SPSS教案方差分析

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1、第6章 方差分析 n6 1 方差分析的基本思想和原理 n6 2 单因素方差分析 n6 3 双因素方差分析 方差分析是实验设计的重要统计分析方法 20世纪 20 年代 英国著名统计学家费歇首次将方差分析应用于农业 实验中 之后 方差分析得以充分发展 其内容更加丰富 应用也更为广泛 在工农业生产 科学实验 企业经营 和管理等方面都有广泛应用 在实际生活中人们往往通过 试验来了解各种因素对诸如产品的性能 产量 质量等试 验指标的影响 不仅如此 还要在众多的影响因素中找出 显著的因素以及它们在什么状态 水平 下对改进产品的 性能 增加产量和提高质量最有利 从而选出最优的因素 水平 为此 首先设计一个合

2、适的实验方案 按照该实验 方案进行试验 然后对试验结果进行分析 方差分析就是 解决这项工作的有效方法 n例 在教学中 希望能够找到一种有效的教学方法和手段 使教学效果最好 这就需要分析教学效果受到哪些因素 的影响 有很多的因素会影响教学的效果 如不同的教学 方法 不同的教材 学生接受知识的能力等 都会对教学 效果产生一定的影响 如果可以知道在这些众多的影响 因素中 哪些因素起了主要的作用 就可以采取有效的手 段来提高教学水平 n在影响教学效果的因素中 有两类因素 一类是人为 可控制变量 如不同的教学方法 不同的教材 另一类 是随机变量 如学生接受知识的能力 n可以对几个普通班级的学生 采用几种

3、不同的教学方 法 一段时间后进行测试 就可以得到不同教学方法 对教学效果的影响 方差分析按照影响试验指标的个数分为单因 素试验的方差分析 双因素试验的方差分析和 多因素试验的方差分析 本章着重介绍单因素试验的方差分析 双因 素试验的方差分析 什么是方差分析 一个例子 表8 1 该饮该饮 料在五家超市的销销售情况 超市无色粉色橘黄色绿绿色 1 2 3 4 5 26 5 28 7 25 1 29 1 27 2 31 2 28 3 30 8 27 9 29 6 27 9 25 1 28 5 24 2 26 5 30 8 29 6 32 4 31 7 32 8 例 例8 18 1 某饮料生产企业研制出

4、一种新型饮料 饮料的颜色共有四种 某饮料生产企业研制出一种新型饮料 饮料的颜色共有四种 分别为分别为橘黄色橘黄色 粉色粉色 绿色绿色和无色透明 这四种饮料的营养含量 味道和无色透明 这四种饮料的营养含量 味道 价格 包装等可能影响销售量的因素全部相同 现从地理位置相似 价格 包装等可能影响销售量的因素全部相同 现从地理位置相似 经营规模相仿的五家超级市场上收集了前一时期该饮料的销售情况 见经营规模相仿的五家超级市场上收集了前一时期该饮料的销售情况 见 表表8 18 1 试分析饮料的颜色是否对销售量产生影响 试分析饮料的颜色是否对销售量产生影响 什么是方差分析 例子的进一步分析 1 检验饮料的颜

5、色对销售量是否有影响 也就 是检验四种颜色饮料的平均销售量是否相同 2 设 1为无色饮料的平均销售量 2粉色饮料的 平均销售量 3为橘黄色饮料的平均销售量 4为绿色饮料的平均销售量 也就是检验下面 的假设 H0 1 2 3 4 H1 1 2 3 4 不全相等 3 检验上述假设所采用的方法就是方差分析 6 1 2 方差分析的基本思想和原理 几个基 本概念 1 因素或因子 所要检验的对象称为因子 要分析饮料的颜色对销售量是否有影响 颜色是要检 验的因素或因子 2 水平 因素的具体表现称为水平 A1 A2 A3 A4四种颜色就是因素的水平 3 观察值 在每个因素水平下得到的样本值 每种颜色饮料的销售

6、量就是观察值 方差分析的基本思想和原理 几个基本概念 4 试验 这里只涉及一个因素 因此称为单因素四水平的 试验 5 总体 因素的每一个水平可以看作是一个总体 比如A1 A2 A3 A4四种颜色可以看作是四个总 体 6 样本数据 上面的数据可以看作是从这四个总体中抽取的样 本数据 方差分析的基本思想和原理 两类误差 1 随机误差 在因素的同一水平 同一个总体 下 样本的各观察值之间 的差异 比如 同一种颜色的饮料在不同超市上的销售量是不同的 不同超市销售量的差异可以看成是随机因素的影响 或者 说是由于抽样的随机性所造成的 称为随机误差 2 系统误差 在因素的不同水平 不同总体 下 各观察值之间

7、的差异 比如 同一家超市 不同颜色饮料的销售量也是不同的 这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的 也可能是由 于颜色本身所造成的 后者所形成的误差是由系统性因素 造成的 称为系统误差 方差分析的基本思想和原理 两类方差 1 组内方差 因素的同一水平 同一个总体 下样本数据的方差 比如 无色饮料A1在5家超市销售数量的方差 组内方差只包含随机误差 2 组间方差 因素的不同水平 不同总体 下各样本之间的方差 比如 A1 A2 A3 A4四种颜色饮料销售量之间的 方差 组间方差既包括随机误差 也包括系统误差 方差分析的基本思想和原理 方差的比较 1 如果不同颜色 水平 对销售量 结果 没有影响 那么

8、在 组间方差中只包含有随机误差 而没有系统误差 这时 组间方差与组内方差就应该很接近 两个方差的比值就会 接近1 2 如果不同的水平对结果有影响 在组间方差中除了包含 随机误差外 还会包含有系统误差 这时组间方差就会大 于组内方差 组间方差与组内方差的比值就会大于1 3 当这个比值大到某种程度时 就可以说不同水平之间存 在着显著差异 方差分析中的基本前提 1 每个总体都应服从正态分布 对于因素的每一个水平 其观察值是来自服从正态分 布总体的简单随机样本 比如 每种颜色饮料的销售量必需服从正态分布 2 各个总体的方差必须相同 对于各组观察数据 是从具有相同方差的总体中抽取 的 比如 四种颜色饮料

9、的销售量的方差都相同 3 观察值是独立的 比如 每个超市的销售量都与其他超市的销售量独立 6 2 单因素方差分析 n6 2 1 单因素方差分析的步骤 n6 2 2 方差分析中的多重比较 单因素方差分析的数据结构 观观察值值 j 因素 A i 水平A1 水平A2 水平Ak 1 2 n x11 x12 x1k x21 x22 x2k xn1 xn2 xnk 提出假设提出假设 构造检验统计量构造检验统计量 统计决策统计决策 n8 2 1 单因素方差分析的步骤 提出假设 1 一般提法 H0 1 2 k 因素有k个水平 H1 1 2 k不全相等 2 对前面的例子 H0 1 2 3 4 颜色对销售量没有影

10、响 H0 1 2 3 4不全相等 颜色对销售量有影响 构造检验的统计量 前例计算结果 表8 2 四种颜颜色饮饮料的销销售量及均值值 超市 j 水平A i 无色 A1 粉色 A2 橘黄色 A3 绿绿色 A4 1 2 3 4 5 26 5 28 7 25 1 29 1 27 2 31 2 28 3 30 8 27 9 29 6 27 9 25 1 28 5 24 2 26 5 30 8 29 6 32 4 31 7 32 8 合计计136 6147 8132 2157 3573 9 水平均值值 观观察值值个数 x1 27 32 n1 5 x2 29 56 n2 5 x3 26 44 n3 5 x4

11、 31 46 n4 5 总总均值值 x 28 695 构造检验的统计量 计算总离差平方和 SST 1 全部观察值 与总平均值 的离差平方和 2 反映全部观察值的离散状况 3 其计算公式为 前例的计算结果 SST 26 5 28 695 2 28 7 28 695 2 32 8 28 695 2 115 9295 构造检验的统计量 计算组内离差平方和SSE 1 每个水平或组的各样本数据与其组平均值的离 差平方和 2 反映每个样本各观察值的离散状况 又称组内 离差平方和 3 该平方和反映的是随机误差的大小 4 计算公式为 前例的计算结果 SSE 39 084 构造检验的统计量 计算组间平方和SSA

12、 1 各组平均值 与总平均值 的离 差平方和 2 反映各总体的样本均值之间的差异程度 又称 组间平方和 3 该平方和既包括随机误差 也包括系统误差 4 计算公式为 前例的计算结果 SSA 76 8455 构造检验的统计量 三个平方和的关系 总离差平方和 SST 组内离差平方和 SSE 组间离差平方和 SSA 之间的关系 SST SST SSE SSE SSASSA 构造检验的统计量 计算方差MS 1 各离差平方和的大小与观察值的多少有关 为了消除观察值多少对离差平方和大小的影响 需要将其平均 这就是均方 也称为方差 2 计算方法是用离差平方和除以相应的自由度 3 三个平方和的自由度分别是 SS

13、T 的自由度为n 1 其中n为全部观察值的个数 SSA的自由度为k 1 其中k为因素水平 总体 的个 数 SSE 的自由度为n k 构造检验的统计量 计算均方 MS 1 SSA的均方也称组间方差 记为MSA 计 算公式为 2 SSE的均方也称组内方差 记为MSE 计算公式为 构造检验的统计量 1 SST反映了全部数据总的误差程度 SSE反映了随 机误差的大小 SSA反映了随机误差和系统误差的大 小 2 如果原假设成立 即H1 H2 Hk为真 则表 明没有系统误差 组间平方和SSA除以自由度后的均 方与组内平方和SSE和除以自由度后的均方差异就不 会太大 如果组间均方显著地大于组内均方 说明 各

14、水平 总体 之间的差异不仅有随机误差 还有系统 误差 3 判断因素的水平是否对其观察值有影响 实际上就 是比较组间方差与组内方差之间差异的大小 4 为检验这种差异 需要构造一个用于检验的统计量 构造检验的统计量 计算检验的统计量 F 1 将MSA和MSE进行对比 即得到所需要的 检验统计量F 2 当H0为真时 二者的比值服从分子自由度 为k 1 分母自由度为 n k 的 F 分布 即 构造检验的统计量 F分布与拒绝域 如果均值相等 如果均值相等 F F MSAMSA MSEMSE 1 1 F F 分布分布 F F k k 1 1 n n k k 0 0 拒绝拒绝HH 0 0 不能拒绝不能拒绝

15、H H0 0 F F 统计决策 将统计量的值F与给定的显著性水平 的临界值F 进 行比较 或者用P与 比较 作出接受或拒绝原假设H0的 决策 根据给定的显著性水平 在F分布表中查找与 第一自由度df1 k 1 第二自由度df2 n k 相应的 临界值 F 若F F 或者 P 则拒绝原假设H0 表明 均值之间的差异是显著的 所检验的因素 A 对 观察值有显著影响 若F 则不能拒绝原假设H0 表 明所检验的因素 A 对观察值没有显著影响 单因素方差分析 一个例子 例 为了对几个行业的服务质量进行评价 消费者协会在零售业 旅游业 航空公司 家电制造业分别抽取了不同的样本 其中 零售业抽取7家 旅游业

16、抽取了6家 航空公 司抽取5家 家电制造业抽取了5家 然后记 录了一年中消费者对总共23家服务企业投诉 的次数 结果如表9 7 试分析这四个行业的 服务质量是否有显著差异 0 05 单因素方差分析 一个例子 消费费者对对四个行业业的投诉诉次数 观观察值值 j 行业业 A 零售业业旅游业业航空公司家电电制造 业业 1 2 3 4 5 6 7 57 55 46 45 54 53 47 62 49 60 54 56 55 51 49 48 55 47 70 68 63 69 60 单因素方差分析 计算结果 解 设四个行业被投诉次数的均值分别为 1 2 3 4 则需要检验如下假设 H0 1 2 3 4 四个行业的服务质量无显著差 异 H1 1 2 3 4不全相等 有显著差异 用spss输出的结果 0 452 0 05 具有方差 齐性 满足方差分析 的前提条件 0 000 0 05 结论 拒绝H0 四个行业的服务质量有显著差异 方差分析中的多重比较 1 多重比较是通过对总体均值之间的配对比 较来进一步检验到底哪些均值之间存在差异 2 多重比较方法有多种 常用的有 3 1 在具有方差齐性时 用最小