《天津市第一中学2015届高考数学导数的应用复习资料理（pdf） (1).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《天津市第一中学2015届高考数学导数的应用复习资料理（pdf） (1).pdf（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高三数学 理 第二学期 新课预习 第二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 1 8 第二学期 第二周第二学期 第二周 课程内容 导数的应用 2014 2015 学年 高三数学 理 第二学期 新课预习 第二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 2 8 本周将复习导数的应用 其中包括函数的单调性 可微函数的极值 函数的最大值和 最小值 这一单元首先在高一学过的函数单调性的基础上 给定判断可导函数增减性的方法 然 后展开对函数极值的讨论 由极值的意义 结合图象得到利用导数判别可导函数极值的方 法 最后 在可以确定函数极值的条件下 给出求可导函数的最大值与最小值的方法 并编 排了一些实际问
2、题 本单元的重点是可导函数极值的判定 通过判定可导函数的极值 可以使大家加深对 可导函数单调性与其导数的关系的认识 并且掌握了可导函数极值的判别法 再学习可导 函数最大 小 值的判定 就不成问题了 求一些实际问题的最大值与最小值是本部分的难点 这里关键是能根据实际问题 建立 适当的函数关系 通过本周的学习 同学们应做到以下几点 会从几何直观了解可微函数的单调性与其 导数的关系 掌握函数极值的定义 了解可微函数的极值点的必要条件和充分条件 会求 一些实际问题的最大值与最小值 1 函数的单调性 设 y f x 在区间 a b 可导 1 若对于任意 b a x 均有 f x 0 则 f x 是增函数
3、 2 若对于任意 b a x 均有 f x 0 则 f x 是减函数 3 若对于任意 b a x 均有 f x 0 则 f x 为常数 2 函数的极值 设函数 y f x 在点 x0 附近有定义 1 若对于 x0 附近所有的点 都有 f x f x0 则称 f x0 是函数 y f x 的一个极小值 记作 y 极小值 f x0 极大值与极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点 3 驻点 凡使f x 0 的点 即方程f x 0 有实根 都叫做函数 y f x 的驻点 4 奇异点 凡使导数f x 不存在的点 都叫做奇异点 5 可疑点 高三数学 理 第二学期 新课预习 第二周 天津市立思辰网络
4、教育有限公司 版权所有 3 8 驻点和奇异点统称为可疑点 即驻点和奇异点都是使函数 y f x 可能取极值的点 6 函数有极值的必要条件 设函数 y f x 在 x0 处有导数 且 y 极大值 f x0 或 y 极小值 f x0 则 f x 0 0 注意 函数的驻点不一定是极值点 如 f x x 3 的导数f x 3x 2 在 x 0 时为 0 即 x 0 是这个 函数的一个驻点 但显然它不是极值点 7 判别极值的方法 设函数在点 x0 处连续 1 若在 x0 左侧f x 0 右侧 f x 0 则 y 极大值 f x0 2 若在 x0 附近的左侧 f x 0 则 y 极小值 f x0 3 若在
5、点 x0 附近的左侧和右侧均有 f x 0 或 f x 1 时 0 y y 在 1 内是单调增函数 又 x 1 时 y 0 1 x 时 0 1 f x f 4 4 高三数学 理 第二学期 新课预习 第二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 5 8 1 3 2 0 1 3 2 x x x x 即 例 5 已知 x 1 求证 2x 3 9x 2 12x 2 1 证 设 f x 2x 3 9x 2 12x 2 1 则 2 1 6 12 18 6 2 x x x x x f 令 0 x f 则 x 1 2 x 1 2 2 2 y 0 y 极小 在区间 1 0 1 3 2 12 2 9 2 2 2
6、 2 3 f y 极小值 当 x 1 时 0 1 f 2 f x 即 f x 在 x 1 时 f x 最小值为 f 2 1 0 1 2 12 9 2 2 3 x x x 1 2 12 9 2 2 3 x x x 例 6 求函数 x e x f x 的极值 解 x e x f x 的定义域为 0 x x e x f x 2 2 1 令 0 x f 则 2 1 x 为驻点 对任意 0 2 0 0 x e x x x f 在 2 1 x 点从正变负 e f y 2 1 2 1 极大值 例 7 已知 c bx ax x y 3 3 2 3 在 x 2 有极值 它的图象在 x 1 点的切线平行于直线 6
7、x 2y 5 0 则 y 的极大值比 y 的极小值大多少 解 3 6 3 2 b ax x y 3 3 6 3 0 3 12 12 1 2 b a y b a y x x 即 2 2 4 4 b a b a 解之 0 1 b a 2 3 6 3 2 x x x x x f 令 0 x f 则驻点为 x 0 2 X 0 0 0 2 2 2 y 0 0 高三数学 理 第二学期 新课预习 第二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 6 8 Y 极大 极小 4 4 4 12 8 2 3 2 3 2 2 0 3 0 3 0 0 2 3 2 3 c c y y c c b a f y c b a f
8、y 极小值 极大值 极小值 极大值 y 的极大值比 y 的极小值大 4 例 8 求函数 f x x 2sinx 在区间 2 0 的极值 解 2 cos 2 1 T x x f 令 0 x f 则驻点为 2 0 3 4 3 2 x x x 3 2 0 3 2 3 4 3 2 3 4 2 3 4 y 0 0 y 极大 极小 3 3 2 3 2 sin 2 3 2 3 2 f y 极大值 3 3 4 3 4 sin 2 3 4 3 4 f y 极大值 说明 对可导函数求极值的步骤 求导数 x f 令 x f 0 求出 x f 的驻点 考察 x f 在驻点左右的符号 若 y 左正右负则取极大值 若左负
9、右正则取极小值 例 9 求函数 3 1 2 3 2 1 x x x f 在区间 2 2 上的最大值及最小值 解 x x x x f 2 1 3 1 3 2 3 2 2 3 1 1 0 1 1 3 2 3 2 2 3 1 3 4 3 2 2 x x x x x 令 0 x f 则驻点为 2 2 x 在点 x 0 1 处 x f 不存在 可解的极值点为 1 2 2 0 2 2 1 x f 为偶函数 只须计算 1 1 4 2 2 1 0 3 f f f 及端点的函数值 3 3 3 4 2 f 4 3 4 4 1 max 3 3 3 3 最大值 y 3 3 3 3 3 3 4 3 4 4 1 min
10、最小值 y 注 除驻点可能是极值点外 奇异点 即使 x f 不存在的点 也可能是极值点 例 10 求函数 10 x x y 的最大值和最小值 高三数学 理 第二学期 新课预习 第二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 7 8 解 10 0 10 5 10 2 10 2 x x x x x x x y 函数 10 x x y 的定义域为 10 0 x 令 0 y 则驻点为 x 5 f x 5 端点 x 0 x 10 的 函数值为 f 0 f 10 0 5 5 0 max 最大值 y 0 5 0 min 最小值 y 例 11 把一定长为a的铁丝分成两段 一段围成正三角形 另一段围成正六边形
11、为使它们的面 积之和最小 铁丝应怎样分法 解 设正三角形边长为 x 则正六边形边长为 3 6 1 x a 它们的面积和为 2 2 3 6 1 4 3 6 4 3 x a x S 0 6 15 24 3 3 6 24 3 2 2 2 2 a x a ax x x a x 5 4 3 6 30 24 3 a x a x S 令 0 S 则驻点为 5 a x x 5 0 a 5 a 5 a a S 0 S 极小 5 a x 为极小值点 此时 15 3 6 1 a x a x S 在 0 a 内可导 且有唯一的极小值 也是最小值 正三角形用去 5 3a 正六边形用去 5 2a 答 用长为 5 3a 的
12、一段做正三角形 用长为 5 2a 的一段做正六边形 例 12 设以 AB 2a为直径的半圆上有一点 P 如图所示 从 P 向 AB 引垂线 垂足为 Q 求 Q AP 绕 AB 旋转一周 所得立方体的最大值 解 设 AQ x 则 QB a 2 x PQ 2 x a 2 x 则所求旋转体的体积 2 3 1 2 x a x V 2 0 2 3 1 3 2 a x x ax 3 4 3 3 4 3 1 2 x a x x ax V 令 0 V 则驻点为 0 3 4 x a x A Q B P 高三数学 理 第二学期 新课预习 第二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 8 8 x 3 4 0 a
13、3 4a 2 3 4 a a V 0 V 极大 x V 在 2 0 a 内有唯一的极大值 当 3 4a x 时 也是最大值 81 32 3 4 2 3 4 3 1 3 4 3 2 a a a a a V V 最大值 例 13 一渔船停泊在距岸 9 公里处 今需派人送信给距渔船 34 3 公里处的海岸渔站 若送信 人步行每小时 5 公里 船速为每小时 4 公里 问应如何登岸再步行才可使抵达渔站的时间最 省 解 设登岸点选在距海岸渔站的 x 公里处 则乘船距离为 81 15 2 x 步行距离为 x 所用时 间为 0 5 1 81 15 1 15 2 2 1 4 1 15 0 5 4 81 15 2
14、 2 x x t x x x x t 令 0 t 即 81 15 4 15 5 2 x x 解之 x 3 X 0 3 3 3 15 t 0 T 极小 x t 在 15 0 x 只有唯一极小值点 也是最小值点 登岸点应选在距海岸渔站 3 公里处 高三数学 理 第二学期 巩固练习 第二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 2 10 一 选择题一 选择题 1 函数 f x xlnx x 0 5 下列判断正确的是 A 在 0 5 上是增函数 B 在 0 5 上是减函数 5 1 1 0 5 1 1 0 上是减函数 上是增函数 在 上是增函数 上是减函数 在 e e D e e C 2 已知函数 f
15、 x x 3 3x 2 9x 2 x0 是 f x 在此区间上为增函数的充要条件 在区间 a b 内 f x 0 是 f x 在此区间上为增函数的充分条件 在区间 a b 内 若 f x 0 则 f x 为常数 在区间 a b 内 f x 求 a 的值 证明 f x 在 0 上是增函数 6 设 f x ax 3 x 恰有三个单调区间 试确定 a 的取值范围 并求其单调区间 7 证明 当 x 0 时 x ln 1 x 5 2 8 3 2 的极值点与极值 求 x x y 9 求函数 y x 4 2x 2 5 在区间 2 2 上的最大值与最小值 10 某工厂需要围建一个面积为 512 平方米的矩形堆
16、料场 一边可以利用原有的墙壁 其它三 边需要砌建新的墙壁 问堆料场的长和宽各为多少时 才能使砌壁所用的材料最省 高三数学 理 第二学期 巩固练习 第二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 3 10 一 选择题一 选择题 1 对于函数 f x x 3 3x 2 给出命题 f x 是增函数 f x 是减函数 无极值 f x 是增函数的区间为 0 2 是减函数的区间为 0 2 f 0 0 是极大值 f 2 4 是极小值 其中正确的命题有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 2 已知 f x x 1 2 2 g x x 2 1 则 f g x A 在 2 0 上递增 B 在 0 2 上递增 上递增 在 上递增 2 0 0 2 D C 二 填空题二 填空题 5 1 3 3 2 极小值为 的极大值为 函数 x x f 4 设函数 f x x 3 3x 2 3mx 4 当 f x 取得极大值 5 时 m 三 解答题三 解答题 5 将数 8 分成两数之和 使其立方和最小 求这两个数 6 已知 x y 为正实数 且 x 2 2x 4y 2 0 求 xy 的最大值 7 已知函数 32 3
