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1、河北省2020年全国高中数学联合竞赛预赛试题（河北卷）2020年河北省高中数学竞赛试题参考解答与评分标准说明：本试卷分为A卷和B卷：A卷由本试卷的2题组成，即10道选择题，7道填空题、3道解答题和2道附加题；B卷由本试卷的前20题组成，即10道选择题，7道填空题和3道解答题。一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）1. 已知，则可化简为（ D ）A B. C. D. 解答：因为，所以= 。正确答案为D。2如果复数的模为4，则实数a的值为（ C ）2 B. C. D. 解答：由题意得。正确答案为C。3
2、. 设A ，B为两个互不相同的集合，命题P：， 命题q：或，则p是q的（ B ）A. 充分且必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 非充分且非必要条件解答：P是q的充分非必要条件。正确答案为B。4. 过椭圆的右焦点作倾斜角为弦AB，则为（ C ）A. B. C. D. 解答：椭圆的右焦点为（1，0），则弦AB为代入椭圆方程得。正确答案为C。5. 函数，则该函数为（ A ）单调增加函数、奇函数 B. 单调递减函数、偶函数C. 单调增加函数、偶函数 D. 单调递减函数、奇函数解答：由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。正确答案为A。6. 设有一立体的三视图如下，则该立
3、体体积为（ A ） 正视图 侧视图 俯视图（圆和正方形）A. 4+ B. 4+ C. 4+ D. 4+解答：该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分（），所以该几何体的体积为。正确答案为A。7某程序框图如右图所示，现将输出（值依次记为：若程序运行中输出的一个数组是 则数组中的（ B ） A64 B32 C16 D8答案 经计算。正确答案为 B。8. 在平面区域上恒有，则动点所形成平面区域的面积为（ A ）A. 4 B.8 C. 16 D. 32解答：平面区域的四个边界点（1，1），（1，1），（1，1），（1，1）满足，即有由此计算动点所形成平面区域的面积为4。正确答案为 A。9
4、. 已知函数在上有两个零点，则m的取值范围为（ C ）A. B C. D. 解答：问题等价于函数与直线在上有两个交点，所以m的取值范围为。正确答案为C。10. 已知，则的解为（ C ）A. 或 B. 或 C. 或 D. 解答：不等式的左端看成的一次函数，由或。正确答案为C。二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分）11. 函数的最小正周期为_4_。解答：最小正周期为4。12. 已知等差数列前15项的和=30，则=_6_.解答：由，而。13. 向量，则的取值范围为 1，3 。解答： = ，其最大值为3，最小值为1，取值范围为1，3。14. 直三棱柱，底面是正
5、三角形，P，E分别为，上的动点（含端点），D为BC边上的中点，且。则直线的夹角为_。解答：因为平面ABC平面，ADBC，所以AD平面，所以ADPE，又PEPD，PE平面APD，所以PEPD。即夹角为。15设为实数，则_4_。解答：16. 马路上有编号为1，2，3，2020的2020只路灯，为节约用电要求关闭其中的300只灯，但不能同时关闭相邻两只，也不能关闭两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有_种。（用组合数符号表示）解答：问题等价于在1711只路灯中插入300只暗灯，所以共有种关灯方法。17. 设为整数，且，则_3或57_。 解答：将代入 得到，因为都是整数，所以前两个方程组无解；后两个方程
6、组解得。所以3或57。三、题（本大题共 小题，每小题 分，共计 分），求在上的最大值和最小值。解答：当 当 - 5分 由此可知 。 - 10分当；当；当。 - 17分19. 给定两个数列，满足， 。证明对于任意的自然数n，都存在自然数，使得 。 解答：由已知得到：为等比数列，首项为2，公比为2， 所以。 - 5分又由已知，由， 所以取即可。 - 17分 20. 已知椭圆，过其左焦点作一条直线交椭圆于A，B两点，D为右侧一点，连AD、BD分别交椭圆左准线于M,N。若以MN为直径的圆恰好过 ，求 a的值。 解答：。设，由 得-10分设。由M、A、D共线。又，得=整理得 。-17分四、题（本大题共 小题，每小题5 分，共计 50 分），设在其内部同时满足和的点P的全体形成的区域G的面积为三角形ABC面积的。证明三角形ABC为等边三角形。解答：做的外接圆O，做则G为四边形AEOF。又所以。 -10分，等号成立当且仅当A、O、M共线，即为等边三角形。 -25分设，且。求证： ，并指明等号成立的条件。证明：由柯西不等式 得到 （1）-10分（1）式右边的分子=。 -20分等号成立条件是。结论成立。 -25分DMBOFECA221221322
