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1、江西省安福中学2020学年高二（课改班）上学期第二次月考数学试题2020.12.5一选择题（本大题共有10个小题，每小题5分，共50分.）1.下列求导运算正确的是（ ）A(x+ B(log2x)= C(3x)=3xlog3e D (x2cosx)=-2xsinx 2观察下列各式：112，23432，3456752，4567891072，可以得出的一般结论是An(n1)(n2)(3n2)n2Bn(n1)(n2)(3n2)(2n1)2Cn(n1)(n2)(3n1)n2Dn(n1)(n2)(3n1)(2n1)2是平面，给出下列命题：若；若；若；若a与b异面，且相交；若a与b异面，则至多有一条直线与a
2、，b都垂直。其中真命题的个数是（ ）A1B2C3D44如图，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率eABC1D1 BC D6若命题“存在xR,2x23ax90”为假命题，则实数a的取值范围是A. 22 B. 22 C. D.(22)7如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,P是侧面BB1C1C内一动点,若P到直线BC与直线C1D1的距离相等则动点P的轨迹所在的曲线是A直线 B圆C抛物线D双曲线的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是（ ）A3B2C1D09已知P（x,y)是直线上一动点，P
3、A，PB是圆C：的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则的值为（ ）若在曲线f（x，y）=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0的“自公切线”。下列方程：；，；对应的曲线中存在“自公切线”的有（ ）AB。CD设p：|4x3|1；q：(xa)(xa1)0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_13设00)上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA，MB，切点分别为A,B（）当M的坐标为（0，l）时，求过M，A，B三点的圆的标准方程，并判断直线l与此圆的位置关系；）当m变化时，试探究直线l上是否存在点M，使MA MB若存在，有几个这样的点，若不
4、存在，请说明理由21（本小题14分）已知椭圆上任一点P，由点P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，点M在PQ上，且，点M的轨迹为C.求曲线C的方程；过点D（0，2）作直线l与曲线C交于A、B两点，设N是过点且轴的直线上一动点，满足（O为原点），问是否存在这样的直线l， 使得四边形OANB为矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在说明理由(x+ B(log2x)= C(3x)=3xlog3e D (x2cosx)=-2xsinx （2）观察下列各式：112，23432，3456752，4567891072，可以得出的一般结论是()An(n1)(n2)(3n2)n2Bn(n1)(n2)(3n2)(2n1)
5、2C n(n1)(n2)(3n1)n2Dn(n1)(n2)(3n1)(2n1)2是平面，给出下列命题：若；若；若；若a与b异面，且相交； 若a与b异面，则至多有一条直线与a，b都垂直. 其中真命题的个数是( A )A1B2C3D4(4)如图，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e()A.B.C.1D.1(5)如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是 ( D )ABCD(6)若命题“存在xR,2x23ax
6、90”为假命题，则实数a的取值范围是22 . B. 22 C. D.(22)(7)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,P是侧面BB1C1C内一动点,若P到直线BC与直线C1D1的距离相等,则动点P的轨迹所在的曲线是A 直线 B 圆C线D线的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是( B )A3B2C1D0(9)已知P（x,y)是直线上一动点，PA，PB是圆C：的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则的值为（ D ） A.3 B. C. D.2(10)若在曲线f（x，y）=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0的“自公切线”。下列
7、方程：；，；对应的曲线中存在“自公切线”的有（ C ）AB。CD 设p：|4x3|1；q：(xa)(xa1)0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_俯视图（13）设00，将点C(7,9)代入z得最大值为21.(4分)(2)zx2y210y25x2(y5)2表示可行域内任一点(x，y)到定点M(0,5)的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，故z的最小值是|MN|2.(8分)(3)z2表示可行域内任一点(x，y)与定点Q连线的斜率的两倍，因此kQA，kQB，故z的范围为.(12分)(12分)的图象过点P（0,2）,且在点M处的切线方程为. （）求函数的解析式；（）
8、求函数的单调区间.解：（）由的图象经过P（0，2），知d=2，所以由在处的切线方程是，知故所求的解析式是 （）解得 当当故内是增函数，在内是减函数，在内是增函数.18. (12分) 设数列an的前n项和为Sn，且方程x2anxan0有一根为Sn1，n1,2,3，.(1)求a1，a2；(2)猜想数列Sn的通项公式，并给出严格的证明解：(1)当n1时，x2a1xa10有一根为S11a11，于是(a11)2a1(a11)a10，解得a1.当n2时，x2a2xa20有一根为S21a2，于是2a2a20，解得a2.(2)由题设知(Sn1)2an(Sn1)an0，即S2n2Sn1anSn0.当n2时，an
9、SnSn1，代入上式得Sn1Sn2Sn10.(*)由(1)得S1a1，S2a1a2.由(*)式可得S3.由此猜想Sn，n1,2,3，.下面用数学归纳法证明这个结论n1时已知结论成立假设nk(kN*)时结论成立，即Sk，当nk1时，由 (*)得Sk1，即Sk1，故nk1时结论也成立综上，由、可知Sn对所有正整数n都成立(12分)S-ABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点.（）证明：ACSB；（）求二面角N-CM-B的大小；（）求点B到平面CMN的距离. 解法一：（）取AC中点D，连结SD、DB.SA=SC，AB=BC，ACSD且A
10、CBD，AC平面SDB，又SB平面SDB，ACSB.（）AC平面SDB，AC平面ABC，平面SDB平面ABC.过N作NEBD于E，NE平面ABC，过E作EFCM于F，连结NF，则NFCM.NFE为二面角N-CM-B的平面角.平面SAC平面ABC，SDAC，SD平面ABC.又NE平面ABC，NESD.SN=NB，NE=SD=，且ED=EB.在正ABC中，由平几知识可求得EF=MB=，在RtNEF中，tanNFE=2，二面角N-CM-B的大小是arctan2.（）在RtNEF中，NF=，SCMN=CMNF=，SCMB=BMCM=2.设点B到平面CMN的距离为h，VB-CMN=VN-CMB，NE平面
11、CMB，SCMNh=SCMBNE，h=.即点B到平面CMN的距离为.解法二：（）取AC中点O，连结OS、OB.SA=SC，AB=BC，ACSO且ACBO.平面SAC平面ABC，平面SAC平面ABC=ACSO面ABC，SOBO.如图所示建立空间直角坐标系O-xyz.则A（2，0，0），B（0，2，0），C（-2，0，0），S（0，0，2），M(1，0)，N(0，).=（-4，0，0），=（0，2，2），=（-4，0，0）（0，2，2）=0，ACSB.（）由（）得=（3，0）=（-1，0，）.设n=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，则 n=3x+y=0， 取z=1，则x=，y=-，n=(，-
12、，1)，n=-x+z=0， 又=(0，0，2)为平面ABC的一个法向量， cos(n，)=.二面角N-CM-B的大小为arccos.（）由（）（）得=（-1，0），n=（，-，1）为平面CMN的一个法向量，点B到平面CMN的距离d=.20. (13分)设抛物线C的方程为x2 =4y，M为直线l：y=m(m0)上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA，MB，切点分别为A,B（）当M的坐标为（0，l）时，求过M，A，B三点的圆的标准方程，并判断直线l与此圆的位置关系； ()当m变化时，试探究直线l上是否存在点M，使MA MB?若存在，有几个这样的点，若不存在，请说明理由，设过M点的切线方程为，代入，整理得，令，解得，代入方程得，故得，.因为M到AB的中点(0，1)的距离为2，从而过三点的圆的标准方程为易知此圆与直线l：y=-1相切. （6分）（）设切点分别为、，直线l上的点为M ，过抛物线上点的切线方程为，因为， ，从而过抛物线上点的切线方程为，又切线过点，所以得，即.同理可得过点的切线方程为，（8分）因为，且是方程的两实根，从而，所以，当，即时，直线上任意一点M均有MAMB，（10分）当，即m1时，MA与MB不垂直.综上所述，当m=1
