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1、第 1 页 共 8 页 八年级数学全等三角形辅助线添加之截长补短 全等三角形 拔高练习 试卷简介 本讲测试题共两个大题 第一题是证明题 共7个小题 每小题10分 第二 题解答题 2个小题 每小题15分 学习建议 本讲内容是三角形全等的判定 辅助线添加之截长补短 其中通过截长补 短来添加辅助线是重点 也是难点 希望同学们能学会熟练通过截长补短来做辅助线 进 而构造出全等的三角形 一 解答题 共 1 道 每道20 分 1 如图 已知点C 是 MAN 的平分线上一点 CE AB 于 E B D 分别在 AM AN 上 且 AE AD AB 问 1 和 2 有何关系 答案 解 1 2 180 证明 过
2、点 C 作 CF AN 于点 F 由于 AC平分 NAM 所以 CF CE 则在 Rt ACF和 Rt ACE 中 ACF ACE HL AF AE 由于 2AE AD AB 所以 AB AE AF AD DF BE 在 CFD 和 CEB 中所 以 CFD CEB SAS 2 FDC 又 1 FDC 180 1 2 180 解题思路 见到角平分线就要想到作垂直 找到全等关系是解决此类问题的关键 易错点 找到三角形全等的所有条件 第 2 页 共 8 页 试题难度 四颗星知识点 三角形 二 证明题 共 8 道 每道10 分 1 如图 已知 ABC中 A 90 AB AC BE平分 ABC CE
3、BD 于 E 求证 CE BD 答案 延长 CE交 BA的延长线于点H 由 BE平分ABC BE CE 得 CE EH CH 又1 H 90 2 H 90 1 2 在 ACH和 ABD中 HAC DAB 90 AC AB 1 2 ACH ABD ASA CH BD CE CH BD 解题思路 根据题意 要证明CE BD 延长 CE与 BA 由题意的垂直平分线可得CE的两倍长CH 只 需证明 CH BD即可 很显然有全等可以证明出结论 易错点 不能正确利用题中已知条件BF平分 ABC CE BD 于 E 做出辅助线 进而解答 试题难度 三颗星知识点 全等三角形的判定与性质 2 如图 已知正方形A
4、BCD中 E为 BC边上任意一点 AF平分 DAE 求证 AE BE DF 第 3 页 共 8 页 答案 证明 延长CB到 M 使 BM DF 连结 AM 在 ADF和 ABM 中 ADF ABM SAS 1 3 M 4 由于 AB DC AF平分 EAD 所以 BAF 4 1 2 2 3 从而 MAE BAF 4 M AE ME BM BE DF BE AE BE DF 解题思路 本问题的关键是将DF 转移到与AE BE都有关的位置 运用等量代换解题 首 先补短 将 DF 移到 BE处 来证明 AE BM BE 而解决 AE BM BE 问题的关键是角度的转换 BAF 4 是关键 易错点 将
5、 DF进行合理的转化 试题难度 四颗星知识点 等腰三角形的性质 3 如图 已知四边形ABCD中 AD BC 若 DAB 的平分线AE 交 CD于 E 连结 BE 且 BE 恰好平分 ABC 判断 AB的长与 AD BC的大小关系并证明 第 4 页 共 8 页 答案 在 BA上截取 BF BC BE恰好平分ABC CBE FBE 又 BC BF BE BE BCE BFE C BFE 又 AD BC C D 180 而BFE AFE 180 AFE D 又 AE AE EAF EAD AEF AED AF AD AD BC AF BF AB 解题思路 要证明两条线段和等于一条线段 最常想到的是截
6、长补短法 截长 在BA 上截 取 BF BC或者在 AB上截取 AF AD 补短 延长BC至 G 使 BG BA 易错点 不会利用截长补短方法解题 试题难度 四颗星知识点 全等三角形的判定与性质 4 如图 在 ABC中 AB AC 1 2 P为 AD 上任意一点 求证 AB AC PB PC 答案 证明 在AB上截 AE AC 连接 PE 在 EAP和 CAP中 第 5 页 共 8 页 AE AC 1 2 AP AP EAP CAP SAS CP EP 在 BEP中 PB PE BE PE PC BE AB AE AB AC PB PCPB PC 解题思路 利用截长的方法 易错点 不能正确作出
7、辅助线 把零散的线段转化到一个三角形中 试题难度 三颗星知识点 三角形三边关系 5 如图所示 在 ABC中 1 2 B 2 C 求证 AC AB BD 答案 在边 AC上截取 AE AB 连接 DE 在 ABD与 AED中 ABD AED SAS BD DE B AED B 2 C AED 2 C 又 AED C CDE C CDE CE DE BD CE AC AE EC AB BD 解题思路 可以用截长法也可以用补短来解 易错点 遇到线段和等于另一线段时 没有联想到运用截长补短法证明 试题难度 四颗星知识点 三角形 6 如图 ABC中 ABC 60 AD CE分别平分 BAC ACB 判断
8、 AC的长与 AE CD的 大小关系并证明 第 6 页 共 8 页 答案 判断 AC AE CD 证明 令AD 与 CE的交点为G 在 AC上截取 AF AE 在 AEG和 AFG中 AEG AFG SAS AGE AGF ABC 60 BAC BCA 120 又 AD CE 分别为 BAC 和 BCA 的角平分线 所以 2 3 60 从而 AGE 60 于是 AGF AGE 60 CGD AGE 60 从 而 CGF 60 在 CGF 和 CGD中 CGF CGD CD CF 从而 AC AF CF AE CD 解题思路 看到两段不相干的线段与另一条线段的关系的题目一定要想到分解较长线段 分
9、 别证明相等 易错点 未将全部条件找全就使两个三角形全等 试题难度 四颗星知识点 三角形 7 如图 Rt ABC中 ACB 90 CD AB 于 D AF平分 CAB交 CD于 E 交 CB于 F 且 EG AB交 CB于 G 判断 CF与 GB 的大小关系并证明 第 7 页 共 8 页 答案 判断 CF GB 证明 过点F作 FH AB 于点 H 由于 AF平分 CAB 则在 ACF与 AHF 中 ACF AHF 则 CF FH 而 FH AB CD AB FH CD 从而 4 5 3 4 CF CE 从而 CE FH 又 EG AB 所以 6 B CEG CDB 90 则 CEG FHB
10、CG FB 故 CF BG 解题思路 找到全等关系是证明的关键 易错点 想到将线段转移 想不到全等 试题难度 四颗星知识点 三角形 8 ABC中 BAC 60 C 40 AP平分 BAC交 BC于 P BQ 平分 ABC交 AC于 Q 求 证 AB BP BQ AQ 第 8 页 共 8 页 答案 延长 AB到 E使 BE BP 连接 EP 则 AE AB BE AB BP ABC 180 BAC C 800 由 BQ平分 ABC AP平分 BAC 则 BAP PAC 30 ABQ CBQ 40 又因为 C 400 我们得到CQ BQ BQ AQ CQ AQ AC BE BP ABP 80 E 80 40 C 在 APE和 APC中 E C BAP CAP 30 AP AP APE APC AAS AE AP 即 AB BP BQ AQ 解题思路 见答案详解 易错点 正确作出辅助线 根据等量代换 把没有联系的线段转化为符合题目要求的线段 试题难度 三颗星知识点 全等三角形的判定与性质
