《数学同步新导学案人教B选修1-1课件：第三章 导数及其应用 3.3.2 第1课时》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学同步新导学案人教B选修1-1课件：第三章 导数及其应用 3.3.2 第1课时（50页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第1课时 利用导数研究函数的极值 第三章 3 3 2 利用导数研究函数的极值 学习目标 XUEXIMUBIAO 1 了解函数极值的概念 能从几何方面直观理解函数的极值与导数 的关系 2 掌握函数极值的判定及求法 3 掌握函数在某一点取得极值的条件 NEIRONGSUOYIN 内容索引 自主学习 题型探究 达标检测 1自主学习 PART ONE 知识点一 极值点与极值的概念 1 极小值点与极小值 如图 函数y f x 在点x a处的函数值f a 比它在点x a附近其他点的函数 值都小 f a 0 而且在点x a附近的左侧其 右侧 则把点a叫做函数y f x 的极小值点 f a 叫做函数y f x
2、 的极小值 f x 0 2 极大值点与极大值 如 1 中图 函数y f x 在点x b处的函数值f b 比它在点x b附近其他点的函 数值都大 f b 0 而且在点x b的左侧 右侧 则把 点b叫做函数y f x 的极大值点 f b 叫做函数y f x 的极大值 统称为极值点 和 统称为极值 f x 0f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是 2 如果在x0附近的左侧f x 0 那么f x0 是 极大值 极小值 1 导数值为0的点一定是函数的极值点 2 极大值一定比极小值大 3 函数f x 有极值 4 函数的极值点一定是其导函数的变号零点 思考辨析 判断正误 SIKAOBIANXIPAND
3、UANZHENGWU 2题型探究 PART TWO 题型一 极值与极值点的判断与求解 命题角度1 知图判断函数的极值 例1 已知函数y f x 其导函数y f x 的图象如图所示 则y f x A 在 0 上为减函数 B 在x 0处取极小值 C 在 4 上为减函数 D 在x 2处取极大值 多维探究 解析 由导函数的图象可知 当x 0 2 4 时 f x 0 当x 0 2 4 时 f x 0 因此f x 在 0 2 4 上为增函数 在 0 2 4 上为减函数 所以在x 0处取得极大值 在x 2处取得极小值 在x 4处取得极大值 故选C 反思感悟 通过导函数值的正负号确定函数单调性 然后进一步明确
4、导函 数图象与x轴交点的横坐标是极大值点还是极小值点 跟踪训练1 如图为y f x 的导函数的图象 则下列判断正确的是 f x 在 3 1 上为增函数 x 1是f x 的极小值点 f x 在 2 4 上为 减函数 在 1 2 上为增函数 x 2是f x 的极小值点 A B C D 解析 当x 3 1 时 f x 0 f x 在 3 1 上为减函数 在 1 2 上为增函数 不对 x 1是f x 的极小值点 当x 2 4 时 f x 0 此时f x 为增函数 当x 3 1 时 f x 0 此时f x 为增函数 故f x 在x 1处取得极小值 a 2 b 9 2 若函数f x x3 x2 ax 1有
5、极值点 则a的取值范围为 1 解析 f x x2 2x a 由题意得方程x2 2x a 0有两个不同的实数根 4 4a 0 解得a 1 反思感悟 已知函数极值的情况 逆向应用确定函数的解析式时 应注意 以下两点 1 根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组 利用待定系数法求解 2 因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件 所以利用待定系数法 求解后必须验证根的合理性 跟踪训练3 已知函数f x 的导函数f x a x 1 x a 若f x 在x a处取 到极大值 则a的取值范围是 A 1 B 0 C 0 1 D 1 0 解析 若a 1 f x a x 1 x a f x 在 a 上单调递减
6、 在 a 1 上单调递增 f x 在x a处取 得极小值 与题意不符 若 1 a0 则f x 在 1 a 上单调递减 在 a 上单调递增 与题意矛 盾 故选D 题型三 函数极值的综合应用 例4 已知函数f x x3 3ax 1 a 0 若函数f x 在x 1处取得极值 直线y m与y f x 的图象有三个不同的交点 求m的取值范围 解 因为f x 在x 1处取得极值且f x 3x2 3a 所以f 1 3 1 2 3a 0 所以a 1 所以f x x3 3x 1 f x 3x2 3 由f x 0 解得x1 1 x2 1 当x0 当 1 x 1时 f x 1时 f x 0 所以f x 的单调增区间
7、为 1 1 单调减区间为 1 1 f x 在x 1处取得极大值f 1 1 在x 1处取得极小值f 1 3 作出f x 的大致图象如图所示 因为直线y m与函数y f x 的图象有三个不同的交点 结合f x 的图象可知 m的取值范围是 3 1 引申探究 若本例 三个不同的交点 改为 两个不同的交点 结果如何 改为 一个 交点 呢 解 由本例解析可知当m 3或m 1时 直线y m与y f x 的图象有两个不 同的交点 当m1时 直线y m与y f x 的图象只有一个交点 反思感悟 利用导数可以判断函数的单调性 研究函数的极值情况 并能 在此基础上画出函数的大致图象 从直观上判断函数图象与x轴的交点
8、或 两个函数图象的交点的个数 从而为研究方程根的个数问题提供了方便 跟踪训练4 已知函数f x x3 6x2 9x 3 若函数y f x 的图象与y f x 5x m的图象有三个不同的交点 求实数m的取值范围 解 由f x x3 6x2 9x 3 可得f x 3x2 12x 9 x2 x 3 m 则由题意可得x3 6x2 9x 3 x2 x 3 m有三个不相等的实根 即g x x3 7x2 8x m的图象与x轴有三个不同的交点 g x 3x2 14x 8 3x 2 x 4 当x变化时 g x g x 的变化情况如下表 核心素养之直观想象 HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXI
9、ANG 由极值点的个数求参数范围 典例 已知函数f x x ln x ax 有两个极值点 求实数a的取值范围 解 由题意知f x 的定义域为 0 f x ln x 1 2ax 由于函数f x 有两个极值点 则f x 0有两个不等的正根 即函数y ln x 1与y 2ax x 0 的图象有两个不同的交点 则a 0 设函数y ln x 1上任一点 x0 1 ln x0 处的切线为l 素养评析 1 研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题 一 般地 方程f x 0的根就是函数f x 的图象与x轴交点的横坐标 方程f x g x 的根就是函数f x 与g x 的图象的交点的横坐标 2 将数转化
10、为形 以形助数 体现了直观想象的作用和意义 3达标检测 PART THREE 1 函数f x 的定义域为R 导函数f x 的图象如图所示 则函数f x A 无极大值点 有四个极小值点 B 有三个极大值点 两个极小值点 C 有两个极大值点 两个极小值点 D 有四个极大值点 无极小值点 12345 解析 f x 的符号由正变负 则f x0 是极大值 f x 的符号由负变正 则f x0 是极小值 由图象易知有两个极大值点 两个极小值点 12345 2 已知函数f x x3 ax2 3x 9 且f x 在x 3时取得极值 则a等于 A 5 B 3 C 4 D 2 解析 因为f x 3x2 2ax 3
11、则f 3 3 3 2 2a 3 3 0 所以a 5 12345 3 已知函数f x x 则f x A 有极大值2 极小值 2 B 有极大值 2 极小值2 C 无极大值 但有极小值 2 D 有极大值2 无极小值 当x1时 f x 0 当 1 x 0或0 x 1时 f x 0 所以当x 1时函数有极大值 2 当x 1时函数有极小值2 12345 12345 4 已知f x x3 ax2 a 6 x 1有极大值和极小值 则a的取值范围为 A 1 a 2 B 3 a 6 C a2 D a6 解析 f x 3x2 2ax a 6 因为f x 既有极大值又有极小值 则 2a 2 4 3 a 6 0 解得a
12、 6或a0 f x 在 上是单调递增函数 所以函数f x 无 极值 当a 0时 令f x 0 得ex a x ln a 当x ln a 时 f x 0 所以f x 在 ln a 上是单调递减的 在 ln a 上是单调递增的 故f x 在x ln a处取得极小值 且极小值为f ln a ln a 无极大值 综上 当a 0时 函数f x 无极值 当a 0时 f x 在x ln a处取得极小值ln a 无极大值 课堂小结 KETANGXIAOJIE 1 在极值的定义中 取得极值的点称为极值点 极值点指的是自变量的 值 极值指的是函数值 2 函数的极值是函数的局部性质 可导函数f x 在点x x0处取得极值的充 要条件是f x0 0且在x x0两侧f x 符号相反 3 利用函数的极值可以确定参数的值 解决一些方程的解和图象的交点 问题
