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1、知识高中数学必修2_第一章空间几何体知识点总结与练习第一节空间几何体的结构特征及三视图和直观图知识能否忆起一、多面体的结构特征多面体结构特征棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个面的交线都平行且相等棱锥有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形棱台棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分二、旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形任一边所在的直线圆锥直角三角形一条直角边所在的直线圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线球半圆直径所在的直线三、简单组合体简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，有多面体与
2、多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体四、平行投影与直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x轴、y轴的夹角为45(或135)，z轴与x轴和y轴所在平面垂直(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半五、三视图几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线1.正棱柱与正棱锥(1)底面是正多边形的直棱柱，叫正棱柱，注意正棱柱中“正”字包含两层含义：侧棱垂直于底面；底面
3、是正多边形(2)底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫正棱锥，注意正棱锥中“正”字包含两层含义：顶点在底面上的射影必需是底面正多边形的中心，底面是正多边形，特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体2对三视图的认识及三视图画法(1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形(2)在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线(3)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体用平行投影画出的轮廓线3对斜二测画法的认识及直观图的画法(1)在斜二测画法
4、中，要确定关键点及关键线段，“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半”(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：S直观图S原图形，S原图形2S直观图空间几何体的结构特征典题导入例1(2012哈师大附中月考)下列结论正确的是()A各个面都是三角形的几何体是三棱锥B以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等，则该棱锥可能是六棱锥D圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线自主解答A错误，如图1是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，它的各个面
5、都是三角形，但它不是三棱锥；B错误，如图2，若ABC不是直角三角形，或ABC是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥； 图1图2C错误，若该棱锥是六棱锥，由题设知，它是正六棱锥易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长，这与题设矛盾答案D由题悟法解决此类题目要准确理解几何体的定义，把握几何体的结构特征，并会通过反例对概念进行辨析举反例时可利用最熟悉的空间几何体如三棱柱、四棱柱、正方体、三棱锥、三棱台等，也可利用它们的组合体去判断以题试法1(2012天津质检)如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是()A等腰四棱锥的腰与底面所成的角都
6、相等B等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上解析：选B如图，等腰四棱锥的侧棱均相等，其侧棱在底面的射影也相等，则其腰与底面所成角相等，即A正确；底面四边形必有一个外接圆，即C正确；在高线上可以找到一个点O，使得该点到四棱锥各个顶点的距离相等，这个点即为外接球的球心，即D正确；但四棱锥的侧面与底面所成角不一定相等或互补(若为正四棱锥则成立)故仅命题B为假命题几何体的三视图典题导入例2(2012湖南高考)某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是()自主解答根据几何体的三视图知识求解由于该几何体的正视
7、图和侧视图相同，且上部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚线，因此俯视图不可能是C.答案C由题悟法三视图的长度特征三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽，即“长对正，宽相等，高平齐”注意画三视图时，要注意虚、实线的区别以题试法2(1)(2012莆田模拟)如图是底面为正方形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图，那么该四棱锥的直观图是下列各图中的()解析：选D由俯视图排除B、C；由正视图、侧视图可排除A.(2)(2012济南模拟)如图，正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长均为2，其正视图如图所示，则此三棱柱侧视图的面积为()A2B4C. D2解析：选D依题意，得此三棱
8、柱的左视图是边长分别为2，的矩形，故其面积是2.几何体的直观图典题导入例3已知ABC的直观图ABC是边长为a的正三角形，求原ABC的面积自主解答建立如图所示的坐标系xOy，ABC的顶点C在y轴上，AB边在x轴上，OC为ABC的高把y轴绕原点逆时针旋转45得y轴，则点C变为点C，且OC2OC，A，B点即为A，B点，长度不变已知ABACa，在OAC中，由正弦定理得，所以OC a a，所以原三角形ABC的高OCa.所以SABCaaa2.由题悟法用斜二测画法画几何体的直观图时，要注意原图形与直观图中的“三变、三不变”“三变”“三不变”以题试法3如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45，腰和
9、上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是()A2B.C. D1解析：选A恢复后的原图形为一直角梯形S(11)22.第二节空间几何体的表面积和体积知识能否忆起柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱S侧2rlVShr2h圆锥S侧rlVShr2hr2圆台S侧(r1r2)lV(S上S下)h(rrr1r2)h直棱柱S侧ChVSh正棱锥S侧ChVSh正棱台S侧(CC)hV(S上S下)h球S球面4R2VR31.几何体的侧面积和全面积：几何体侧面积是指(各个)侧面面积之和，而全面积是侧面积与所有底面积之和对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行2求体积时应注意的几点：(1)求一些不规则几何体
10、的体积常用割补的方法转化成已知体积公式的几何体进行解决(2)与三视图有关的体积问题注意几何体还原的准确性及数据的准确性3求组合体的表面积时注意几何体的衔接部分的处理几何体的表面积典题导入例1(2012安徽高考)某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是_自主解答由几何体的三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱(如图所示)在四边形ABCD中，作DEAB，垂足为E，则DE4，AE3，则AD5.所以其表面积为2(25)42445454492.答案92由题悟法1以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量2多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体
11、的表面积注意衔接部分的处理3旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用以题试法1(2012河南模拟)如图是某宝石饰物的三视图，已知该饰物的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为60的菱形，俯视图为正方形，那么该饰物的表面积为()A.B2C4D4解析：选D依题意得，该饰物是由两个完全相同的正四棱锥对接而成，正四棱锥的底面边长和侧面上的高均等于菱形的边长，因此该饰物的表面积为84.几何体的体积典题导入例2 (1)(2012广东高考)某几何体的三视图如图所示，它的体积为()A72B48C30 D24 (2)(2012山东高考)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三
12、棱锥ADED1的体积为_自主解答(1)由三视图知，该几何体是由圆锥和半球组合而成的，直观图如图所示，圆锥的底面半径为3，高为4，半球的半径为3.VV半球V圆锥3332430.(2)VADED1VEADD1SADD1CD1.答案(1)C(2)本例(1)中几何体的三视图若变为：其体积为_解析：由三视图还原几何体知，该几何体为圆柱与圆锥的组合体，其体积VV圆柱V圆锥32432424.答案：24由题悟法1计算柱、锥、台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解2注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一
13、些不规则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握3等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面求体积时，可选择容易计算的方式来计算；利用“等积法”可求“点到面的距离”以题试法2(1)(2012长春调研)四棱锥PABCD的底面ABCD为正方形，且PD垂直于底面ABCD，N为PB中点，则三棱锥PANC与四棱锥PABCD的体积比为()A12 B13C14 D18解析：选C设正方形ABCD面积为S，PDh，则体积比为.(2012浙江模拟)如图，是某几何体的三视图，则这个几何体的体积是()A32 B24C8 D.解析：选B此几何体是高为2的棱柱，底面四边形可切割成为一个边长为3的正方形和2个直角边分别为3,1的直角三角形，其底面积S923112，所以几何体体积V12224.与球有关的几何体的表面积与体积问题典题导入例3(2012新课标全国卷)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC2，则此棱锥的体积
