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1、数学竞赛题用编程来解决一）初级题1) 进位制转换,最好转化为函数来算，比方说编写函数c2to10（c为convert，表示转换，2to10表示二进制转化为十进制），依次也可以编写c2to8，c2to16，c10to2，c10to8，c10to16，c8to2，c8to10，c8to16。这里的话，只要编写c16to10，c10to16，c2to16，c16to2，c16to8，这几个函数具有代表性。请注意，最好是直接转换，除非是八进制转化为十六进制才需要调用别的函数，否则，尽量是本函数不调用任何函数实现进制转化。（还有，因为是进制转化，所以最好是参数类型设定为字符串型，输出也为字符串型。那么可
2、以趁此机会编写一个由数字转化为字符串和字符串转化为数字的函数）（见书中第1页，P1）2) 方程1/x+1/y=1/1988有多少组整数解。（可以进行展开为1988y+1988x=xy）（【结果是有89组解】。可以通过编程来显示每个解 ）（见书P13）3) 自然数的约数，求100的约数。（可以创建函数来求，void fn(int a,int s，int *n);参数a为被求的自然数，参数s存放每个约数，n表示约数个数（注意是指针型，必须传址，要求将结果返回）。（【结果是1，2，4，5，10，20，25，50，100】）4) 有100盏电灯，按自然数1-100编号，每盏电灯都有一根拉线开关。现按下
3、述规则将电灯拉开或熄灭：第一次，将全部电灯都熄灭；第二次，从第2号电灯开始，凡编号是2的倍数的电灯的开关都拉一下；第三次，从第3号电灯开始，凡编号是3的倍数的电灯的开关都一下；如此进行下去 ，直至第100次，将第100号电灯的开关拉下。问；这100次操作完成后，哪些电灯是开着的，哪些电灯是关着的。（用数组很好的求得）【结果是1、4、9、16、25、36、49、64、81、100这10盏灯熄灭，其余都亮着】5) 勾股数：求1000以内的勾股数对，如3*3+4*4=5*5（先求1000以内的，利用双重循环来求，因为1和2的平方加任何数平方都不可能某个整数的平方，因此循环从i=3开始，到1000为止
4、，j从i+1开始到1000为止）（求完1000平方，然后可以求1亿以内的勾股数对属于难度题，因为1亿的平方用任何类型都无法进行存储，因此涉及到数组存储数据的问题 ）（见书P18）6) 一口圆形大水塘周围有1988棵树桩，一只青蛙从某树桩开始沿逆时针方向跳跃，每跳一次就跳到下面第5棵树桩上。证明：从青蛙连续跳跃1988次后，又回到原来起跳的树桩上，而且在其余1987棵树桩上都恰好停留了一次。（1跳到5，跳到9，跳到13，跳到17）（利用数组，很容易得证，或者直接循环也能比较好的得证）（见书P37）7) 求适合下列条件的最小自然数n：（1）其个位数为6；（2）如果把个位数字6移到最前面，则所得的数
5、是原数的4倍。【结果是153846】当然，还更大的数也行。如：153846153846（见书P58）8) 设a,b都是整数，问方程 x2+10ax+5b+3=0有没有整数根（3的前面可以为加号或者减号，这里只求出是加号的情况），如果没有，请证明，如果有，a，b分别为多少，整数根为多少。每个量（a、b、x）只要在1000内循环即可。【答案是没有】（见书P58）9) 求出所有这样的平方数，使得除去它的最末两位数字（设每个数字均不为零）后得到的新数仍然是一个平方数。（如：196，441，961，1681等）（可以先求32767之内的数，然后推广到更大范围内的数）（见书P58）10) p是大于5的素数
6、，证明p2被30除后，余数必是1和19。（p=10000）。（见书P59）11) 两数之和为667，这两数的最大公约数去除最小公倍数的商为120，则此两数为？【答案是a=552,b=115或者a=115,b=552】(见书P62)12) 双曲线xy=2520所经过的整点个数为？请通过程序将它们依次显示。（这个问题其实很简单）【答案是有96个整数点】（见书P62）13) 若2836,4582,5164,6522，四个数都被同一正整数相除，所得余数相同，则除数q=?余数r=? 【结果是q=194,r=120】（见书62）14) 19983-19873+19863-19853+23-13被3除得的余
7、数是？【结果为1】（见书P63）15) 设N=695+5*694+10*693+10*692+5*69+1有多少正整数是N的因数？（编程很好求，但笔算呢？）【结果是216个正整数因子】（见书P63）16) 求一个四位数，使她的前面的两位数与后面的两位数之和的平方数等于这个四位数。【结果是3025，2025，9801】（见书P64）17) 不定方程3x+5y=1989有多少组正整数解。【答案是132组】（如果要你拿笔算呢，难度大把？）（见书P111）18) 再来一个难度更大的不定方程：9x+24y-5z=1000有多少个正整数解。（见书P112）19) 再来个二元方程：3x2-8xy+7y2-4
8、x+2y-109=0的整数解。【答案是（14，9）、（-10，-7）、（2，5）、（2，-3）】（见书P112）二）中级题20) 把自然数中所有数字都不大于5的数排成一排，求所有形成的递增数列中的第1989项。此序列是12345111213141521222324253132333435。【答案是13113】（见书P3）21) 把所有3的方幂及互不相等的3的方幂的和排成一个递增数列1，3，4，9，10，12，13，.求这个数列的第100项。（如1=30，3=31，4=31+30，9=32，10=32+30，12=32+31，13=32+31+30），【答案是981】（见书P4）22) 设m,n
9、是自然数，有一个长度，宽度各为m,n个单位的矩形OABC围墙，从O点出发的球在100时的结果，然后找出规律）【结果是当n=2a时，最后一张牌为原来的第n张牌，当n=2a+k时，最后一张牌是原来的第2k张牌】。（见书P24）24) 已知N=13xy45z（表示个位每位分别是1,3,x,y,4,5,z，如123表示1*100+2*10+3），能够被792整除，求x，y，z。【结果是x=8，y=0，z=6，N=1380456】（见书P28）25) 证明任意大于3的素数p的平方必可以表示为24n+1的形式。（证明p100000即可，而且24n+1的形式，也就是对24取余是1）（见书P30）26) 求2
10、43402的末尾两位数。（不必要将整个结果都求出来，因为只有后面两位有效，则每次的结果只要求保留后面两位即可）。【结果是49】（见书P35）27) 数11111哪种进位制中是一个完全平方数。（要编写一个能够将任何进制数，转换为十进制的函数。然后再判断此数是不是完全平方数）。（如220在八进制中就是完全平方数，因为（220）8=（144）10 ）【结果是三进制，因为（11111）3=（102）3*（102）3 】（见书P58）28) 求满足关系25 *ab= 25ab的数a及b（ab表示10*a+b，也就是十进制的ab，当然0=a=9,0=b=9）。【答案是a=9，b=2】（见书P58）29)
11、1987在b进制中可以写作 xyz ，且x+y+z=1+9+8+7，是确定所有可能的x,y,z,及b。（只要循环执行将1987转化为二进制，三进制，四进制。的操作，然后判断每位数的和是否为25即可）【答案是x=5，y=9，z=11，b=19】（见书P58）30) 求证：11，111，1111,11111，中没有平方数。证明在1亿以内都有效即可。（见书P58）31) 求出a2+b2=n!的所有解。这里a,b,n都为正整数，且a=b,n14.（n!是阶乘，表示1*2*3*。*n）【结果是n=6，a=12，b=24】（见书P59）32) 一个正整数如果用七进制表示为xyz ，如果用五进制表示为 zy
12、x ，则用十进制表示为？（可以求出x，y，z来，利用循环来求，并且结果应该是只有一组xyz能够符合，然后得出xyz后再转为十进制。【答案是51或 102，当为51时，七进制为102，五进制为201；当为102时，七进制为204，五进制为402】（见书P62） 33) (1988!)2的结果的末尾一共有连续的零多少个。（这个问题可以转化为求每个数有多少个5的问题，比方说，100就有2个5，125就有3个5，625就有4个5，乘上它后就能变成相应的0）【答案是998个0】（见书63）34) 有10个自然数的和为1001，则他们最大公因数的最大数是？（这是个很有趣的问题）【答案是91】（10个自然数
13、中有9个11，1个22，用数学推理很好求得，但用编程能否求得呢，因为是求最大的公因子，因此可以从大往小循环）（见书P63）35) 令x=0.123456789101112998999,其中数字都是由依次写下整数1到999得到的，则小数点右边第1988位的数字是？【答案是9】（见书P64）36) 如果一个完全平方数按8进制写出来是ab3c,其中a!=0，则c是？【结果是c=1】（见书P64）37) 设自然数n不是4的倍数。求证sn=1n+2n+3n+4n能被5整除。（证明n=4时都成立（n=1，2，3，4时）然后可以拓展为求n=10时都成立中级题，或者n=100时都成立高级题）38) 求方程2x
14、+3y=z2的一切整数解。【答案是（4，2，5）、（4，2，-5）】（如果让你笔算呢，是否能够得出结果）（见书P114）39) 将若干个黑白棋子放在圆周上进行调整：若相邻的两棋子同色，则在两子之间放一个黑子，若不同色，则在两子之间放一颗白子，都放完后将原来的棋子全部拿走，称为一次“调整”。求证：经过有限次“调整”后，圆周上的棋子都是黑子。（这里不要求证明，只要试行一个特殊情形就行：有15颗棋子，棋子分布是黑白黑白白白白黑白黑黑黑黑白白，问经过多少次“调整”能够使得圆周上的棋子都变成黑子）（见书P433）40) 再来一个比较有趣的：有限个儿童每人拿了一些糖围成一个圈，互相交换手中的糖。每次交换的方法如下：若某个小孩有奇数块糖，则由圈外的大人发给他一块，然后小孩之间开始交换糖了，每个小孩将手中的糖的一半分给右边的小孩，证明：一定可以经过有限次交换，使得每个儿童手中的糖数相同。（这里不需要证明，可以考虑特
