所不能到达的地方。举个例子，2010年举行了世界杯足球赛（32支球队），大家都很关心谁会是冠军。假如我错过了看世界杯，也就是世界杯冠军对于我而言是不确定性。假设我猜对冠军的概率为P（A）。赛后我问一个知道比赛结果的观众“哪支球队是冠军”？他不愿意直接回答我，只能让我猜，他只会说是与或不是。此时，如果我问“冠军在1-16号球队中吗？”，如果他说我猜对了，那么就相当于我引入了信息。这个信息（冠军在1-16号球队）消除了部分不确定
7、性（谁是世界杯的冠军？）。如果我继续问下去，相当于不断引入信息，那么P（A）的值会越来越大，直到等于1。我最终会得到正确的结果。事实上，在没有引入信息之前，不确定性就相当于是一个黑盒子，只有不断的引入信息，才能了解到黑盒子的内部结构。换言之，引入信息是消除系统不确定性的唯一办法。那么关于上面的单项选择题问题就不难理解了。在不看题目的前提下，同学们对于这个标准答案是不确定性，只有在看了题目并且掌握一定的学科知识的前提下（相当于上文所说的引入信息）才能正确的回答问题。如果没有信息，即没有任何一点学科知识，那么任何的组合或者数字的游戏都无法排除不确定性，这个朴素的结论非常重要。回头想想一开始提到的问
8、题中的两种方案，它们的前提都是没有学科知识，完全是瞎蒙乱猜，这对排除不确定性是没有任何帮助的。所以这里告诫各位同学，不要希望通过猜测来博取正确答案，只有脚踏实地，认真学习，打好基础才是真本领！全文到此结束！如果你很感兴趣，你可以继续往下面看课题延伸：信息的量与不确定性的关系。一条信息的信息量和它的不确定性有着直接的关系。比如说，我们要搞清楚一件非常非常不确定的事情，或是我们一无所知的事情，就需要了解大量的信息。相反，如果我们对某件事情已经有了比较多的了解，那么不需要太多的信息就能把它搞清楚。所以从这个角度看，可以认为，信息量就等于不确定性的多少。如何量化信息的量度呢？还是上面关于世界杯的例子。
9、在已经问了一次“冠军在1-16号球队中吗？”并且正确的前提下，继续问“冠军在1-8号球队中吗？”，如果他说我猜错了，我自然就会知道冠军在9-16号球队中。那么只需要问5次，我就能知道哪支球队是冠军了。如果他要求每问一次问题需要收1块钱，那么这个不确定性的信息量只有5块钱而已。但是我们知道某些国家例如西班牙、巴西、德国这样的球队获得冠军的可能性要比日本、中国、韩国、南非等球队大得多，所以，如果通过适当的组合，可能不需要5块钱就能找到冠军了。不用担心，信息论开山鼻祖香农博士为我们完美的解决这个问题。在信息通信领域，香农博士定义使用“比特”来量度信息量。上面的例子中信息量就是5比特。定义：一个不确定
10、性的信息量H满足下列等式H = （P1 * logP1 + P2 * logP2 + + Pn * logPn）（其中n指随机变量的总数，log函数的对数为2。）可以证明，如果每支球队获胜的概率相同，即P1=P2=P3=P32，对应的H值为5，还可以证明上述等式（当n=32时）的值是不大于5的。这个理论在计算机互联网搜索引擎也有很大的用处！网页搜索的本质就是从大量的（几十亿个）网页中，找到和用户输入的搜索词最相关的几十个网页。几十亿个可能性，当然是很大的不确定性咯，如果整个网络只有几个网页，那就几乎没有不确定性了，甚至是完全确定。因此，网页搜索本质上也是利用信息消除不确定性的过程。如果提供的信息不够多，比如搜索词是“中国”、“经济”之类的，那么就会有好多个相关的结果，用户可能无法选择，所以做好网页本身的质量信息是相关搜索的基础。
