《高考数学总复习直通车课件----计数原理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学总复习直通车课件----计数原理（43页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数学直通车 计数原理 知识体系 第一节 两个基本计数原理 基础梳理 1 分类加法计数原理 加法原理 完成一件事有两类不同方案 在第1类方案中有m种不同的方法 在第2类 方案中有n种不同的方法 那么完成这件事共有N m n种不同的方法 2 分步乘法计数原理 乘法原理 完成一件事需要两个步骤 做第1步有m种不同的方法 做第2步有n种不 同的方法 那么完成这件事共有N m n种不同的方法 典例分析 题型一 分类加法计数原理和分步乘法计数原理的简单应用 例1 甲同学有若干本课外参考书 其中有5本不同的数学书 4本不 同的物理书 3本不同的化学书 现在乙同学向甲同学借书 试问 1 若借一本书 则有多少种
2、不同的借法 2 若每科各借一本 则有多少种不同的借法 3 若借两本不同学科的书 则有多少种不同的借法 分析 仔细区分是 分类 还是 分步 解 1 因为需完成的事情是 借一本书 所以借给他数学 物理 化学 书中的任何一本 都可以完成这件事情 故用分类加法计数原理 共有5 4 3 12 种 不同的借法 2 需完成的事情是 每科各借一本书 意味着要借给乙3本书 只有从 数学 物理 化学三科中各借一本 才能完成这件事情 故用分步乘法计 数原理 共有5 4 3 60 种 不同的借法 3 需完成的事情是 从三种学科的书中借两本不同学科的书 要分三种 情况 借一本数学书和一本物理书 只有两本书都借 事情才能
3、完成 由分步乘 法计数原理知 有5 4 20 种 借法 借一本数学书和一本化学书 同理由分步乘法计数原理知 有5 3 15 种 借法 借一本物理书和一本化学书 同理由分步乘法计数原理知 有4 3 12 种 借法 而上述的每一种借法都可以独立完成这件事情 由分类加法计数原理知 共有20 15 12 47 种 不同的借法 学后反思 正确区分和使用两个原理是学好本章的关键 区分 分类 与 分步 的依据在于能否 一次性 完成 若能 一次性 完成 则不需 分步 只需分类 否则就分步处理 举一反三 1 5位同学报名参加两个课外活动小组 每位同学限报其中的一个小组 则不同的报名方法共有 A 10种 B 20
4、种 C 25种 D 32种 解析 5位同学中 每位同学均有2种报名方法 所以由分步乘法计数原 理得 报名方法共有 32 种 答案 D 题型二 两个计数原理的综合应用 例2 12分 现有高一四个班学生34人 其中一 二 三 四班各7人 8人 9人 10人 他们自愿组成数学课外小组 1 选其中一人为负责人 有多少种不同的选法 2 每班选一名组长 有多少种不同的选法 3 推选二人作中心发言 这二人需来自不同的班级 有多少种不同的选 法 分析 1 是从四个班的34人中选一人 应分类求解 2 从各班中选一人 共选4人 应分步求解 3 是先根据不同班级分类 再分步从两个班级中各选1人 解 1 分四类 第一
5、类 从一班学生中选1人 有7种选法 第二类 从二 班学生中选1人 有8种选法 第三类 从三班学生中选1人 有9种选法 第 四类 从四班学生中选1人 有10种选法 所以 不同的选法共有 N 7 8 9 10 34 种 3 2 分四步 第一 二 三 四步分别从一 二 三 四班学生中选一人任 组长 所以 不同的选法共有N 7 8 9 10 5 040 种 6 3 分六类 每类又分两步 从一班 二班学生中各选1人 有7 8种不同 的选法 从一 三班学生中各选1人 有7 9种不同的选法 从一 四班学 生中各选1人 有7 10种不同的选法 从二 三班学生中各选1人 有8 9 种不同的选法 从二 四班学生中
6、各选1人 有8 10种不同的选法 从三 四班学生中各选1人 有9 10种不同的选法 10 所以 不同的选法共有N 7 8 7 9 7 10 8 9 8 10 9 10 431 种 12 学后反思 对于复杂问题 不能只用分类加法计数原理或分步乘法计数原 理解决时 可以综合应用两个原理 可以先分类 在某一类中再分步 也 可先分步 在某一步中再分类 举一反三 2 某通讯公司推出一组手机卡号码 卡号的前七位数字固定 从 0000 到 9999 共10 000个号码 公司 规定 凡卡号的后四位带有数字 4 或 7 的一律作为 优惠卡 则这组 号码中 优惠卡 的个数为 A 2 000 B 4 006 C
7、5 904 D 8 320 解析 10 000个号码中不含4 7的有 4 096 个 故这组号码中 优 惠卡 的个数为10 000 4 096 5 904 答案 C 例3 2009 沈阳模拟 一生产过程有4道工序 每道工序需要安排 一人照看 现从甲 乙 丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序 第一 道工序只能从甲 乙两工人中安排1人 第四道工序只能从甲 丙两工人 中安排1人 则不同的安排方案共有 A 24种 B 36种 C 48种 D 72种 分析 首先根据第一道工序将问题分为两类 对两类问题分别求解 再 由分步计数原理求解 解 依题意知 若第一道工序由甲来完成 则第四道工序必由丙来完成 故完
8、成方案共有4 3 12 种 若第一道工序由乙来完成 则第四道工序 必由甲 丙二人之一来完成 故完成方案共有1 2 4 3 24 种 所以 不同的安排方案共有12 24 36 种 学后反思 有些较复杂的问题 既要 分类 又要 分步 应明确按标准 分类 分步 不同的标准可以有不同的解法 解题时应择优而行 举一反三 3 2008 重庆 某人有4种颜色的灯泡 每种颜色的灯泡足够多 要 在如图所示的6个点A B C 上各装一个灯泡 要求同一条线段两 端的灯泡不同色 则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有种 用 数字作答 解析 处4种 处3种 处2种 则底面共4 3 2 24 种 根据点A 和点 两处
9、灯泡的颜色相同或不相同分为两类 1 若A 相同 则B处有3种 C处有1种 则共有3种 2 若A 不同 则A处有3种 B处有2种 C处有1种 则共有3 2 6 种 由分类计数原理得上底面共9种 再由分步计数原理得共有24 9 216 种 答案 216 易错警示 例1 植树节那天 四位同学植树 现有三棵不同的树 则不同的植法结 果为 A 3 B 4 C D 错解 C 错解分析 在利用分步计数原理解决此题时 不少同学搞错了事件的主体 这里应该是把树植完 对植的树分步 而不是对人分步 有很多同学分 四步 即得3 3 3 3 种 错选C 正解 完成这件事分三步 即第一步植第一棵树 共4种不同的方法 第二
10、步 植第二棵树 共4种不同的方法 第三步 植第三棵树 共4种 不同的方法 由分步计数原理得N 4 4 4 种 故选D 例2 在一次运动会上有4项比赛的冠军在甲 乙 丙三人中产生 那么不同的夺 冠情况种数为 A B C D 错解 把4个冠军排在甲 乙 丙三个位置上 故选A 错解分析 错解是没有理解乘法原理的概念 盲目地套用公式 正解 4项比赛的冠军依次在甲 乙 丙三人中选取 每项冠军都有3种选 取方法 由乘法原理共有3 3 3 3 种 故选C 说明 本题还有这样的错解 甲 乙 丙夺冠均有4种情况 由乘法原理得 这是由于没有考虑到某项冠军一旦被一人夺得后 其他人就不再有4种夺 冠可能 考点演练 1
11、0 某公共汽车上有10名乘客 要求在沿途的5个车站全部下完 乘客下车 的可能方式有 种 解析 由题意易知每名乘客都有5种不同的下法 依据乘法计数原理共 有 种 答案 11 改编题 由1 2 3 4可以组成多少个自然数 数字可以重复 最多只能是四位 解析 组成的自然数可分以下四类 第一类 组成一位自然数共有4个 第二类 组成二位自然数 可分两步来完成 先取十位上的数字 再取出 个位上的数字 共有4 4 16 个 第三类 组成三位自然数 可分三步来完成 先取百位 再取十位 最后 取个位 共有4 4 4 64 个 第四类 组成四位自然数 方法同上 共有4 4 4 4 256 个 由分类计数原理可组成
12、的不同自然数的个数为 4 16 64 256 340 12 用5种不同的颜色给图中4个区域涂色 每个区域涂一种颜色 若要求 相邻 有公共边 的区域不同色 那么共有多少种不同的涂色方法 解析 第一类 1号区域与3号区域同色时 有 5 4 1 4 80 种 涂法 第二类 1号区域与3号 区域异色时 有5 4 3 3 180 种 涂法 依据分 类加法计数原理知不同的涂色方法有80 180 260 种 第二节 排列组合 基础梳理 排列与排列数组合与组合数 定 义 1 排列的概念 从n个不同元 素中取出m m n 个元素 叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个排列 2 排列数的概念 从n个不同 元素中
13、取出m m n 个元素的 叫做从n个不 同元素中取出m个元素的排列数 用符号 表示 1 组合的概念 一般地 从n 个不同元素中取出m m n 个 元素 叫做从n个不 同元素中取出m个元素的一个 组合 2 组合数的概念 从n个不同 元素中取出m m n 个元素的 叫做从n个不同元素中取出m 个元素的组合数 用符号 表示 公 式 排列数公式 组合数公式 性 质 1 0 1 2 1 规定 备 注 m n N m n n n 1 2 1 典例分析 题型一 基本排列问题 例1 从班委会5名成员中选出3名 分别担任班级学习委员 文娱委 员与体育委员 其中甲 乙二人不能担任文娱委员 则不同的选法共有 种 用
14、数字作答 分析 先选甲 乙以外的人担任文娱委员 然后再选其他委员 解 先从其余3人中选出1人担任文娱委员 再从4人中选2人担任学习委员 和体育委员 3 3 4 3 36 种 学后反思 解决某些特殊元素不能排在某些特殊位置的排列问题 主要方 法是将这些特殊元素排在其他位置 或将其他非特殊元素排在这些特殊 位置来进行解决 举一反三 1 2008 全国 如图 一环形花坛分成A B C D四块 现有4种不 同的花供选种 要求在每块地里种1种花 且相邻的2块种不同的花 则 不同的种法总数为 A 96 B 84 C 60 D 48 解析 分三类 种两种花有 种种法 种三种花有2 种种法 种四种 花有 种种
15、法 故共有 2 84 种 答案 B 题型二 有限制条件的排列 例2 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照 要求排成一排 2位老人相邻但不排在两端 不同的排法共有 A 1 440种 B 960种 C 720种 D 480种 分析 解决本题的关键是将2位老人相邻捆绑 作为一个特殊元素排列 解 5名志愿者先排成一排 有 种方法 2位老人作为一组插入其中 且两位老人有左右顺序 共有2 4 960 种 不同的排法 学后反思 解决要求几个元素相邻的问题 一般是将这几个元素进行捆 绑看成一个 元素 参与排列 然后这个 元素 的内部再进行排列 举一反三 2 从5位同学中选派4位同学在星期五 星期六 星期
16、日参加公益活动 每 人一天 要求星期五有2人参加 星期六 星期日各有1人参加 则不同的 选派方法共有 A 40种 B 60种 C 100种 D 120种 解析 星期五有2人参加 则从5人中选2人的组合数为 星期六和星期 天从剩余的3人中选2人进行排列 有 种 则共有 60 种 答案 B 题型三 基本组合问题 例3 12分 男运动员6名 女运动员4名 其中男女队长各1名 选派5 人外出比赛 在下列情形中各有多少种选派方法 1 男运动员3名 女运动员2名 2 至少有1名女运动员 3 队长中至少有1人参加 4 既要有队长 又要有女运动员 分析 1 分步 2 可分类也可用间接法 3 可分类也可用间接法 4 分类 解 1 第一步 选3名男运动员 有 种选法 第二步 选2名女运动员 有 种选法 共有 120 种 选法 3 2 方法一 至少有1名女运动员 包括以下几种情况 1女4男 2女3男 3女2男 4女1男 由分类加法计数原理可得总选法数为 6 方法二 至少有1名女运动员 的反面为 全是男运动员 可用间接法求解 从10人中任选5人有 种选法 其中全是男运动员的选法有 种 所以 至少有1名女运动员
