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1、第6章 小波变换 压缩算法 主要内容 n小波变换用于图像压缩的理由 n傅里叶变换 n窗口傅里叶变换 n小波变换的原理 n小波变换实例 n小波变换与数据压缩 2 小波变换用于图像压缩的理由 n基于DCT Discrete Cosine Transform 的压 缩标准 nJPEG nMPEG 1 MPEG 2 H 264 nDCT 压缩的优点 n简单 便于硬件实现 3 小波变换用于图像压缩的理由 nDCT 压缩的缺点 n图像是分块处理 n沿块的边界方向相关性被破坏 出现 blocking artifacts 4 傅里叶变换 n信号表示 n多种方式信号的描述 例如一个函数表达式 这就是信号的时域表
2、示 n傅里叶变换 n1822年 傅里叶提出频率的概念 通过傅里叶正变换将信号在频 域分解 获得信号的频谱 再通过反变换重建原始信号 n频率仍然是傅里叶变换所定义 5 傅里叶变换 n傅里叶变换的特点 n具有频域准确定位 可分析信号能量在各个频域成分中的分布 情况 n最常用的 最广泛的信号分析工具 n并且相关的理论研究已发展为一个重要的数学分支 调和分 析 6 傅里叶变换 n傅里叶变换的不足 n缺乏时间 频率的定位功能 n不适于非平稳信号 n无法根据信号的特点自动调节时域和频域的分辨率 7 傅里叶变换的不足成为了推动寻找新变换的动力 窗口傅里叶变换 n窗口傅里叶变换 short time Four
3、ier transform n1946年Gabor提出了短时傅里叶变换的概念 从而开始了非平 稳信号的时频联合分析 8 窗口傅里叶变换 n窗口傅里叶变换 short time Fourier transform 9 窗口傅里叶变换 n窗口傅里叶变换 short time Fourier transform nGabor变换 时窗函数 Gauss函数时 n时窗函数的Fourier变换仍然是Gauss函数 保证了窗口傅立叶 变换在频域内也有局域化的功能 10 窗口傅里叶变换 n窗口傅里叶变换 short time Fourier transform n时窗 Time Window 11 窗口傅里叶
4、变换 n窗口傅里叶变换 short time Fourier transform n频窗 Frequency Window n时窗函数g t 的傅立叶变换 12 窗口傅里叶变换 n窗口傅里叶变换 short time Fourier transform n以上定义知 g t 和G 分别起着时窗和频窗的作用 在时间 频率坐标系中 时窗和频窗共同作用的结果就构成了时 频窗 这样就从几何上直观地描述了时频局部化 13 窗口傅里叶变换 n窗口傅里叶变换 short time Fourier transform n尽管窗式傅立叶变换能解决变换函数的局域化问题 但是 其 窗口的大小和形状是固定的 即窗口面
5、积不变 窗口没有自适应 性 n对于高频的信息 时间间隔要相对的小 更好地确定峰值和断 点 或者说需要用较窄的时域窗来反映信息的高频成分 n对于低频谱的信息 时间间隔要相对的宽才能给出完整的信号 信息 或者说必须用较宽的时域窗来反映信息的低频成分 14 小波变换原理 n小波变换的 wavelet transform 发展 n20世纪 80年代后期发展起来的小波变换理论 n它是继傅里叶 Joseph Fourier 分析后信号处理与分析的强大工 具 n无论是对古老的自然学科还是对新兴的高新技术应用学科都产 生了强烈冲击 n 小波理论是应用数学的一个新领域 要深入理解小波理论需要 用到比较多的数学知
6、识 n从工程应用角度出发 直观的方法来介绍小波变换及其应用 为读者深入研究小波理论和应用提供一些背景材料 15 小波变换原理 n小波变换的 wavelet transform 发展 n哈尔 Alfred Haar 对在函数空间中寻找一个与傅里叶类似的基非常感兴 趣 n1909年他发现了小波 1910年被命名为Haar wavelets n最早发现和使用了小波的名称 16 小波变换原理 n小波变换的 wavelet transform 发展 n20世纪70年代 当时在法国石油公司工作的年轻的地球物理学 家Jean Morlet提出了小波变换CWT continuous wavelet trans
7、form 的概念 n法国科学家Y Meyer创造性地构造出具有一定衰减性的光滑函数 用缩放 dilations 与平移 translations 均为 2的j次幂的倍数构 造了平方可积的实空间L2 R 的规范正交基 使小波得到真正的 发展 nS Mallat于1988年在构造正交小波基时提出了多分辨率分析 multiresolution analysis 的概念 从空间上形象地说明了小波的 多分辨率的特性 提出了正交小波的构造方法和快速算法 叫做 Mallat算法 nMallat算法地位相当于快速傅里叶变换在傅里叶分析中的地位 17 小波变换原理 n小波变换的 wavelet transfor
8、m 发展 n1988年 Inrid Daubechies 最先揭示了小波变换和滤波器组 filter banks 之间的内在关系 n20世纪90年代中期 Sweldens提出了小波变换提升方案 第二代小波变换 用于JPEG2000 n小波在信号 如声音信号 图像信号等 处理中得到极其广泛的 应用 18 小波变换原理 n小波变换的 wavelet transform 发展 n小波变换具有在不同尺度下保持时频分析窗口面积不变性质 n自动调节对信号分析的时宽和带宽 n被誉为信号分析的显微镜 19 小波变换原理 n连续小波变换 continuous wavelet transform n小波 Wave
9、let A small wave a ripple n就是小的波形 所谓小 就是它具有衰减性 是 存在于一个较小区域的波 20 小波变换原理 n连续小波变换变换 continuous wavelet transform n小波基函数 21 小波变换原理 n连续小波变换 continuous wavelet transform n小波正变换 n小波反变换 22 o标注 na scale variable 缩放因子 nb time shift 时间平移 o在CWT中 缩放和平移是连续变化的 小波变换原理 n连续小波变换 continuous wavelet transform n函数的伸缩 23
10、小波变换原理 n连续小波变换 continuous wavelet transform n小波函数的伸缩 24 小波变换原理 n连续小波变换 continuous wavelet transform 25 n时窗中心 小波 的时窗中心是其母函数 的时窗中心乘 倍再平移 个单位 n小波的 时窗宽度是其母函数 的时窗宽度的 倍 小波变换原理 n连续小波变换 continuous wavelet transform n小波的 频窗中心是其母函数 的频窗中心的 倍 n小波的 频窗宽度是其母函数 的频窗宽度的 倍 26 小波变换原理 n连续小波变换 continuous wavelet transfor
11、m n用较小 对信号做高频分析时 实际是用高频小波对信号进行 细致观察 n用较大 对信号做低频分析时 实际是用低频小波对信号进行 概貌观察 27 小波变换原理 n连续小波变换 continuous wavelet transform n部分小波波形 28 小波变换原理 n子带编码SBC subband coding n把信号的频率分成几个子带 然后对每个子带 分别进行编码 并根据每个子带的重要性分配 不同的位数来表示数据 n20世纪70年代 子带编码开始用于语音编码 n20世纪80年代中期开始在图像编码中使用 29 小波变换原理 n离散小波变换 30 图中的符号 表示频带降低1 2 HH表示频
12、率最高的子带 LL表示频率最低的子带 这个过程可以重复 直到符 合应用要求为止 这样的滤波器组称为分解滤波器树 decomposition filter trees 小波变换原理 n离散小波变换 n只有离散 小波变换才能应用 n离散的方式有很多 n离散小波变换的多分辨率分析 nMallat创立了多分辨率分析理论 n在多分辨率分析基础上 Mallat提出了基于滤波 器组实现信号的小波正变换和反变换算法 执行 离散小波变换的有效方法 31 小波变换原理 nMallat算法 n低通滤波器和高通滤波器构成双通道滤波 n原始的输入信号 S n两个互补的滤波器 nA表示信号的近似值 approximati
13、ons D表示信号的细节值 detail 32 小波变换原理 nMallat算法 n低通滤波器和高通滤波器构成小波分解树 n对低频分量连续分解 33 小波变换原理 nMallat算法 n小波包分解树 n对低频分量和高频分量均连续分解 34 小波变换原理 nMallat算法 n下采样过程 n原始信号的数据样本为1000个 通过滤波之后 每一个通道的数据均为1000个 总共为2000个 35 小波变换原理 nMallat算法 n下采样过程 n原始信号的数据样本为1000个 通过滤波之后 每一个通道的数据均为1000个 总共为2000个 36 小波变换原理 nMallat算法 n下采样过程 n原始信
14、号的数据样本为1000个 通过滤波之后 每一个通道的数据均为1000个 总共为2000个 37 小波变换原理 nMallat算法 n下采样过程 n原始信号的数据样本为1000个 通过滤波之后 每一个通道的数据均为1000个 总共为2000个 n图中的符号 表示下采样 38 小波变换实例 n一维哈尔小波变换 n哈尔函数定义 39 小波变换实例 n一维哈尔小波变换 n哈尔函数定义 n基函数 n一组线性无关的函数 以用来构造任意给定的 信号 40 小波变换实例 n一维哈尔小波变换 n哈尔基函数 n最简单的基函数 41 小波变换实例 n一维哈尔小波变换 n哈尔基函数 42 小波变换实例 n一维哈尔小波
15、变换 n尺度函数 n 尺度函数 n尺度函数张成的空间Vj nVj的基的个数为2j 43 小波变换实例 n一维哈尔小波变换 n小波函数 n 与尺度函数对应 n哈尔小波函数 n与哈尔函数相对应 44 小波变换实例 n一维哈尔小波变换 n小波函数 n 与尺度函数对应 n哈尔小波函数 n与哈尔函数相对应 n哈尔小波基函数 45 小波变换实例 n一维哈尔小波变换 n小波基函数构成的空间 W j 46 小波变换实例 n一维哈尔小波变换 n小波基函数构成的空间 W j 47 小波变换实例 n一维哈尔小波变换 n小波基函数构成的空间 W j 48 小波变换实例 n一维哈尔小波变换 n生成矢量空间W 2 的哈尔
16、小波基函数 49 小波变换实例 n一维哈尔小波变换 n生成矢量空间W 2 的哈尔小波基函数 50 小波变换实例 n一维哈尔小波变换 n生成矢量空间W 2 的哈尔小波基函数 51 小波变换实例 n一维哈尔小波变换 n实例 n图像 9 7 3 5 n像素个数 2j 22 4 nV2 中的哈尔基表示 52 小波变换实例 n一维哈尔小波变换 n实例 nV2 中的哈尔基表示的一般形式 n其中的系数 53 小波变换实例 n一维哈尔小波变换 n实例 n用V 0 W 0和W1中的函数表示图像 n生成空间V 0的哈尔基函数为 n生成空间W 0的哈尔小波基函数为 n生成矢量空间W1的哈尔小波基函数为 和 nI x 可表示成 54 小波变换实例 n一维哈尔小波变换 n实例 55 小波变换实例 n一维哈尔小波变换 n实例 56 小波变换实例 n一维哈尔小波变换 n实例 57 小波变换实例 n一维哈尔小波变换 n实例 58 小波变换实例 n一维哈尔小波变换 n实例 59 小波变换实例 n一维哈尔小波变换 n实例 n生成其中 4个系数 和 就是原始图像通 过哈尔小波变换所得到的系数 用来表示整幅图像 的平均值和不
