《数学新学案同步必修五苏教课件：第二章 数列2.1 第2课时》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学新学案同步必修五苏教课件：第二章 数列2.1 第2课时（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2课时 数列的递推公式与通项公式 第2章 2 1 数 列 学习目标 1 理解数列的几种表示方法 能从函数的观点研究数列 2 理解递推公式的含义 能根据递推公式求出数列的前几项 3 会用累加法 累乘法由递推公式求通项公式 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一 递推公式 思考 数列1 2 4 8 的第n项an与第n 1项an 1有什么关系 答案 an 1 2an 梳理 如果已知数列的第1项 或前几项 且从第 项 或某一项 开始的 任一项 与它的前一项 或前几项 n 2 间的关系可以用一个公式表 示 那么这个公式叫做这个数列的递推公式 二 anan 1 特别提醒 1 与所有的
2、数列不一定都有通项公式一样 并不是所有的数 列都有递推公式 2 递推公式通过赋值逐项求出数列的项 直至求出数列的任何一项和所 需的项 知识点二 数列的表示方法 思考 以数列2 4 6 8 10 12 为例 你能用几种方法表示这个数列 答案 通项公式法 an 2n 列表法 n123 k an246 2k 图象法 梳理 数列的表示方法有通项公式法 图象法 列表法 递推公式法 思考辨析 判断正误 1 利用an 1 2an n N 可以确定数列 an 2 有些数列难以用通项公式和递推公式表示 但可以用列表法轻松解决 3 递推公式是表示数列的一种方法 题型探究 例1 图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形
3、在四个三角形图案中 着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项 请写出这个数列的 递推公式和一个通项公式 并在直角坐标系中画出它的图象 类型一 数列的表示法 解答 解 如题图 这四个三角形图案中着色的小三角形第 2 个是第 1 个的3 倍 第 3 个是第 2 个的3倍 故有递推公式a1 1 an 1 3an n N 个数依次为1 3 9 27 则所求数列的前4项都是3的指数幂 指数为序号减1 所以 这个数列的一个通项公式是an 3n 1 在直角坐标系中的图象为一 些孤立的点 如图所示 反思与感悟 求数列的递推公式注重观察数列项与项的关系 求通项公 式注重观察项与序号的关系 图象法则一如既往地
4、直观 跟踪训练1 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数 学问题 他们在沙滩上画点或用小石子来表示数 比如 他们将石子摆成 如图所示的三角形点阵 就将其所对应石子的个数称为三角形数 则第 n个三角形数比第n 1 n 2 n N 个三角形数多 个石子 n 答案解析 解析 a2 a1 2 a3 a2 3 an an 1 n 命题角度1 由递推公式求前若干项 解答 类型二 数列的递推公式 解答 引申探究 an 是周期为4的数列 a2 018 a4 504 2 a2 3 反思与感悟 递推公式反映的是相邻两项 或n项 之间的关系 对于通项 公式 已知n的值即可得到相应的项 而递推公式则要已知
5、首项 或前 几项 才可依次求得其他的项 若项数很大 则应考虑数列是否有规 律性 解答 解 a1 1 a2 2 a3 1 a4 1 a5 2 a6 1 a7 1 a8 2 发现 an 6 an 数列 an 具有周期性 周期T 6 证明如下 an 2 an 1 an an 3 an 2 an 1 an 1 an an 1 an an 6 an 3 an an 数列 an 是周期数列 且T 6 a2 018 a336 6 2 a2 2 跟踪训练2 已知数列 an 中 a1 1 a2 2 an 2 an 1 an 试写出a3 a4 a5 a6 a7 a8 你发现数列 an 具有怎样的规律 你能否求出该
6、数列 中的第2 018项 命题角度2 由递推公式求通项 例3 1 对于任意数列 an 等式 a1 a2 a1 a3 a2 an an 1 an n 2 n N 都成立 试根据这一结论 完成问题 已知数列 an 满 足 a1 1 an 1 an 2 求通项an 解答 解 当n 2时 an a1 a2 a1 a3 a2 an an 1 1 2 n 1 1 2n 1 a1 1也符合上式 所以数列 an 的通项公式是an 2n 1 解答 a1 1也符合上式 解答 又当n 1时 a1 1 也符合上式 a2 a1 a3 a2 a4 a3 an an 1 达标检测 1 数列1 3 6 10 15 中an a
7、n 1 n N 且n 1 答案解析 1234 n 解析 由已知得a2 a1 2 a3 a2 3 a4 a3 4 a5 a4 5 an 1 an n 1 n N 答案解析 1234 解析 an 1 an 1 an a1 a2 a1 a3 a2 an an 1 2 2 1 n 1 3 n 2 已知数列 an 满足a1 2 an 1 an 1 0 n N 则此数列的通 项an 3 n 答案解析 1234 an 2n 1 n N 3 用火柴棒按下图的方法搭三角形 按图示的规律搭下去 则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间 的关系式可以是 解析 a1 3 a2 3 2 5 a3 3 2 2 7 a4
8、 3 2 2 2 9 an 2n 1 n N 1234 解析 x1 1 x2 x3 1 数列 xn 的周期为2 x2 018 x2 答案解析 1 an 与an是不同的两种表示 an 表示数列a1 a2 an 是 数列的一种简记形式 而an只表示数列 an 的第n项 an与 an 是 个 体 与 整体 的从属关系 2 数列的表示方法 1 图象法 2 列表法 3 通项公式法 4 递推 公式法 3 通项公式和递推公式的区别 通项公式直接反映an和n之间的关系 即an是n的函数 知道任意一个具体的n值 就可以求出该项的值an 而递推公式则是间接反映数列的式子 它是数列任意两个 或多个 相邻项之间的推导关系 不能由n直接得出an 规律与方法
