《数学同步新导学案北师大选修1-1课件：第二章 圆锥曲线与方程 1.2 第2课时》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学同步新导学案北师大选修1-1课件：第二章 圆锥曲线与方程 1.2 第2课时（43页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章 1 2 椭圆的简单性质 第2课时 椭圆简单性质的应用 学习目标 XUEXIMUBIAO 1 进一步巩固椭圆的简单性质 2 掌握直线与椭圆位置关系等相关知识 NEIRONGSUOYIN 内容索引 自主学习 题型探究 达标检测 1自主学习 PART ONE 知识点一 点与椭圆的位置关系 位置关系满足条件 P在椭圆外 P在椭圆上 P在椭圆内 知识点二 直线与椭圆的位置关系 当 0时 方程有 直线与椭圆 当 0时 方程有 直线与椭圆 当 0时 方程 直线与椭圆 两个不同解相交 两个相同解相切 无解相离 知识点三 弦长公式 其中 x1 x2 x1x2或y1 y2 y1y2的值 可通过由直线方程与
2、椭圆方程联立消 去y 或x 后得到关于x 或y 的一元二次方程求得 1 若直线的斜率一定 则当直线过椭圆的中心时 弦长最大 2 在椭圆上的所有点中 长轴的端点到椭圆中心的距离最大 短轴的端点到椭 圆中心的距离最小 3 在椭圆的焦点弦中 当弦与长轴垂直时弦最短 当弦与长轴重合时弦最长 4 设A是椭圆内一点 以A为中点的弦是唯一的 思考辨析 判断正误 SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU 2题型探究 PART TWO 题型一 直线与椭圆的位置关系 1 有两个公共点 得9x2 8mx 2m2 4 0 方程 的判别式 8m 2 4 9 2m2 4 8m2 144 方程 有两个不同的实数解
3、 可知原方程组有两组不同的实数解 这时直线l与椭圆C有两个公共点 2 有且只有一个公共点 方程 有两个相同的实数解 可知原方程组有两组相同的实数解 这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点 3 没有公共点 方程 没有实数解 可知原方程组没有实数解 这时直线l与椭圆C没有公共点 反思感悟 判断直线与椭圆的位置关系 通过解直线方程与椭圆方程组成的方 程组 消去方程组中的一个变量 得到关于另一个变量的一元二次方程 则 0 直线与椭圆相交 0 直线与椭圆相切 0 由于AB的中点恰好为P 4 2 即x 2y 8 0 由于P 4 2 是AB的中点 x1 x2 8 y1 y2 4 即x 2y 8 0 反思感悟
4、处理直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成 的方程 利用根与系数的关系或中点坐标公式解决 涉及弦的中点 还可使用 点差法 设出弦的两端点坐标 代入椭圆方程 两式相减即得弦的中点与斜 率的关系 解 方法一 设A x1 y1 B x2 y2 代入椭圆方程并作差 得a x1 x2 x1 x2 b y1 y2 y1 y2 0 直线x y 1 0的斜率k 1 x2 x1 2 联立ax2 by2 1与x y 1 0 可得 a b x2 2bx b 1 0 且由已知得x1 x2是方程 a b x2 2bx b 1 0的两根 得 a b x2 2bx b 1 0 且直线AB的斜率k 1 题型三
5、椭圆中的最值 或范围 问题 例3 已知椭圆4x2 y2 1及直线y x m 1 当直线和椭圆有公共点时 求实数m的取值范围 因为直线与椭圆有公共点 所以 4m2 20 m2 1 0 2 求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程 解 设直线与椭圆交于A x1 y1 B x2 y2 两点 由 1 知5x2 2mx m2 1 0 所以当m 0时 AB 最大 此时直线方程为y x 反思感悟 解析几何中的综合性问题很多 而且可与很多知识联系在一起出 题 例如不等式 三角函数 平面向量以及函数的最值问题等 解决这类问题 需要正确地应用转化思想 函数与方程思想和数形结合思想 其中应用比较多 的是利用方程根与系数的
6、关系构造等式或函数关系式 这其中要注意利用根 的判别式来确定参数的限制条件 跟踪训练3 已知椭圆C x2 2y2 4 1 若点P a b 是椭圆C上一点 求a2 b2的取值范围 解 由题意得a2 2b2 4 则a2 4 2b2 a2 b2 4 2b2 b2 4 b2 故a2 b2 2 4 a2 b2的取值范围为 2 4 2 设O为原点 若点A在直线y 2上 点B在椭圆C上 且OA OB 求 AB 的最 小值 解 设A t 2 B x0 y0 x0 0 OA OB 1 写出椭圆C的方程和焦点坐标 核心素养之逻辑推理 HEXINSUYANGZHILUOJITUILI 转化化归思想在椭圆中的应用 解
7、 由题意得2a 4 即a 2 2 直线l过定点M 0 2 且与椭圆C交于不同的两点A B 若原点O在以线段 AB为直径的圆外 求直线l的斜率k的取值范围 解 由题意得直线l的斜率存在且不为0 整理得 1 4k2 x2 16kx 12 0 16k 2 4 1 4k2 12 16 4k2 3 0 设A x1 y1 B x2 y2 原点O在以线段AB为直径的圆外 AOB为锐角 cos AOB 0 又y1y2 kx1 2 kx2 2 k2x1x2 2k x1 x2 4 x1x2 y1y2 1 k2 x1x2 2k x1 x2 4 素养评析 利用根与系数的关系与判别式可得到直线斜率的范围 2 逻辑推理是
8、得到数学结论 构建数学体系的重要方式 本例从条件出发与 已有知识结合 逐步推出相应的结论 对逻辑推理素养的培养有很好的帮助 3达标检测 PART THREE 1234 A m 1 B m 1且m 3 C m 3 D m 0且m 3 1234 4m 2 4m 3 m 0 16m2 4m 3 m 0 m 1或m0且m 3 m 1且m 3 3 已知以F1 2 0 F2 2 0 为焦点的椭圆与直线x y 4 0有且仅有一个公 共点 则椭圆的长轴长为 1234 4 已知椭圆C的两个焦点是F1 2 0 F2 2 0 且椭圆C经过点A 0 1 求椭圆C的标准方程 1234 2 若过左焦点F1且倾斜角为45 的直线l与椭圆C交于P Q两点 求线段PQ的 长 1234 解 由已知得 直线l的斜率k tan 45 1 而F1 2 0 得5x2 9 x 2 2 45 即14x2 36x 9 0 课堂小结 KETANGXIAOJIE 1 直线与椭圆的位置关系 可考虑由直线方程和椭圆方程得到的一元二次方程 利用 进行判定 求弦长时可利用根与系数的关系 中点弦问题考虑使 用点差法 2 最值往往转化为函数最值或利用数形结合思想
