《数学同步新导学案人教B选修1-1课件：第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 第1课时》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学同步新导学案人教B选修1-1课件：第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 第1课时（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第1课时 抛物线的几何性质 第二章 2 3 2 抛物线的几何性质 学习目标 XUEXIMUBIAO 1 掌握抛物线的范围 对称性 顶点 焦点 准线等几何性质 2 会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题 NEIRONGSUOYIN 内容索引 自主学习 题型探究 达标检测 1自主学习 PART ONE 知识点一 抛物线的几何性质 标准方程y2 2px p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 x2 2py p 0 图形 性 质 范围x 0 y R y Rx R y 0 x R 对称轴x轴y轴 顶点 离心率e x 0y 0 0 0 1 知识点二 焦点弦 设过抛物线焦点的弦的端点为A x
2、1 y1 B x2 y2 则 y2 2px p 0 AB x1 x2 p y2 2px p 0 AB p x1 x2 x2 2py p 0 AB y1 y2 p x2 2py p 0 AB p y1 y2 1 椭圆 双曲线和抛物线都是中心对称图形 2 抛物线和双曲线一样 开口大小都与离心率有关 3 抛物线只有一条对称轴和一个顶点 4 抛物线的开口大小与焦点到准线的距离有关 思考辨析 判断正误 SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU 2题型探究 PART TWO 例1 已知抛物线的焦点F在x轴上 直线l过F且垂直于x轴 l与抛物线交于A B两点 O为坐标原点 若 OAB的面积等于4
3、求此抛物线的标准方程 题型一 由抛物线的几何性质求标准方程 解 由题意 设抛物线方程为y2 2mx m 0 所以 AB 2 m 引申探究 等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2 2px p 0 O为抛物线的顶点 OA OB 则 AOB的面积是 A 8p2 B 4p2 C 2p2 D p2 解析 因为抛物线的对称轴为x轴 内接 AOB为等腰直角三角形 所以由抛 物线的对称性知 直线AB与抛物线的对称轴垂直 从而直线OA与x轴的夹角 为45 所以点A的坐标为 2p 2p 同理可得B 2p 2p 反思感悟 把握三个要点确定抛物线的几何性质 1 开口 由抛物线标准方程看图象开口 关键是看准二次项是x 还
4、是y 一 次项的系数是正还是负 2 关系 顶点位于焦点与准线中间 准线垂直于对称轴 3 定值 焦点到准线的距离为p 过焦点垂直于对称轴的弦 又称为通径 长 为2p 离心率恒等于1 跟踪训练1 已知抛物线的顶点在坐标原点 对称轴重合于椭圆 短 轴所在的直线 抛物线的焦点到顶点的距离为5 求抛物线的方程 抛物线的对称轴为x轴 设抛物线的方程为y2 ax a 0 抛物线的方程为y2 20 x或y2 20 x 例2 已知直线l经过抛物线y2 6x的焦点F 且与抛物线相交于A B两点 1 若直线l的倾斜角为60 求 AB 的值 题型二 抛物线的焦点弦问题 解 因为直线l的倾斜角为60 设A x1 y1
5、B x2 y2 则x1 x2 5 所以 AB 5 3 8 2 若 AB 9 求线段AB的中点M到准线的距离 所以x1 x2 6 所以线段AB的中点M的横坐标是3 引申探究 本例中 若A B在其准线上的射影分别为A1 B1 求 A1FB1 解 由抛物线定义 AA1 AF 得 AA1F AFA1 又AA1 x轴 OFA1 AA1F OFA1 AFA1 同理得 OFB1 BFB1 A1FO B1FO 90 即 A1FB1 90 反思感悟 1 抛物线的焦半径 定义 抛物线的焦半径是指以抛物线上任意一点与抛物线焦点为端点的 线段 焦半径 公式 P x0 y0 为抛物线上一点 F为焦点 2 过焦点的弦长的
6、求解方法 设过抛物线y2 2px p 0 的焦点的弦的端点为A x1 y1 B x2 y2 则 AB x1 x2 p 然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立 消元 由根与系数的关 系求出x1 x2即可 跟踪训练2 直线l过抛物线y2 4x的焦点 与抛物线交于A B两点 若 AB 8 则直线l的方程为 x y 1 0或x y 1 0 解析 因为抛物线y2 4x的焦点坐标为 1 0 若l与x轴垂直 则 AB 4 不符合题意 所以可设所求直线l的方程为y k x 1 所以所求直线l的方程为x y 1 0或x y 1 0 3达标检测 PART THREE 1 以x轴为对称轴的抛物线的通径 过焦点且与x
7、轴垂直的弦 长为8 若抛物线 的顶点在坐标原点 则其方程为 A y2 8x B y2 8x C y2 8x或y2 8x D x2 8y或x2 8y 解析 设抛物线y2 2px或y2 2px p 0 p 4 12345 2 若抛物线y2 x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离 则点P的坐标为 12345 3 已知过抛物线y2 8x的焦点作直线l 交抛物线于A B两点 若线段AB中点 的横坐标为3 则 AB 的值为 解析 由y2 8x 得p 4 设A x1 y1 B x2 y2 10 12345 4 对于顶点在原点的抛物线 给出下列条件 焦点在y轴上 焦点在x轴上 抛物线上横坐标为1的点到焦点的
8、距离等于6 抛物线的通径的长为5 由原点向过焦点的某条直线作垂线 垂足坐标为 2 1 符合抛物线方程为y2 10 x的条件是 要求填写合适条件的序号 12345 解析 由抛物线方程y2 10 x 知它的焦点在x轴上 所以 符合 设点P 2 1 可得kPO kPF 1 所以 也符合 而 显然不符合 通过计算可知 不合题意 所以应填 12345 5 求适合下列条件的抛物线的标准方程 1 顶点在原点 对称轴为坐标轴 顶点到准线的距离为4 12345 因此 所求抛物线的标准方程为y2 16x或x2 16y 2 顶点是双曲线16x2 9y2 144的中心 准线过双曲线的左顶点 且垂直于坐 标轴 12345 故p 6 因此 所求抛物线的标准方程为y2 12x 1 讨论抛物线的几何性质 一定要利用抛物线的标准方程 利用几何性质 也可以根据待定系数法求抛物线的方程 2 解决抛物线的焦点弦问题时 要注意抛物线定义在其中的应用 通过定义 将焦点弦长度转化为端点的坐标问题 从而可借助根与系数的关系进行求 解 3 设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论 课堂小结 KETANGXIAOJIE
